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2015年02月23日高中数学组卷 2



2015 年 2 月 23 日数学 2

参考答案与试题解析
一.选择题(共 4 小题) 1. (2014?安徽)在平面直角坐标系 xOy 中.已知向量 、 ,| |=| |=1, ? =0,点 Q 满足 C={P| = cosθ+ sinθ,0≤θ≤2π},区域 Ω={P|0<r≤| B 1<r<3≤R . = ( + ) ,曲线 )
<

br />|≤R,r<R}.若 C∩ Ω 为两段分离的曲线,则( D 1<r<3<R .

A 1<r<R<3 .

C r≤1<R<3 .

考点:向量在几何中的应用. 专题:平面向量及应用;直线与圆. 分析:
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不妨令 =(1,0) , =(0,1) ,则 P 点的轨迹为单位圆,Ω={P|(0<r≤|

|≤R,r<R}表示的平面区域为:以

Q 点为圆心,内径为 r,外径为 R 的圆环,若 C∩ Ω 为两段分离的曲线,则单位圆与圆环的内外圆均相交,进 而根据圆圆相交的充要条件得到答案. 解答: 解:∵ 平面直角坐标系 xOy 中.已知向量 、 ,| |=| |=1, ? =0, 不妨令 =(1,0) , =(0,1) , 则 = ( + )=( , ) ,

= cosθ+ sinθ=(cosθ,sinθ) , 故 P 点的轨迹为单位圆, Ω={P|(0<r≤| |≤R,r<R}表示的平面区域为:

以 Q 点为圆心,内径为 r,外径为 R 的圆环, 若 C∩ Ω 为两段分离的曲线, 则单位圆与圆环的内外圆均相交, 故|OQ|﹣1<r<R<|OQ|+1, ∵ |OQ|=2, 故 1<r<R<3, 故选:A 点评:本题考查的知识点是向量在几何中的应用,其中根据已知分析出 P 的轨迹及 Ω={P|(0<r≤| R}表示的平面区域,是解答的关键. 2. (2014?重庆)已知△ ABC 的内角 A,B,C 满足 sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+ ,面积 S 满足 1≤S≤2, 记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,在下列不等式一定成立的是( ) A. bc(b+c)>8 B. ab(a+b)>16 C. 6≤abc≤12 |≤R,r<

D. 12≤abc≤24

1

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考点:正弦定理的应用;二倍角的正弦. 专题:三角函数的求值;解三角形. 分析:根据正弦定理和三角形的面积公式,利用不等式的性质 进行证明即可得到结论. 解答:
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解:∵ △ ABC 的内角 A,B,C 满足 sin2A+sin(A﹣B+C)=sin(C﹣A﹣B)+ , ∴ sin2A+sin2B=﹣sin2C+ , ∴ sin2A+sin2B+sin2C= , ∴ 2sinAcosA+2sin(B+C)cos(B﹣C)= , 2sinA(cos(B﹣C)﹣cos(B+C) )= , 化为 2sinA[﹣2sinBsin(﹣C)]= , ∴ sinAsinBsinC= . 设外接圆的半径为 R, 由正弦定理可得: 由 S=
2

=2R, = ,

,及正弦定理得 sinAsinBsinC=

即 R =4S, ∵ 面积 S 满足 1≤S≤2, ∴ 4≤R ≤8,即 2≤R≤ 由 sinAsinBsinC= 可得
2

, ,显然选项 C,D 不一定正确,

A.bc(b+c)>abc≥8,即 bc(b+c)>8,正确, B.ab(a+b)>abc≥8,即 ab(a+b)>8,但 ab(a+b)>16 ,不一定正确, 故选:A 点评: 本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和计算能力,属于难题.

3. (2014?江西)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c =(a﹣b) +6,C= 积是( A . ) B. C. D . 3

2

2

,则△ ABC 的面

考点:余弦定理. 专题:解三角形. 2 2 2 2 2 分析:将“c =(a﹣b) +6”展开,另一方面,由余弦定理得到 c =a +b ﹣2abcosC,比较两式,得到 ab 的值, 计算其面积. 解答:
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2

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解:由题意得,c =a +b ﹣2ab+6, 2 2 2 2 2 又由余弦定理可知,c =a +b ﹣2abcosC=a +b ﹣ab, ∴ ﹣2ab+6=﹣ab,即 ab=6. ∴ S△ABC= = .

