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椭圆高考题精选



椭 圆 部 分 练 习1 1.(2009 陕西卷文) “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 )

D. 既不充分也不必要条件

2. (2008 上海)设 P 是椭圆 于

x2 y2 ? ? 1 上的点.若 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 | PF1 | ? | PF2 | 等 25 16
( )

A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 . 3.(2009 宁夏)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1.求椭圆 C 的方程;

4. (2008 宁夏) 过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A, B 两点, O 为坐标 5 4
. 答案:

原点, 则△ OAB 的面积为

5 3

5. (2014 江西)过点 M (1,1) 作斜率为 ?

1 x2 y 2 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 2 a b
.

若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为

2 2

6. (2014 安徽)设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E b2

于 A, B 两点,若 AF 1 ? 3 BF 1 , AF 2 ? x 轴,则椭圆 E 的方程为__________

x2 ?

3 2 y ?1 2
1

椭 圆 部 分 练 习2

x2 y 2 3 1. (2014 大纲)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F ,过 F2 1 、 F2 ,离心率为 a b 3
的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为 A. ( )

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

x2 y 2 2. (2014 天津)设椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的左、 右焦点为 F1 , F2 , 右顶点为 A , 上顶点为 B . 已 a b
知 AB =

3 F1F2 .求椭圆的离心率; 2
x2 y2 ? ? 1( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, a2 b2

3.(2009 上海)已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

且 PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________3 1 ? PF 2 .若 ?PF

x2 y 2 4. (2013 新课标 1)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 a b
A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为(
A. )

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27
2

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

5.(2014 福建)设 P, Q 分别为 x 2 ? ? y ? 6? ? 2 和椭圆 A. 5 2 B. 46 ? 2

x2 ? y 2 ? 1 上的点,则 P, Q 两点间的最大距 10
D. 6 2

离是(



C. 7 ? 2

6.(2014重庆)如图,设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,点 D 在椭圆上, a 2 b2

DF1 ? F1F2 ,

2 | F1F2 | .求该椭圆的标准方程; ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 |

2

椭 圆 部 分 练 习3
1. (2013 安徽)设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1的焦点在 x 轴上,若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; a2 1 ? a2

2. (2013 大纲)椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取 4 3


值范围是 ? ?2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

B. ? , ? 8 4

?3 3? ? ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ? , 1?

?3 ? ?4 ?

x2 y 2 C经 3. (2013 四川) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,且椭圆 a b 4 1 过点 P ( , ) .求椭圆 C 的离心率; 3 3
4. (2013 山东)椭圆 C :

x2 y 2 3 ,过 F ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 1 且垂 2 a b 2

直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.求椭圆 C 的方程;
5. (2013 江西)如图,椭圆 C: 2

3 1 x2 y 2 + 2 =1(a >b>0) 经过点 P(1, ), 离心率 e = .求椭圆 C 的方程; 2 2 a b

6. (2013 上海)已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F , 0) 、 F2 (1 , 0) ,短轴的两个端点分别为 B1、 B2 1 (?1

(1)若 ?F 1B 1 B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程;

l Q 两点,且 F1P ? FQ (2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 1 ,求直线 的方
程.

x2 y2 ? ? 1 , x ? 7 y ?1 ? 0 或 x ? 7 y ?1 ? 0 . 4 1 3 3

3

椭 圆 部 分 练 习4
1.(2013 天津)设椭圆

3 x2 y 2 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 2 3 a b 4 3 线被椭圆截得的线段长为 . 求椭圆的方程; 3
2

2. (2013 新课标 1 变式)已知圆 M : x

? ( y ? 1)2 ? 1 ,圆 N : x2 ? ( y ?1)2 ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且

与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程. 3.(2012 新课标)设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
( A)

1 2

(B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

4.(2012 四川)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B ,当 ?FAB 的周 4 3

长最大时, ?FAB 的面积是____________.3

x2 y2 5.(2012 江西)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右顶点分别是 A,B,左、 右焦点分别是 F1, F2.若 AF 1 , a b

F1F2 , F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.

