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【步步高】2018版高考数学(文)(人教)大一轮复习课件:第九章9.7抛物线(79张PPT)


§9.7 抛物线

内容索引

基础知识

自主学习

题型分类
课时作业

深度剖析

基础知识

自主学习

知识梳理

1.抛物线的概念

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 相等的点的轨迹叫
做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 . 2.抛物线的标准方程与几何性质 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)

标准
方程

p的几何意义:焦点F到准线l的距离

图形

顶点

O(0,0)

对称轴
焦点 离心率 F
?p ? ? ? , 0 ? ? ?2 ?

y=0
F
? p ? ? ? - , 0 ? 2 ? ? ?

x=0
F
? p? ? ? 0 , ? 2? ? ?

F

? p? ? ? ?0,- ? 2? ?

e=1

准线方程 范围 开口方向

p x=-2

p x= 2

p y=-2

p y= 2

x≥0,y∈R 向右

x≤0,y∈R 向左

y≥0,x∈R 向上

y≤0,x∈R 向下

知识拓展
1.抛物线y2=2px (p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F 也称为抛物线的焦半径. ?a ? a ? ? 2.y2=ax的焦点坐标为 ?4,0?,准线方程为x=- 4 . ? ? 3.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,
?p ? ? ? , 0 ? ? ?2 ?

p 的距离|PF|=x0+ , 2

若A(x1,y1),B(x2,y2),则 2 p (1)x1x2= ,y1y2=-p2. 4 2p (2)弦长|AB|=x1+x2+p= (α为弦AB的倾斜角). 2 sin α (3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.

思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点 F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛

物线.( × )
(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x轴上的抛物线,且其焦点坐 a a 标是( ,0),准线方程是x=- .( × ) 4 4 (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( × ) p 2 (4)AB为抛物线y =2px(p>0)的过焦点F( ,0)的弦,若A(x1,y1),B(x2, 2 2 y2),则x1x2=p ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.( √ ) 4

考点自测

1.(2016· 四川)抛物线y2=4x的焦点坐标是 A.(0,2) C.(2,0) B.(0,1) D.(1,0)

答案

解析

?a ? ? ∵对于抛物线y2=ax,其焦点坐标为 ? ,0? ?, ?4 ? ∴对于y2=4x,焦点坐标为(1,0).

2.(2017· 济宁月考)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点, 5 |AF|= 4 x0,则x0等于 答案 解析

A.1

B.2

C.4

D.8

1 由抛物线的定义,可得|AF|=x0+4,
5 1 5 ∵|AF|=4x0,∴x0+4=4x0,∴x0=1.

3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有 公共点,则直线l的斜率的取值范围是
? ? 1 1 ? A. ? - , ? 2 2? ? ?

答案

解析

几何画板展示

B.[-2,2]
D.[-4,4]

C.[-1,1]

Q( -2,0) ,设直线 l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y整理 得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0, 由Δ=(4k2-8)2-4k2· 4k2=64(1-k2)≥0, 解得-1≤k≤1.

4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点
2=-8x或x2=-y y P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为_________________.

答案

解析

设抛物线方程为 y2 = 2px(p≠0) 或 x2 = 2py(p≠0). 将 P( - 2 ,- 4) 代入, 分别得方程为y2=-8x或x2=-y.

5.(2017· 合肥调研)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0 2 相切,则p的值为________.
答案 解析

p 2 抛物线y =2px(p>0)的准线为x=- ,
则圆心为(3,0),半径为4.

2 圆x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2+y2=16,
又因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切, p 所以3+ 2 =4, 解得p=2.

题型分类

深度剖析

题型一 抛物线的定义及应用
例1 设P是抛物线y2=4x上的一个动点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小
解析
几何画板展示

4 答案 值为________.

如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,
交抛物线于点P1,

则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.
即|PB|+|PF|的最小值为4.

引申探究 1.若将本例中的B点坐标改为(3,4),试求|PB|+|PF|的最小值. 解答
几何画板展示

由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.