2

2

2

故选:C. 点评:本题是余弦定理的考查,在高中范围内,正弦定理和余弦定理是应用最为广泛,也是最方便的定理之 一,高考中对这部分知识的考查一般不会太难,有时也会和三角函数,向量,不等式等放在一起综合考查.

4. (2014?江西) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 若 3a=2b, 则 A . ﹣ B. C. 1 D .

的值为 (



考点:余弦定理;正弦定理. 专题:解三角形. 分析:根据正弦定理,将条件进行化简即可得到结论. 解答:
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解:∵ 3a=2b,∴ b=



根据正弦定理可得

=

=

=



故选:D. 点评:本题主要考查正弦定理的应用,比较基础. 二.填空题(共 20 小题) 5. (2014?江西)已知单位向量 与 的夹角为 α,且 cosα= ,若向量 =3 ﹣2 ,则| |= .

考点:向量的模. 专题:平面向量及应用.
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分析:由条件利用两个向量的数量积的定义求出 解答: 解: ∴ | |=3, =9

的值,从而得到| |的值.

=9,

故答案为:3. 点评:本题主要考查两个向量的数量积的定义,求向量的模的方法,属于基础题.

6. (2014?陕西)设 0<θ<

,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) ,若 ∥ ,则 tanθ=



3

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考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出. 解答:
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解:∵ ∥ ,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(cosθ,1) , ∴ sin2θ﹣cos θ=0, 2 ∴ 2sinθcosθ=cos θ, ∵ 0<θ< ∴ 2tanθ=1, ∴ tanθ= . 故答案为: . 点评:本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式,属于基础题. ,∴ cosθ≠0.
2

7. (2014?北京)已知向量 , 满足| |=1, =(2,1) ,且 考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题:平面向量及应用. 分析:

+ = (λ∈R) ,则|λ|=



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设 =(x,y) .由于向量 , 满足| |=1, =(2,1) ,且

+ = (λ∈R) ,可得

,解出即可.

解答: 解:设 =(x,y) . ∵ 向量 , 满足| |=1, =(2,1) ,且 ∴ + = (λ∈R) ,

=λ(x,y)+(2,1)=(λx+2,λy+1) ,



,化为 λ =5.

2

解得 . 故答案为: . 点评: 本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法,属于基础题.

8. (2014?湖北)若向量

=(1,﹣3) ,|

|=|

|,

?

=0,则|

|=



4

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考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出. 解答:
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解:设

=(x,y) ,∵ 向量

=(1,﹣3) ,| ,解得 或

|=|

|, .

?

=0,



∴ =(3,1) , (﹣3,﹣1) . ∴ = ∴ = =(2,4)或(﹣4,2) . .

故答案为: . 点评: 本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系,属于基础题. 9. (2014?天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠ BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF, 若 ? =1,则 λ 的值为 .

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考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的基本定理,结合数量积的运算公式,建立方程即可得到结论. 解答: 解:∵ BC=3BE,DC=λDF,
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∴ = = +

, =

= +

, = + , = + = + = + ,

∵ 菱形 ABCD 的边长为 2,∠ BAD=120°, ∴ | |=| ∵ ? ∴ ( + |=2, =1, )?( ×4﹣2(1+ , + )= )=1, + +(1+ ) ? =1, ? =2×2×cos120°=﹣2,

即 ×4+ 整理得

解得 λ=2, 故答案为:2. 点评: 本题主要考查向量的基本定理的应用,以及数量积的计算,要求熟练掌握相应的计算公式. 10. (2014?山东)若△ ABC 中,已知 时,△ ABC 的面积为

?

=tanA,当 A=



考点: 平面向量数量积的运算;三角形的面积公式. 专题: 平面向量及应用. 分析:

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由条件利用两个向量的数量积的定义,求得 AB?AC= ,再根据△ ABC 的面积为 果. 解答: 解:△ ABC 中,∵ ? ∴ 当 A= =AB?AC?cosA=tanA, = ,解得 AB?AC= ,

AB?AC?sinA,计算求得结

时,有 AB?AC?

△ ABC 的面积为 故答案为: .

