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高二选修2-2 第一章 导数(周考)2014年


高二选修 2-2 第一章导数(周考)

1 7 1.已知曲线 y=-2x2-2 上一点 P( 3, ? ) ,则在点 P 的切线的倾斜
2

角为( A.30°

) B.60° C.150° D.120°

2.设曲线 y=x2+x-2 在点 M 处的切线的斜率为 3,则点 M 的坐标 为( ) A.(0,-2) B.(1,0) C.(0,0) D.(1,1)

解析:设点 M(x0,y0), ?x0+Δx?2+?x0+Δx?-2-?x2 0+x0-2? ∴k=Δ lim x→0 Δx =2x0+1,由 2x0+1=3,得 x0=1,所以 y0=0.故选 B.
3.函数 f(x)=x3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( A.0≤a<1 C.-1<a<1 B.0<a<1 1 D.0<a<2
2

)

4、已知 f(x)是定义域 R 上的增函数,且 f(x)<0,则函数 g(x)=x f(x)的单调情况一定是 ( ) (A) 在(-∞,0)上递增 (C)在 R 上递增 (B)在(-∞,0)上递减 (D)在 R 上递减

? ax 2 ? 1,x ? 0 5.已知 f ( x ) ? ? 2 在(- ? ,+ ? )上是单调增函数,则 a 的取值 ax ?( a ? 1 )e ,x ? 0

范围是 A. (-?,- 2] (1, 2] C. (1, 2] B. [- 2 ,?1) [ 2 ,??) D. [ 2, ? ?)
( )

6、已知函数 y ? xf ?( x) 的图象如右图所示(其中 f '( x) 是函数 f ( x ) 的导函数),下面四个 图象中 y ? f ( x) 的图象大致是 C

y
1

x
1 2

-2

-1

O -1

7、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 (A)-1<a<2 (C)a<-3 或 a>6 (D) a<-1 (B) -3<a<6 ( )

8 、 曲 线 y ? ln(2 x ? 1) 上 的 点 到 直 线 的最短距离是 ( A )

2x ? y ? 3 ? 0

( A) 5
( D) 0

(B) 2 5

(C ) 3 5

9、设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f ′(x),且函数 y=(1-x)f ′(x)的图象如右下图所示, 则下列结论中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2)

10 、 一 物 体 以 v(t)=t -3t+8(m/s) 的 速 度 运 动 , 则 其 在 前 30 秒 内 的 平 均 速 度 为 __________263 ____(m/s).

2

11.函数 f ( x ) ? 12 x ? x3 在区间[-3,3]上的最大值是

.

12.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 f(x)=x3+3x2-1 相切的直线方程是 ________. 13.设 a ? R ,若函数 y ? ex ? ax,x ? R 有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围 是 . 14.(本小题满分 l6 分) 已知函数 f ( x ) ? ax3 ? bx2 ? 3x( a,b ? R ) 在点(1,f(1))处的切线方程为 y+2=0。 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1,x2,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 )|? c ,求 实数 c 的最小值; (3)若过点 M(2,m)(m≠2)可作曲线 y=f(x)的三条切线,求实数 m 的取值范围。
15、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3x
3

(I)求函数 f ( x ) 在 [ ?3, ] 上的最大值和最小值. (II)过点 P(2, ?6) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线的方程. 15、 (本小题满分 12 分) 解: (I) f '( x) ? 3( x ? 1)( x ? 1) , 当 x ?[?3, ?1) 或 x ? (1, ] 时, f '( x) ? 0 , ……………………………………………2 分

3 2

3 2

3 ?[?3, ?1],[1, ] 为函数 f ( x) 的单调增区间 2 当 x ? (?1,1) 时, f '( x) ? 0 , ?[?1,1] 为函数 f ( x) 的单调减区间
又因为 f (?3) ? ?18, f (?1) ? 2, f (1) ? ?2, f ( ) ? ? 所以当 x ? ?3 时, f ( x)min ? ?18 当 x ? ?1 时, f ( x)max ? 2 ………………………………………………6 分

3 2

9 ,………………………………5 分 8

(II)设切点为 Q( x , x3 ? 3x ) ,则所求切线方程为

y ? ( x3 ? 3x ) ? 3( x2 ?1)( x ? x )


……………………………………………… 8

由于切线过点 P(2, ?6) ,??6 ? ( x3 ? 3x ) ? 3( x 2 ?1)(2 ? x ) , 解得 x ? 0 或 x ? 3 ………………………………………………10 分 所以切线方程为 y ? ?3x或y ? 6 ? 24( x ? 2) 即

3x ? y ? 0 或 24 x ? y ? 54 ? 0
.

…………………………

16. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ? b(a, b ? R) ,在点 (e, f (e)) 处的切 线方程是 2 x ? y ? e ? 0 (e 为自然对数 的底) 。 (1)求实数 a , b 的值及 f ( x ) 的解析式; (2)若 t 是正数,设 h( x) ? f ( x) ? f (t ? x) ,求 h( x) 的最小值; (3)若关于 x 的不等式 x ln x ? (6 ? x)ln(6 ? x) ? ln(k 2 ? 72k ) 对一切 x ? (0, 6) 恒成立, 求实数 k 的取值范围. 16. 解: (1)依题意有

2e ? f (e) ? e ? 0 ? f (e) ? e

f '( x) ? a ln x ? a ? b ? f '(e) ? a ln e ? a ? b ? 2 ? 2a ? b ? 2 ? b ? 2 ? 2a (e, f (e))在f ( x)上 ; ? f (e) ? ae ln e ? b ? ae ? b ? e ? ae ? 2 ? 2a ? e ? a ? 1 ?b ? 0 ? f ( x) ? x ln x
故实数 a ? 1, b ? 0, f ( x) ? x ln x (2)

h( x) ? f ( x) ? f (t ? x) , ? x ln x ? (t ? x) ln(t ? x)
h( x) 的定义域为 (0, t ) ; h '( x) ? ln x ? 1 ? [ln(t ? x) ? 1] ? ln
t t ? h( x)在( , t )上是 增函数? h( x)在( 0, )上是减函数 2 2 t t ? h( x) min ? h( ) ? t ln 2 2
(3)

x t?x

x ln x ? (6 ? x) ln(6 ? x) ? f ( x) ? f (6 ? x) ? h( x)
由(2)知 h( x) min ? h( ) ? t ln

t 2

t 2

6 ? t ? 6, h( x) min ? h( ) ? 6 ln 3 ? ln 729 2 x ln x ? (6 ? x)ln(6 ? x) ? ln(k 2 ? 72k ) 对一切 x ? (0, 6) 恒成 立

?ln(k 2 ? 72k ) ? ln 729
? k 2 ? 72k ? 0 ?? 2 ,??9 ? k ? 0, 72 ? k ? 81 故实数 k 的取值范围 [?9,0) ? (72,81] . ?k ? 72k ? 729
17.(12 分)已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取得极大值,求实 数 a 的取值范围. 17、解:若 a=0,则 f′(x)=0,函数 f(x)不存在极值; 若 a=-1,则 f′(x)=-(x+1)2≤0,函数 f(x)不存在极值; 若 a>0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在 x=a 处 取得极小值;

若-1<a<0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)>0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,故函数 f(x)在 x=a 处取得极大值; 若 a<-1,当 x∈(-∞,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,-1)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值, 综上,a 的取值范围是(-1,0).



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