∵|PB|+|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,

∴|PB|+|PF|≥|BF|= 42+22 = 16+4=2 5,
即|PB|+|PF|的最小值为 2 5.

2.若将本例中的条件改为:已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为 x-y+5 =0,在抛物线上有一动点 P到 y轴的距离为d1 ,到直线 l的距 离为d2,求d1+d2的最小值.
解答
几何画板展示

由题意知,抛物线的焦点为F(1,0).
点P到y轴的距离d1=|PF|-1,

所以d1+d2=d2+|PF|-1.
易知d2+|PF|的最小值为点F到直线l的距离, |1+5| 故 d2+|PF|的最小值为 2 2=3 2, 1 +?-1? 所以d1+d2的最小值为3 2 -1.

思维升华
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关 .由于抛
物线的定义在运用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难

度.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有
关问题的重要途径.

跟踪训练 1

设 P是抛物线 y2 = 4x上的一个动点,则点 P 到点 A( - 1,1) 的距
解析
几何画板展示

5 答案 离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为______.
如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1, 由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P 到F的距离.于是,问题转化为在抛物线上求一点P, 使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小, 显然,连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点, 此时最小值为 [1-?-1?]2+?0-1?2= 5 .

题型二 抛物线的标准方程和几何性质
命题点1 求抛物线的标准方程 x2 y2 例2 已知双曲线C1: 2- 2=1 (a>0,b>0)的离心率为2.若抛物线C2: a b x2 =2py(p>0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为 2 ,则抛物线 C2 的方 程为 答案
解析

8 3 A.x = 3 y
2

16 3 B.x = 3 y
2

C.x2=8y

D.x2=16y

命题点2 抛物线的几何性质

例3

已知抛物线 y2 = 2px(p>0) 的焦点为 F , A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 是过 F

的直线与抛物线的两个交点,求证:
2 p (1)y1y2=-p2,x1x2= ; 证明 4

1 1 (2) |AF|+ |BF|为定值; 证明
x1+x2+p 1 1 1 1 + = + = 2. |AF| |BF| p p p p x1+2 x2+2 x1x2+2?x1+x2?+ 4 p2 因为 x1x2= 4 ,x1+x2=|AB|-p,代入上式, 1 1 |AB| 2 得|AF|+|BF|=p2 p 2= (定值). p p + ? | AB | - p ? + 4 2 4

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明
设AB的中点为M(x0,y0),分别过A,B作准线的垂线, 垂足为C,D,过M作准线的垂线,垂足为N,

1 1 1 则|MN|= (|AC|+|BD|)= (|AF|+|BF|)= |AB|. 2 2 2
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

思维升华
(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位

置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有
一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.

(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、
直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.

跟踪训练2

(1)(2016· 全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,
解析

B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4 2 ,|DE|=2 5 ,则C的焦 点到准线的距离为 答案 A.2 B.4 C.6 D.8

(2)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为3,延长PF交抛物线于Q, 3 2 若O为坐标原点,则S△OPQ=________. 2 答案 解析

题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题 例4 已知抛物线 C: y2 = 8x与点 M( - 2,2) ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直 → → 答案 解析 MB=0,则k=________. 线与C交于A、B两点.若 MA· 2

命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题 例5 (2016· 全国丙卷)已知抛物线 C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的 两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点. (1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ; 证明
几何画板展示

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程. 解答
几何画板展示

思维升华
(1) 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似, 一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若 过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必 须用一般弦长公式. (3) 涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数 的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒:涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.

跟踪训练3

(2016· 天津模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点

M(4,0).
(1)若点 F 到直线 l 的距离为 3,求直线 l 的斜率; 解答

由已知,得x=4不合题意, 设直线l的方程为y=k(x-4), 由已知,得抛物线C的焦点坐标为(1,0),

因为点 F 到直线 l 的距离为 3,
|3k| 2 所以 2= 3,解得 k=± 2 , 1+k 2 所以直线 l 的斜率为± 2 .