AB?AC?sinA= × × = ,

6

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点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,三角形的面积公式,属于基础题.

11. (2014?重庆)已知向量 与 的夹角为 60°,且 =(﹣2,﹣6) ,| |= 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的模、夹角形式的数量积公式,求出即可 解答:
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,则 ? =



解:∵ =(﹣2,﹣6) , ∴ ∴ =2 =10.

故答案为:10. 点评: 本题考查了向量的数量积公式,属于基础题.

12. (2014?陕西)设 0<θ<

,向量 =(sin2θ,cosθ) , =(1,﹣cosθ) ,若 ? =0,则 tanθ=



考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 2 由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcosθ﹣cos θ=0,再利用同角三角函数的基本关系求得 tanθ 解答:
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解:∵

=sin2θ﹣cos θ=2sinθcosθ﹣cos θ=0,0<θ<

2

2



∴ 2sinθ﹣cosθ=0,∴ tanθ= , 故答案为: . 点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,同角三角函数的基本关系,属于基础题.

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13. (2014?四川) 平面向量 = (1, 2) ,= (4, 2) , =m + (m∈R) , 且 与 的夹角等于 与 的夹角, 则 m= 考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出. 解答:
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解:∵ 向量 =(1,2) , =(4,2) , =m + (m∈R) , ∴ =m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2) . ∴ =m+4+2(2m+2)=5m+8, , =2 . =4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.

∵ 与 的夹角等于 与 的夹角, ∴ = ,





化为 5m+8=4m+10, 解得 m=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式,属于基础题.

14. (2014?河南)已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若

= (

+

) ,则



的夹角为



考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论. 解答:
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解:在圆中若 即2 = +

= ( ,

+

) ,

8

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+

的和向量是过 A,O 的直径,

则以 AB,AC 为临边的四边形是矩形, 则 即 ⊥ , 与 的夹角为 90°,

故答案为:90° 点评: 本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础.

15. (2014?江西)已知单位向量 cosβ= .



的夹角为 α,且 cosα= ,向量 =3

﹣2

与 =3



的夹角为 β,则

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 转化向量为平面直角坐标系中的向量,通过向量的数量积求出所求向量的夹角. 解答:
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解:单位向量 =3 ﹣2



的夹角为 α,且 cosα= ,不妨 ) , =3 ﹣ =(

=(1,0) , ) ,

=



=(

∴ cosβ=

=

=



故答案为:



点评: 本题考查向量的数量积,两个向量的夹角的求法,考查计算能力.

16. (2014?江苏) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=5, =3

, ?

=2, 则

?

的值是



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考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 =3 ,可得 = + , = ﹣

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,进而由 AB=8,AD=5,

=3



?

=2,构造方程,进

而可得答案. 解答: 解:∵ =3 ∴ = + , , = ﹣ ,

又∵ AB=8,AD=5, ∴ ? 故 ? =( + )?( ﹣ )=| |﹣
2

?



|

| =25﹣

2

?

﹣12=2,

=22,

故答案为:22. 点评: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用, 平面向量数量积的运算, 其中根据已知得到 ﹣ ,是解答的关键. = + , =

17. (2014?上海)方程 sinx+

cosx=1 在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于



考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由三角函数公式可得 sin(x+ 得 x 值,求和即可. 解答: 解:∵ sinx+ cosx=1, ∴ sinx+ 即 sin(x+ 可知 x+ cosx= , )= , =2kπ+ ,或 x+ =2kπ+

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)= ,可知 x+

=2kπ+

,或 x+

=2kπ+

,k∈Z,结合 x∈[0,2π],可

,k∈Z,

又∵ x∈[0,2π], ∴ x= ∴ + ,或 x= = ,

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故答案为: 点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题.

18. (2014?山东)函数 y=

sin2x+cos x 的最小正周期为

2



考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析:

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利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为 f(x)=sin(2x+ 正周期 解答: 解:∵ 函数 y= sin2x+cos x=
2

) ,从而求得函数的最小

sin2x+ =π,

=sin(2x+

)+ ,

故函数的最小正周期的最小正周期为

故答案为:π. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式,正弦函数的周期性,属于基础题.

