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特殊的椭圆离心率背景种种



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数 学 通 讯               2001 年第 1 期

特殊的椭圆离心率背景种种
蒋建华
( 海安高级中学 , 江苏   226600)

中图分类号 :O123 - 42      文献标识码 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2001) 01 - 0026 - 02    学习平面解析几何的读者一定解决过许多与椭 圆离心率相关的问题 , 并熟悉一些相关的特殊值 , 但 也许并未留意过 ( 更少研究过) 每个特殊值背后所蕴 含的丰富深刻的本质内涵和形形色色的背景特征 . 作为研究性学习与数学兴趣小组活动的极好素材 , 本文旨在通过对椭圆离心率的几种特殊值的种种背 景研究 , 揭示其趣味性 、 广泛性 、 深刻性 , 以利于培养 学生综合应用与创新思维的能力 . 1  e = 1/ 2 1 e= 的有关背景较为丰富 , 本文作重点研究 2 与介绍 .
x y + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的右 a2 b 焦点为 F1 , 右准线为 l 1 , 若过 F1 且垂直于 x 轴的 弦的长等于点 F1 到 l 1 的距离 , 则椭圆的离心率是

| F1 F2 | , 得 a = 2 c , 即 e =

c 1 = . a 2

【背景 1】   设椭圆

2

2

图3  背景 4 图         图4  背景 5 图

1 ( 1999 年全国高考数学试题文理科第 15 题 , 原为 2 填空题) .

【背景 4】   如图 ( 图 3) , 设 O 为椭圆中心 , A , B 分别为椭圆的顶点 , F 为右焦点 , 若 ∠B FA = 120° 或 1 F 为 OA 中点 , 则椭圆的离心率为 . 2 【背景 5】   设椭圆

x2 y2 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的左 、 a b 右焦点分别为 F1 , F2 , P 为椭圆上一点 , 且 PF2 ⊥x

图1  背景 1 图         图2  背景 3 图

   分析   设此弦为 PQ , l 1 与 x 轴交于点 K , 过 P 1 作 PP0 ⊥ l 1 于 P0 , 则 | PF1 | = | PQ | , | PP0 | = 2 1 ? | PQ | | PF1 | 2 1 | F1 K| , ∴ e = = = . | PF0 | | F1 K| 2 背景 1 也可表述为 : 若椭圆的通径长等于其焦 1 点到相应准线的距离 , 则椭圆的离心率为 . 2 【背景 2】   若椭圆二准线间距离等于长轴长的 1 2倍或焦距的 4 倍 , 则其离心率 e = . 2 【背景 3】   设椭圆 轴一端点与二焦点组成一个正三角形则椭圆的离心 1 率为 . 2 分析  如 图 2 , 正 △B F1 F2 中 , 由 | B F1 | =
x2 y2 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的短 a b

4 1 时 , 椭圆的离心率为 . 3 2 分析   如图 4 , 设| F1 F2 | = 2 c , 则由 4 3 tg ∠F1 PF2 = , 得 | PF2 | = c , 于是 3 2 5 | PF1 | = | PF2 | 2 + | F1 F2 | 2 = c , 由椭圆第一定 2 5 3 义知 :   | PF1 | + | PF2 | = c+ c = 4 c = 2 a ,即 e 2 2 c 1 = = . a 2

轴 , 当 tg ∠F1 PF2 =

x y 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 左焦 a b 点为 F , 右顶点为 A , 短轴二端点分别为 B 1 , B 2 , 若

【背景 6】   设椭圆

2

2

S 四边形AB

1

FB

2

= 3 S △FB 1 B 2 , 则椭圆的离心率是

分 析   如 图 5 , 由 已 知 可 得 S △AB 1 B 2 = 2 S △FB 1 B 2 , 而 △FB 1 B 2 与 △A B 1 B 2 同底 , 于是 | OA | c 1 = 2| O F| , 即 a = 2 c , ∴ e = = . a 2 【背景 7】   设椭圆

1 . 2

x2 y2 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的内 a b

1 . 2 分析   如图 6 , 四边形 A B CD 为椭圆的内接矩 θ, bsinθ ) ,则 形 , 且 A 点位于第一象限 , 设 A ( acos

接矩形面积的最大值为 3 a2 , 则椭圆的离心率是

收稿日期 :2000 - 09 - 27 ) , 男 , 江苏姜堰人 , 江苏海安高级中学高级教师 , 学士 . 作者简介 :蒋建华 ( 1959 —

2001 年第 1 期               数学通讯

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距离是该焦点到长轴上相应端点距离的 3 倍 , 则该 2 椭圆离心率 e = . 3 【背景 2】   若椭圆 间的距离等于长轴长的
x y + 2 = 1 ( a > b > 0) ,二准线 a2 b
2 2

