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关于数列具有”D性质”以及应用



关于数列具有”D 性质”以及应用
2 * 3 3 3 1 (来自 2011 高二七宝中学第一学期试卷 21) 我们知道:对于任意 n ? N 有 (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ) = 1 ? 2 ? ? ? n 、

2 3 3 3 * 成立,尝试将此真命题进行推广:若数列 ? a n ? 对于任意 n ? N 有 ( a 1 ? a 2 ?

a 3 ? ? ? a n ) = a 1 ? a 2 ? ? ? a n

则称数列 ? a n ? 具有”D 性质” 1) 若由三项非零数组成的数列 a 1 , a 2 , a 3 具有”D 性质”,求出所有满足条件的数列 ? a n ? . 2) 若数列 ? b n ? b 1 =1,且 S n =
( n ? 1) b n 2

( n ? N ),则该数列具有”D 性质”么?说明理由( S n 为数列前 n 项和)
*

2 * 3) 若数列 ? c n ? c 1 =1, c 2 =2 满足 c n ? 1 ? c n ? 1 ? 2 S n ,( n ? N )判断并证明

该数列是否具有”D 性质”. ( S n 为数列前 n 项和)

2 3 2 3 3 解:1)当 n=1 时 a 1 ? a 1 ? a 1 ? 1 ;当 n=2 时 ( a 1 ? a 2 ) ? a 1 ? a 2 ? a 2 ? ? 1或 2

当 n=3 时 ( a 1 ? a 2 ? a 3 ) ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ?
2 3 3 3

?a2 ? ?1 ? a2 ? 2 ? ? a3 ? 1 ? a3 ? ? 2或 a3 ? 3

? a 1 ? 1, a 2 ? ? 1, a 3 ? 1或 a 1 ? 1, a 2 ? 2 , a 3 ? ? 2 或 a 1 ? 1, a 2 ? 2 , a 3 ? 3 (3 分)

2) S n =
? ?

( n ? 1) b n 2

S n ?1 =

( n ) b n ?1 2

( n ? N , n ? 1) ? ( n ? 1) b n ? n b n ? 1
*

? bn ? ? 0? ? ? 等 差 数 列 ? b n ? n ? ? b n ? 具 有 " D 性 质 " (4 分) n ?1 ? n ? b n ?1

3) 对于 ? c n ? 1°当 n=1 时 c1 2 ? c13 ,”D 性质成立”
2 3 3 3 * 2°假设当 n=k ( k ? N ) 时有 ( c 1 ? ? ? c k ) = c 1 ? c 2 ? ? ? c k 成立

2 2 2 2 那么当 n=k+1 时有 ( c 1 ? ? ? c k ? 1 ) = ( S k ? c k ? 1 ) ? S k ? 2 c k ? 1 S k ? c k ? 1

3 3 3 2 3 3 3 3 = c 1 ? c 2 ? ? ? c k +( c k ? 1 ? c k ? 1 ) c k ? 1 + c k2 ? 1 = c 1 ? c 2 ? ? ? c k ? c k ? 1

? ? c n ? 具有”D 性质”(5 分)

(该题只能用归纳法证明) 2(上海中学、复旦附中等八校 2011 届高三联合调研数学理科试题 22)(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题, 、 第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.
* 可以证明, 对任意的 n ? N , 有 (1 ? 2 ? ? ? n ) ? 1 ? 2 ? ? ? n 成立.下面尝试推广该命题:
2 3 3 3

( 1 )

设 由 三 项 组 成 的 数 列 a1 , a 2 , a 3 每 项 均 非 零 ,
1

且 对 任 意 的 n ? {1, 2 , 3} 有

( a1 ? a 2 ? ? ? a n )

2

? a 1 ? a 2 ? ? ? a n 成立, 求所有满足条件的数列;
3 3 3

2 3 3 3 * (2) 设数列 { a n } 每项均非零, 且对任意的 n ? N 有 ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n 成立, 数列 { a n }

2 * 的前 n 项和为 S n .求证: a n ? 1 ? a n ? 1 ? 2 S n , n ? N ;

(3) 是否存在满足 (2) 中条 件的无穷数列 { a n } , 使得 a 2 0 1 2 ? ? 2 0 1 1 ? 若存在, 写出一个这样 的无穷数列 (不 需要证明它满足条件); 若不存在, 说明理由.