(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不垂直于x轴,若线段AB的垂直平分 线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.
证明

答案模板系列6

直线与圆锥曲线问题的求解策略

典例

(12分)已知抛物线C:y=mx2(m>0),焦点为F,直线2x-y+2=

0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物

线C于点Q.
(1)求抛物线C的焦点坐标; (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值; (3)是否存在实数m,使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,

求出m的值;若不存在,请说明理由.
思维点拨 规范解答 答题模板

→ → (3)中证明QA· QB=0.

课时作业

1.(2017· 太原月考)若抛物线y=ax2的焦点坐标是(0,1),则a等于 答案
A.1 1 B.2
2

C.2



1 D.4

解析

1 因为抛物线的标准方程为 x =ay,
1 所以其焦点坐标为(0,4a), 1 1 则有4a=1,a=4,故选 D.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、
B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为
答案 解析

A.x=1



B.x=-1

C.x=2

D.x=-2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

3.(2016· 绵阳模拟 ) 已知直线 l1 : 4x- 3y+ 6 = 0 和直线 l2 : x=- 1 ,抛物

线y2=4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为
37 A.16 11 B. 5 C.3

答案

解析

D.2 √

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13



4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1), y1y2 B(x2,y2),则 的值一定等于 答案 解析 x1x2 A.-4 B.4 C.p2 D.-p2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

5.(2016· 九江一模)过抛物线 y2=8x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两 → → 点,交抛物线的准线于点 C,若|AF|=6,BC=λFB,则 λ 的值为
3 A.4 3 B.2 C. 3 D.3 √
答案
解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

*6.(2016· 济南模拟)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于
A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k的值为 答案
1 A.3 2 B. 3
解析



2 2 C. 3

2 D.3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

7.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,
答案 12 B两点,则|AB|=________. 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为 3的直线与 → → 2 答案 解析 l相交于点A,与C的一个交点为B,若AM=MB,则p=__.
如图,由AB的斜率为 3, → → , 知∠α=60°,又=AM =MB ∴M为AB的中点.

过点B作BP垂直准线l于点P,
则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°, 1 ∴|BP|= |AB|=|BM|. 2 p ∴M为焦点,即 =1,∴p=2.

2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

1 9.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为 ,E的右焦点与抛物线C: 2 6 y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=_____.
答案 解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

10.(2016· 大连模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物 线C上的点A作准线l的垂线,垂足为M,若△AMF与△AOF(其中O为坐

(2,± 2 2) 答案 标原点)的面积之比为3∶1,则点A的坐标为__________.

解析

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

11.(2016· 沈阳模拟)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2 2 的直 线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; 解答 直线AB的方程是y=2 2 (x- p ),与y2=2px联立, 2 从而有4x2-5px+p2=0. 所以x1+x2=5p ,由抛物线定义得 4 |AB|=x1+x2+p=5p+p=9, 4 所以p=4,从而抛物线方程为y2=8x.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

→ → → ,求λ的值. 解答 (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC =OA+λOB
由于p=4,则4x2-5px+p2=0, 即x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,

于是 y1=-2 2,y2=4 2, 从而 B(4,4 2).设 C(x3, y3), → 则OC=(x3,y3)=(1,-2 2)+λ(4,4 2)

=(4λ+1,4 2λ-2 2).
2 又 y2 = 8 x ,即 [2 2(2 λ - 1)] =8(4λ+1), 3 3 整理得(2λ-1)2=4λ+1,

解得λ=0或λ=2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

12.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.
→ → (1)若AF=2FB,求直线 AB 的斜率; 解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形 OACB面积的最小值.
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

*13.(2016· 郑州模拟 ) 如图,已知两条抛物线 E1 : y2 =
2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1

和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别
交于B1,B2两点. (1)证明:A1B1∥A2B2; 证明

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13

(2)过 O 作直线 l(异于 l1, l2)与 E1, E2 分别交于 C1, C2 两点, 记△A1B1C1 S1 与△A2B2C2 的面积分别为 S1 与 S2,求S 的值. 2
解答

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13


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