图5  背景 6 图        图6  背景 7 图

θ? S 矩形 = 4 ? acos bsinθ = 2 absin2θ, ∴ 当 sin2θ = 1 时 , ( S 矩形 ) max = 2 ab , 又已知 ( S 矩形 ) max = 3 a2 , ∴ 2 ab = 3 a2 , 即 2 b = 3 a , ∴ 4 b2 = 3 a2 , 即 4 ( a2 c 1 2 2 c ) = 3 a ,得 a = 2 c , ∴ e = = . a 2 说明   亦可设 A ( x 0 , y0 ) ( x 0 , y 0 ∈R + ) , 则
S 矩形 = 4 x 0 y 0 = 4 ab
2 2

x 0 y0 ? a b

x0 y0 2 + 2 ) = 2 ab , a b ∴ ( S 矩形 ) max = 2 ab ( 以下同) . 2 2 x y 【背景 8】   设以椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的 a b 短轴为一条对角线的正六边形与 x 轴正半轴交于 K , F 为右焦点 , A 为右顶点 , 若 | O K| 是 | OA | 与

≤ 2 ab (

1 . 2 分析  如图 7 , 由题设可知 , | OA | + | O F| = 3 2| O K| , 且| O K| = b, 2 ∴ a + c = 3 b, 即 a2 + 2 ac + c2 = 3 b2 = 3 ( a2 - c2 ) . ∴ 2 c2 + ac - a2 = 0 , 即 2 e2 + e - 1 = 0 . 1 ( e = - 1 舍去) . ∴e= 2 | O F| 的等差中项 , 则椭圆的离心率是

3 2 倍 ,则该椭圆离心率 e = . 2 3 仿照 1 中有关背景进行演变可得其它一些背 景 , 请读者自行研究 . 3  e = 3/ 5   【背景 1】   椭圆短轴的长等于一个焦点到长轴 3 上与其距较远的端点的距离 , 则离心率 e = . 5 简证   2 b = a + c ] 4 ( a2 - c2 ) = a2 + 2 ac + c2 ] 5 c2 + 2 ac - 3 a2 = 0 ] 5 e2 + 2 e - 3 = 0 ] e = 3 ( e = - 1 舍去) . 5 【背景 2】   若椭圆的长半轴 、 短半轴 、 半焦距依 3 次成等差数列 , 则其离心率 e = . 5 4  e = 2 / 2      【背景 1】   若椭圆的二准线间的距离等于其焦 2 距的2倍 , 则该椭圆的离心率 e = . 2 【背景 2】 若从椭圆一焦点看短轴两端点 ( 或 从短轴一端点看两焦点) 的视角为直角 , 则该椭圆的 2 离心率 e = . 2

图9  背景 3 图     图 10   背景 4 图

图7  背景 8 图      图8  背景 9 图

x2 y2 2 + 2 = 1 , ( a > b > 0) 的右 a b 顶点为 A , 左焦点为 F , 将坐标平面沿 y 轴折成 60° 的二面角 , 若点 A 在另一半平面内的射影恰好为点

   【背景 9】   设椭圆

F , 则椭圆的离心率是

分析  如 图 8 , A F ⊥平 面 FB 1 B 2 , ∠A O F = 60° , 则在 Rt △A O F 中 , 1 cos ∠A O F = cos60° = , 2 | O F| c c 1 而 cos ∠A O F = = , ∴e= = . | OA | a a 2 2  e = 2/ 3 【背景 1】   若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的

1 . 2

【背景 3】   若以椭圆二焦点为直径端点的圆与 2 该椭圆相切 , 则该椭圆离心率 e = . 2 2 简证   由图 9 易知 b = c , 故可得 e = . 2 【背景 4】  ( 解几课本必修本 P110 第 12 题 ) 如 图 10 , 从椭圆上一点 P 向 x 轴作垂线 , 恰好通过椭 圆的一个焦点 , 这时椭圆的端点 A 和短轴的端点 B 2 的连线平行于 O P , 则此椭圆的离心率 e = . 2 5  e = 3/ 2 【背景 1】   若从椭圆一焦点看短轴两端点的视 ( 或从短轴一端点看两焦点视角为 120° ) ,则 角为 60° 3 该椭圆的离心率 e = . 2 a ( 简证   依题设 ,b = 或 c = 3 b) , 由此得 e = 2 3 . 2 【背景 2】   设 F1 ,F2 为椭圆的焦点 ,B 、 B′ 为短轴 二端点 , 若 △ BF1B′ 为正三角形 ( 或四边形 F1BF2B′ 3 ) ,则该椭圆离心率 e = 为菱形且 ∠ BF1B′ = 60° . 2



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