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一道高考试题多元表征下的思路探究


第3 4 卷第 4 期

2 0 1 5 年4 月  

数学教 学研究 

5 9  



道高考试题 多元表征下的思路探 究 
张 同语  
( 安徽 省五河县第一中学 2 3 3 3 0 0 )  

当我们遇到一个数学 问题并试着去解决 
它时 , 问题 表 征 是 解 题 过 程 的起 点.同 一 个 

=  ?2 b ( 2 a- -b ) +c ,  

数学对象 , 可以有不同的表征方式 , 各种表征 
扮 演 着不 同 的 角色 , 它 们 或 是 思 维 运 演 的 素 

联 想 不 等 式 口 6 ≤ (  ) 2 , 从 而 有  

材, 或是联系沟通的角色 , 或是减轻思维负荷 

的工具 , 或是化 抽象 为直观 的手段. 由此 可  见, 如何根据问题的特征 , 合理地表 征J 问题 ,  
是解决数学问题的关键 . 本文 以 2 0 1 4 年高考 
辽 宁省理 科第 1 6题 为例 , 谈谈 如 何运 用 多元  表征 理论 , 寻 求解题 途 径 .   题目



( 2 a + 6 )   一 号? 2 b ( 2 a - 6 ) + c   ≤ 导 (   ) 。  
故 ( 2 a + 6 ) z ≤ 譬 ,  
当 且仅当3 a = 3 b 时等 号成 立, 此时口 一 要 6 , f  
=l O b 。 , 所 以 
3  


对于 c >0 , 当非 零 实数 n , b满 足 

4 a   -2 a b +4 b 。 一c 一0且 使 I   2 n +b   I 最 大时,  
_ = - n  

4  .  5  
一"

l -一

= : = 一

】  

2  
 

生+亘 的最小值为
b  。  C   H   J ’   /  

n  
:  

b ‘c  


2 b  

b  

1   1

本题是多元最值 问题 , 考查 的知识面较 
广, 涉及知识点错综 复杂 , 考生很难破 解, 要 
想解答 本 题 , 必 须 明 确 3个 变 量 间 的 关 系 ,  

2 ) 2   N2  ̄ -2 .  

即 当 n 一 号 , 6 一 丢 , c 一   5 时 , 丢 一 丢 +   取  
得 最小值 一2 .  

J   2 口 +6   I 的意义 , 弄清这两个问题才能抓住关 
键, 通 过减 元 , 进而 把 问题 转化 为熟 悉 的数 学  问题求 解.   1 调 整 题 目条 件 的 表征 方 式 , 启发思维 。 灵 
活求解 

思路 2 由条件知 当 a b >O , l   2 n +6 I 可 

取最大值 , 设2 a +b  ̄t - , 则6 =  一2 口 , 条件又 
可 表征为关 于 a的二 次 方程 
2 4 a0 — 1 8 at 上 4 t 2 -c  ̄O  

数 学 问题 的有效 解 决 常常依 赖 于对 问题  的恰 当表征 , 不 同 的表 征 方 式 会 产 生 不 同 的  解 题思 路 , 进 而获得 问题 的解决 .  

有实根 , 所 以 
△一 - 6 0 t 。 +9 6 c >  ̄ 0,  


得 

- 0 T c 一— 2   J] 1


. 

思路 1 将题 目的条件 
4 a 。 -2 a b +4 b   一f —O 。  

由1   2 a +b l 一— 2   J  1 - 6  ̄




得 
,  

表征为 
( 2 a+6 ) 0 —3 b ( 2 口 -b ) +c  
收稿 日期 : 2 0 1 4 — 1 l - 0 4  
f  

2 0 a 0 +5 b   +2 0 a b  
— — —   — 一

6 0  

数 学教 学研 究 

第3 4 卷第 4 期

2 0 1 5 年4 月 

代 入条件 得 
( 2 a- -3 b ) 。 一O .  

得[ 3 x + y 一 一 I   c o s   0 +  s i n  
≤ √ 警 +   一 √ 警 ,  
所 以 

所以 2 a =3 b , 以下 同思路 1 .   思路 3 对所 给 条 件 4 a   一2 a b +4 6 。 一C  

一0施行 配方 策略 , 将 其条 件再 次表 征为 


8 。 ( 2 a + 6 ) 。 + 蓄 ( 2 n 一 3 6 ) 。 一 c ,  

l   2 口 +  i = : = I 3  + I ,  
当 x=5 y时 ,  

则 詈( 2 n + 6 )   ≤c ,  

I Z a - F b [ 一一 

c ,  

即1 2 a + h i 一 ≤ √ 警 ,  
当且仅当 2 a =3 b 时取得等号, 此时 n =鲁6 ,  
下 同思路 1 .  

n= 6 b, b= 4 y, c一 1 6 0 y  ,  

量 一旦 _ L 互 一  L 一 
a  
—  

b  

c   3 2 y。

2 y 

t   (   t一8 )   一2 ≥ 一2

,  

由此可见 , 问题条件的呈现方式不同, 会  导致解题思维发生变化 , 解题 的效果也就有 
明显 差异 .  

当   一 吉 , 即 n 一 丢 , 6 一   1 , c =   5 时, 昙 一 丢  
+旦取得最小值 一2 .  

