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数列的通项公式


行胜于言

一题多解、一题多变 一变题:课本 P110 写出数列 {a n } 的前 5 项: a1 ? ?

1 1 , an ? 1 ? 4 an -1

变 题 : 已 知 函 数 f ( x) ? ?2 x ? 2, x ? [ ,1] , 设 f ( x) 的 反 函 数 为 y = g ( x) ,

1 2

a1 = 1, a 2 = g (a1 )

an = g (an-1 ) ,求数列 {a n } 的通项公式。
解:由题意得, y = g ( x) = 1 -

1 1 x , a n = 1 - a n-1 2 2

? an ?
数列,

1 1 2 2 1 2 ? (an ?1 ? ) ,令 bn = a n - ,则 {bn } 是以 为首项, - 为公比的等比 3 2 3 3 2 3
1 1 n-1 (- ) (n ≥ 1) 3 2

故 bn =

从而, a n = bn + 二、一题多解

2 2 n + (-1) n-1 = (n ≥ 1) 3 3 ×2 n -1

x 2 + 2x + a , x ∈[1,+∞) 已知函数 f ( x) = x
(1)当 a =

1 时,求函数 f ( x) 的最小值;2

(2)若对于任意 x ∈[1,+∞), f ( x) > 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围,

解: (1)当 a =

2 1 1 ≥ 2 + 2 2 ,当且仅当 x = 时, f ( x) = x + 2 + 时取等号 2 2x 2 2 k ,+∞) 上是增函数 (k > 0) 性质可知, f ( x) 在 [ 2 x

由 f ( x) = x +

? x ∈[1,+∞) ,所以 f ( x) 在 [1,+∞ ) 是增函数, f ( x) 在区间 [1,+∞ ) 上的最小值为
f (1) = 7 2
x 2 + 2x + a > 0 恒成立 ? x 2 + 2 x + a > 0 x

(2)法一:在区间上 [1,+∞ ) , f ( x) = 恒成立
-1-

行胜于言

设 y = x + 2 x + a ,? x ∈[1,+∞) y = x + 2 x + a = ( x + 1) + a - 1 在 [1,+∞ )上
2

2

2

增 所以 x = 1 时, y min = a + 3 ,于是当且仅当 y min = a + 3 > 0 时,函数 f ( x) > 0 恒 成立, 故 a > -3 法二: f ( x) = x +

a + 2, x ∈[1,+∞) x

当 a ≥ 0 时,函数 f ( x) 的值恒为正; 当 a < 0 时 , 函 数 f ( x) 为 增 函 数 , 故 当 x = 1 时 , y m i n = a + 3 , 于 是 当 且 仅 当

y m i n = a + 3 > 0 时,函数 f ( x) > 0 恒成,故 a > -3
法三:在区间 [1,+∞ ) 上, f ( x) =

x 2 + 2x + a > 0 恒成立 ? x 2 + 2 x + a > 0 恒成立 x

?a > - x 2 - 2 x 恒成立,故 a 应大于 u = - x 2 - 2 x , x ∈[1,+∞ ) 时的最大值-3,
所以 a > -3

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