3、可以证明,对任意的 n∈N*,有(1+2+…+n)2=13+23+…+n3 成立.下面尝试推广该命题: (1)设由三项组成的数列 a1,a2,a3 每项均非零,且对任意的 n∈{1,2,3}有(a1+a2+…+an)2=a13+a23+…+an3 成 立,求所有满足条件的数列;

2

2 (2) 设数列{an}每项均非零, 且对任意的 n∈N*有 1+a2+…+an)=a13+a23+…+an3 成立, (a 数列{an}的前 n 项和为 Sn. 求 2 * 证:an+1 -an+1=2Sn,n∈N ; (3)是否存在满足(2)中条件的无穷数列{an},使得 a2011=2009?若存在,写出一个这样的无穷数列(不需要证 明它满足条件) 若不存在,说明理由。 ; 分析: (1)取 n=1,求出首项 a1 的值,取 n=2,求出 a2 的值,取 n=3,可求出 a3 的值,从而求出所求; (2)由已知,Sn2=a13+a23+…+an3,用 n+1 替换 n,得到(Sn-an+1)2=a13+…+an+13,两式相减,可证得结论; (3)满足(2)中条件的数列递推式为 an+1=an+1 或-an.所以符合 a2011=2009 的数列的前 2011 项为 1,2,…,k-1, k-k,k,k-1,…,2009,之后的项只需满足递推式即可.但要注意不能出现值为 0 的项. 解: (1)取 n=1,有 a12=a13,又 a1≠0,所以 a1=1. 取 n=2,有(1+a2)2=1+a23,于是 a2(a2-2) 2+1)=0,又 a2≠0,所以 a2=-1 或 2. (a 2 3 3 取 n=3,有(1+a2+a3) =1+a2 +a3 , 当 a2=-1 时,a32=a33,又 a3≠0,所以 a3=1. 当 a2=2 时, (1+2+a3)2=1+23+a33,整理得 a3(a3-3) 3+2)=0,所以 a3=3 或-2. (a 综上,说有满足条件的数列为 1,-1,1,或 1,2,3,或 1,2,-2. (2)由已知,Sn2=a13+a23+…+an3,用 n+1 替换 n,得到(Sn-an+1)2=a13+…+an+13,两式相减, 有 an+13-(Sn-an+1)2-Sn2=(2Sn-an+1)an+1,因 an+1≠0,所以 an+12-an+1=2Sn,n∈N+ (3)存在,1,-1,1,2,3,…,2008,2009,2010,…是一个满足条件的无穷数列. 点评:本题主要考查了数列的应用,同时考查了数列的求和,同时考查了推理能力,属于中档题.

3 4(建平中学高三数学周四试卷 14) 、设函数 f ( x ) ? ( x ? 3 ) ? x ? 1 ,设数列 ?a n ? 是公差不为 0 的等差数列,

f ? a 1 ? ? f ? a 2 ? ? ... ? f ? a 7 ? ? 14 , 则 a 1 ? a 2 ? ... ? a 7 ?

解题思路:根据 ?? a 1 ? 3 ?3 ? ? a 1 ? 3 ?? ? ... ? ?? a 7 ? 3 ?3 ? ? a 7 ? 3 ?? ? 14 ? 14 ? 0 ∵ ? a 1 ? 3 ? ? ? a 7 ? 3 ? ? ? a 1 ? 3 ? a 7 ? 3 ? 依此类推
3 3 2

3



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