5 5

6.(2012 陕西)已知椭圆 C1 : (1)求椭圆 C2 的方程;

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率。 4

(2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

4

椭 圆 部 分 练 习5 1.(2010 福建)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; 2.(2011 全国新课标) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点

F1 , F2 在 x 轴上,离

2 ?ABF2 的周长为 16, F 心率为 2 . 过点 1 的直线 l 交 C 于 A, B 两点, 且 那么 C 的方程为_________.

x2 y 2 ? ?1 【答案】 16 8
3. (2009 江西) 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ,F2 为右焦点, a 2 b2
)

若 ?F 1PF 2 ? 60 ,则椭圆的离心率为(

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

4.(2011 四川)椭圆有两顶点 A(-1,0) 、B(1,0) ,过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D

3 2 两点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.当|CD | = 2 时,求直线 l 的方程;

y ? ? 2x ? 1
5.(2010 福建)若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点, 4 3

则 OP FP 的最大值为( A.2 B.3

) C.6
2 2

D.8

6.(2011 陕西) 如图,设 P 是圆 x ? y ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的射影,M 为 PD 上一

MD ?
点,且

4 PD 5

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;

4 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 5 的直线被 C 所截线段的长度
5

椭 圆 部 分 练 习6 1. (2008 江西)已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点.满足 MF1 · MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭 圆离心率的取值范围是 A.(0,1) B.(0, ( )

1 ] 2

C.(0,

2 ) 2

D .[

2 ,1) 2

2. (2008 浙江)已知 F1,F2 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,若 25 9
.答案:8

F2 A ? F2 B ? 12 ,则 AB ?
3.(2009 山东)设椭圆 E: 求椭圆 E 的方程; 4.(2009 全国Ⅱ)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a 2 b2

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相 2 a b 3

交于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为

2 (I)求 a , b 的值; 2

e?

c 3 ? ,? a ? 3, b ? 2 a 3

F,F 5. ( 2011 天津)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ( a, b) (a ? b ? 0) 为动点, 1 2 分别为椭圆
x2 y 2 1 e? . ? 2 ?1 2 F PF 2 a b 的左右焦点.已知△ 1 2 为等腰三角形.求椭圆的离心率 e .
x2 y 2 3 6. (2014 新课标 1)已知点 A (0, ?2) ,椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ;F 是椭圆 E 的右 a b 2
焦点,直线 AF 的斜率为 (I)求 E 的方程; (II)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点.当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的直线方程.

2 3 ,O 为坐标原点. 3

6

椭 圆 部 分 练 习7 1. (2008 全国Ⅰ文)在△ABC 中,∠A=90°,tanB= 椭圆的离心率 e= .

3 .若以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C,则该 4

1 . 2 7 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C , 18

2. (2008 全国Ⅰ理)在 △ ABC 中, AB ? BC , cos B ? ? 则该椭圆的离心率 e ? .

3 8

x2 y 2 3. (2012 天津)设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B a b
两点,O 为坐标原点.若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ?

1 ,求椭圆的离心率; 2

4. (2008 辽宁) 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3),(0, 3) 的距离之和为 4,设点 P 的轨迹为

C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A, B 两点.
(Ⅰ)写出 C 的方程;(Ⅱ)若 OA ? OB ,求 k 的值; 此时| AB |的值是多少?

1 y2 4 65 x ? ? 1, k ? ? . AB ? 2 4 17
2

2 x2 y 5. (2014 新课标 2)设 F M 是 C 上一点且 MF2 与 1 , F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点,

a

b

x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;

4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a,b.

7

x2 ? y2 ? 1 F , F F A ? 5F2 B ; 1 2 16. (2011 浙江理 17) 设 分别为椭圆 3 的左、 右焦点, 点 A, B 在椭圆上, 若 1
则点 A 的坐标是__________. (0, ?1)

x2 y 2 1 ? 2 ?1 2 2 2 b 18.(2011 江西)若椭圆 a 的焦点在 x 轴上,过点(1, 2 )作圆 x +y =1 的切线,切点分
x2 y 2 ? ?1 4 别为 A,B,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是______________. 5

x2 y 2 4.(2009 浙江)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,且 a b
BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是(
A. )
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

2 2 44. (2008 北京)已知 △ ABC 的顶点 A,B 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上, C 在直线 l:y ? x ? 2 上,且

AB ∥ l . (Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ ABC 的面积;
(Ⅱ)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程. 2, y ? x ? 1

7. (2014 辽宁)已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分 9 4
8

别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?
18. (2013 新课标 1)已知圆 M : ( x ? 1)
2

.12

? y 2 ? 1 ,圆 N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 M 外切并且与
y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1, 0) ,过 C1 a 2 b2

圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程; 23.(2009 浙江) (本题满分 15 分)已知椭圆 C1 : 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 .求椭圆 C1 的方程; 17. (2011 陕西文) 设椭圆 C:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) ,离心率为 2 5 a b

(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

x2 y 2 2.(2013 辽宁)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C与过原点的直线相交于 a b
4 连接AF , BF .若 AB ? 10, BF ? 8, cos ?ABF ? , 则C的离心率为 A, B两点, 5 3 5 4 6 (A) (B) (C) (D) 5 7 5 7

9



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