19. (2014?上海)函数 y=1﹣2cos (2x)的最小正周期是 考点: 二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由二倍角的余弦公式化简,可得其周期. 解答: 2 解:y=1﹣2cos (2x) 2 =﹣[2cos (2x)﹣1] =﹣cos4x, ∴ 函数的最小正周期为 T= 故答案为: 点评: 本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题. =

2



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20. (2014?福建)在△ ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2

,则△ ABC 的面积等于



考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形中的正弦定理求出角 B,再利用三角形的面积公式求出△ ABC 的面积. 解答: 解:∵ △ ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 ,
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由正弦定理得: ∴ 解得 sinB=1, ∴ B=90°,C=30°, ∴ △ ABC 的面积= ,





故答案为: . 点评: 本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角,求它的面积.正余弦定理、解直角三角形、三角形的 面积公式等知识,属于基础题. 21. (2014?河南)已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b) sinC,则△ ABC 面积的最大值为 . 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 2 2 由条件利用正弦定理可得 b +c ﹣bc=4. 再利用基本不等式可得 bc≤4, 当且仅当 b=c=2 时, 取等号, 此时, △ ABC
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为等边三角形,从而求得它的面积

的值.

解答: 解:△ ABC 中,∵ a=2,且(2+b) (sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC, 2 2 ∴ 利用正弦定理可得(2+b) (a﹣b)=(c﹣b)c,即 b +c ﹣bc=4. 再利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc,∴ bc≤4,当且仅当 b=c=2 时,取等号, 此时,△ ABC 为等边三角形,它的面积为 = = ,

故答案为: . 点评: 本题主要考查正弦定理的应用,基本不等式,属于中档题. 22. (2014?河南)如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点,从 A 点测得 M 点的仰角 ∠ MAN=60°,C 点的仰角∠ CAB=45°,以及∠ MAC=75°;从 C 点测得∠ MCA=60°.已知山高 BC=100m,则山高 MN= m.

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考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: △ ABC 中, 由条件利用直角三角形中的边角关系求得 AC; △ AMC 中, 由条件利用正弦定理求得 AM; Rt△ AMN 中,根据 MN=AM?sin∠ MAN,计算求得结果. 解答: 解:△ ABC 中,∵ ∠ BAC=45°,∠ ABC=90°,BC=100,
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∴ AC=

=100



△ AMC 中,∵ ∠ MAC=75°,∠ MCA=60°, ∴ ∠ AMC=45°,由正弦定理可得 即 ,解得 AM=100 . ,

Rt△ AMN 中,MN=AM?sin∠ MAN=100 ×sin60°=150(m) , 故答案为:150. 点评: 本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系,属于中档题. 23. (2014?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 b﹣c= a,2sinB=3sinC,则 cosA 的 值为 .

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2015 年 2 月 23 日数学 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析:

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由条件利用正弦定理求得 a=2c,b= 解答: 解:在△ ABC 中, ∵ b﹣c= a ① ,2sinB=3sinC, ∴ 2b=3c ② , ∴ 由① ② 可得 a=2c,b= .

,再由余弦定理求得 cosA=

的值.

再由余弦定理可得 cosA= 故答案为:﹣ .

=

=﹣ ,

点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题. 24. (2014?福建)在△ ABC 中,A=60°,AC=2,BC= ,则 AB 等于 .

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:三角函数的求值. 分析:利用余弦定理列出关系式,将 AC,BC,以及 cosA 的值代入即可求出 AB 的长. 解答: 解:∵ 在△ ABC 中,A=60°,AC=b=2,BC=a= , 2 2 2 2 ∴ 由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA,即 3=4+c ﹣2c, 解得:c=1, 则 AB=c=1, 故答案为:1 点评:此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.
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三.解答题(共 6 小题) 25. (2014?陕西)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,点 P(x,y)在△ ABC 三边围 成的区域(含边界)上. (Ⅰ )若 (Ⅱ )设 + =m + +n = ,求| |;

(m,n∈R) ,用 x,y 表示 m﹣n,并求 m﹣n 的最大值.