2 激 活 知识块 多 元表征 , 让 思路 来得 更宽些 

由问题 的表征联想起一个有效的解题知  识块 , 使问题得到重新组织或重新归类 , 从而 
获得一 个 可行 的解题 方 案.   由4 a 。 -2 a b +4 6   一c —O联 想 到解 几 中 

思路 5 由题意还可联想柯西不等式得 
( 3 x - I - y ) 。 ≤[ (  z )   +(  
?

)   ]  

[  ) 。 + (  ) 。 ] 一 警 .  

的二次曲线 , 为此通过和 、 差代换令 z + 一  
口 , z — 一6 , 则4 a 。 -2 a b +4 b 。 一c 一0就 可 表 

下 同思 路 4 .  
3 变通 问题表 征 的信 息形式 , 语 言转 换化 陌 
生 为熟悉 

征 为 譬+  一 1 , 此 时2 a + 6 — 3 z +   , 又  
圆. 这样一来 , 原题就可表征为 :  

数学问题一般都是 由文字语言 、 符号语  言、 图形语言这 三种语言形式 中的一种 或几 
能灵 活地通 过 图形 来 直 观 表征 , 遇 到情 况 复 

c > o , 故 旦 芋 +  : 1 是 焦 点 在 z 轴 上 的 椭   种混合表述 的, 不少学生 , 看到数式 , 往往不 

已 知 譬+  一 1 , 探 求 f   3   +   I 取 得   难 为易 , 化 陌 生为熟 悉 的 目的.  
最 大值 的条件 , 由此 又 可获 得 :  

杂的题 目, 不能通过重构问题的表征 , 达到化 
对于本 题 , 由于研 究 J   2 口 +b   J 的最 大 值 ,  

不 妨设 a   思 路 4  由 条 件 鱼 ≠ +   : 1 , 联 想 到   容 易判定  > O时 才 能 取 得 最 大 ,

>O , b >O , 由条件中的“ n 。 +b z ” 和“ n 6 , , , 我们 
可 自然联 想到 三角形 中 的余 弦定 理 , 由此得 :  

椭 圆的参 数方 程 

思路 6 由条件 4 a 。 -2 a b +4 b   -c  ̄ - - O ,  

数 
  ’

可变为 
a2 -b 2 -2 ab。  1一   C
.  



,  

0   1 0  

第3 4卷第 4 期

2 0 1 5 年 4月  

数 学教 学研 究 

6 1  

由此- n - I 将该 题 亘耕 表 , 化为 :  

a 一—   一 , 6 一]   ’  

3   / ] 0 c。 ~ / 1 0  

z  ̄ _ AABC 中 c 。 s   f一 百 1



A B = % , 当  
. 

2 口 +6 取最大值时 , 求  3 一一 4   k 5 ̄lz l 、 值
据 正弦 定理 得 

故丢 一 号 + ÷ 一 ÷ 一  


( √ ÷ 一   ) 。 ≥ ’ 2 ,  

,  


垒 一  
所 以 
n : 

一上

:  生

所 以当 口 一  , 6 =  1,f =  5时
.  

号 + 詈  

s i n   A  s i n   B  s i n   C /丙 ’  

取得最小值 一2 .   通过对上述这道 高考试题的研究 , 可以   看 出, 一个具体的数学问题对象 , 往往具有多 

s i n   A, 6 : 

s i n   B,  

 ̄ / 1 5  

、 / , 1 5  

元表征 , 这些不同的数学表征, 在表示信息上 
是等效的 , 但在运用功能上确各有不同, 如图 

2 n +6 一  ( 2 s i n   A+ s i n   B) ,   √1 5   又 2 s i n   A+ s i n   B一  s i n ( A- I - g ),  

形表征适合于直觉思维 , 符号表征适 合逻辑 
思维. 数学表征的优先性与典型性 , 既与数学 

其 中   为 锐 角 , t a n   = 华, 当 A - b  ̄ p - y   有关. 数学教学中, 我们应该重视数学问题之 
时,  



表征的客体性质有关 , 也与解题者的主观性  多元表征 , 充分利用这些表征促进学生对数 

 

?  



 

,  

学 的理解.  
参 考文献 

s i n   A= c o s   J  

4 4 _ 7

[ 1 ] 郑毓信. 多元表征理论与概念教学[ J ] . 中学数 
学教 学参考 , 2 0 1 1 , ( 5 — 6 ) .  

6,  

( 上接 第 5 8页)  

化 简得 
a   =4 b   , a   =4 ( c 。 -a   ) ,  
5 a2 —4 C 2  ̄ e 2 一  5
, 

评析

解答此题要求学生具有解题的严 

谨性与完整性. 解 法 自然 , 朴素. 罗素说过 :   “ 数学是符号加逻辑 , 问题 的思考, 问题 的逻  辑性和条理性 , 力求步步有据 , 简洁而不缺其 
严 谨性. ”  

故 

2.  
一  

高考 的客观题试卷还体现了当前深化课 
、  

程改革的精神, 注重对基础知识考察 , 强调学 
习能力 , 强调思维特点 , 强化数学本质. 试卷  贴近高中数学教学的实际, 试题突出表现为,  



t x  

I  
I  

, + , n = 0 \   \  
\  
图2  

常规而不常见 、 丰富而不 堆砌 、 创新 而不偏 
倚、 简约而不简单. 它给高中数学教学 以正确 
、   j  

的导向, 给高中数学教师 留有一定 的思考空 
间.  


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