考点:平面向量的基本定理及其意义;平面向量的坐标运算. 专题:平面向量及应用. 分析:

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2015 年 2 月 23 日数学 2

(Ⅰ )先根据

+

+

= ,以及各点的坐标,求出点 p 的坐标,再根据向量模的公式,问题得以解决; , ,再根据 =m +n ,表示出 m﹣n=y﹣x,最后结合图形,求

(Ⅱ )利用向量的坐标运算,先求出 出 m﹣n 的最小值. 解答:

解: (Ⅰ )∵ A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) ,

+

+

= ,

∴ (1﹣x,1﹣y)+(2﹣x,3﹣y)+(3﹣x,2﹣y)=0 ∴ 3x﹣6=0,3y﹣6=0 ∴ x=2,y=2, 即 ∴ (Ⅱ )∵ A(1,1) ,B(2,3) ,C(3,2) , ∴ ∵ =m +n , , =(2,2)

∴ (x,y)=(m+2n,2m+n) ∴ x=m+2n,y=2m+n ∴ m﹣n=y﹣x, 令 y﹣x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1, 故 m﹣n 的最大值为 1.

点评:本题考查了向量的坐标运算,关键在于审清题意,属于中档题,

26. (2014?山东)已知向量 =(m,cos2x) , =(sin2x,n) ,函数 f(x)= ? ,且 y=f(x)的图象过点( 和点( ,﹣2) .





(Ⅰ )求 m,n 的值; (Ⅱ )将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上的最高点 到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间.

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考点:平面向量数量积的运算;正弦函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:平面向量及应用. 分析: (Ⅰ )由题意可得 函数 f(x)=msin2x+ncos2x,再由 y=f(x)的图象过点( 方程组求得 m、n 的值. (Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 可得 f (x) =2sin (2x+ ,

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)和点(

,﹣2) ,解

) , 根据函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律求得 g (x) =2sin (2x+2φ+



的图象,再由函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上,求得 φ= 求得 x 的范围,可得 g(x)的增区间. 解答: 解: (Ⅰ )由题意可得 函数 f(x)= ? =msin2x+ncos2x,

,可得 g(x)=2cos2x.令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,

再由 y=f(x)的图象过点(



)和点(

,﹣2) ,可得



解得 m=

,n=1. sin2x+cos2x=2( sin2x+ cos2x)=2sin(2x+ ) .

(Ⅱ )由(Ⅰ )可得 f(x)=

将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后, 得到函数 g(x)=2sin[2(x+φ)+ ]=2sin(2x+2φ+ )的图象,显然函数 g(x)最高点的纵坐标为 2.

y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1, 故函数 g(x)的一个最高点在 y 轴上, ∴ 2φ+ =2kπ+ ,k∈Z,结合 0<φ<π,可得 φ= )=2cos2x. ≤x≤kπ, ,kπ],k∈Z. ,

故 g(x)=2sin(2x+

令 2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得 kπ﹣ 故 y=g(x)的单调递增区间是[kπ﹣

点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式,三角恒等变换,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的单 调性,体现了转化的数学思想,属于中档题.

27. (2014?四川)已知函数 f(x)=sin(3x+ (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 是第二象限角,f( )= cos(α+

) .

)cos2α,求 cosα﹣sinα 的值.

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2015 年 2 月 23 日数学 2

考点:两角和与差的余弦函数;正弦函数的单调性. 专题:三角函数的求值. 分析: (1)令 2kπ﹣ ≤3x+ ≤2kπ+

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,k∈z,求得 x 的范围,可得函数的增区间. )=sin(α+
2

(2)由函数的解析式可得 f( (α+ 的值. 解答: 解: (1)∵ 函数 f(x)=sin(3x+ 求得 ﹣ ≤x≤ +

) ,又 f(

)= cos(α+

)cos2α,可得 sin(α+

)= cos

)cos2α,化简可得 (cosα﹣sinα) = .再由 α 是第二象限角,cosα﹣sinα<0,从而求得 cosα﹣sinα

) ,令 2kπ﹣

≤3x+

≤2kπ+ ﹣ ,

,k∈z, + ],k∈z. )cos2α,
2 2

,故函数的增区间为[ )=sin(α+

(2)由函数的解析式可得 f( ∴ sin(α+ ∴ sinαcos 即 )= cos(α+ +cosαsin

) ,又 f(

)= cos(α+

)cos2α,即 sin(α+
2 2

)= cos(α+

) (cos α﹣sin α) ,

= (cos α﹣sin α)?
2

(sinα﹣cosα) , (sinα+cosα) ,

(sinα﹣cosα)= ?(cosα﹣sinα) ?

又∵ α 是第二象限角,∴ cosα﹣sinα<0, 当 sinα+cosα=0 时,此时 cosα﹣sinα=﹣ 当 sinα+cosα≠0 时,此时 cosα﹣sinα=﹣ 综上所述:cosα﹣sinα=﹣ 或﹣ .

. .

点评: 本题主要考查正弦函数的单调性,三角函数的恒等变换,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 28. (2014?江苏)已知 α∈( (1)求 sin( (2)求 cos( +α)的值; ﹣2α)的值.

,π) ,sinα=



17

2015 年 2 月 23 日数学 2

考点:两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:

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(1)通过已知条件求出 cosα,然后利用两角和的正弦函数求 sin( (2)求出 cos2α,然后利用两角差的余弦函数求 cos( 解答: 解:α∈( (1)sin( ∴ sin( ,π) ,sinα= +α)=sin .∴ cosα=﹣ cosα+cos . sinα= =

+α)的值;

﹣2α)的值.

=﹣



+α)的值为:﹣ ,π) ,sinα=

(2)∵ α∈( ∴ cos( cos(

.∴ cos2α=1﹣2sin α= ,sin2α=2sinαcosα=﹣ sin2α= =﹣ .

2

﹣2α)=cos

cos2α+sin .

﹣2α)的值为:﹣

点评:本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.

29. (2014?江西)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) ,其中 a∈R,θ∈(﹣ (1)当 a= (2)若 f( ,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;





)=0,f(π)=1,求 a,θ 的值.

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2015 年 2 月 23 日数学 2

考点:两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;正弦函数的定义域和值域. 专题:三角函数的求值. 分析:

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(1)由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为 f(x)=﹣sin(x﹣ π],利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最值. (2)由条件可得 θ∈(﹣ 解答: 解: (1)当 a= =sin(x+ =sin( )+ ,θ= 时,f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) )= ) . , ], sinx+ cosx﹣ sinx=﹣ sinx+ cosx ,

) ,再根据 x∈[0,

) ,cosθ﹣asin2θ=0 ① ,﹣sinθ﹣acos2θ=1 ② ,由这两个式子求出 a 和 θ 的值.

cos(x+

﹣x)=﹣sin(x﹣ ∈[﹣

∵ x∈[0,π],∴ x﹣ ∴ sin(x﹣ ∴ ﹣sin(x﹣ )∈[﹣

,1], ], . , ) ,

)∈[﹣1,

故 f(x)在区间[0,π]上的最小值为﹣1,最大值为

(2)∵ f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ) ,a∈R,θ∈(﹣ f( )=0,f(π)=1,

∴ cosθ﹣asin2θ=0 ① ,﹣sinθ﹣acos2θ=1 ② , 由① 求得 sinθ= ,由② 可得 cos2θ=
2

=﹣ ﹣ =1﹣2× ,



再根据 cos2θ=1﹣2sin θ,可得﹣ ﹣ 求得 a=﹣1,∴ sinθ=﹣ ,θ=﹣ 综上可得,所求的 a=﹣1,θ=﹣ . .

点评:本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题. 30. (2014?福建)已知函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx) . (Ⅰ )求 f( )的值;

(Ⅱ )求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 考点:二倍角的正弦;二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 专题:三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f(x)= sin(2x+

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)+1,从而求得 f(

)的值.

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2015 年 2 月 23 日数学 2

(Ⅱ )根据函数 f(x)=

sin(2x+

)+1,求得它的最小正周期.令 2kπ﹣

≤2x+

≤2kπ+

,k∈Z,求

得 x 的范围,可得函数的单调递增区间. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 函数 f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x= ∴ f( )= sin( + )+1= sin +1= sin(2x+ )+1,

+1=2. =π.

(Ⅱ )∵ 函数 f(x)= 令 2kπ﹣ ≤2x+

sin(2x+

)+1,故它的最小正周期为 ≤x≤kπ+ ,

≤2kπ+

,k∈Z,求得 kπ﹣ ,kπ+

故函数的单调递增区间为[kπ﹣

],k∈Z.

点评:本题主要考查三角函数的恒等变换,三角函数的周期性和单调性,属于中档题.

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