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陕西省西安一中2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析



2016-2017 学年陕西省西安一中高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.在命题“方程 x2=4 的解为 x=±2”中使用的联结词是( A.且 B.或 C.非 D.无法确定 2. 0) F2 0) 已知两定点 F1 (﹣4, , (4, , 点 P 是平面上一动点, 且|PF1|+|PF2|=9, 则点

P 的轨迹是( A.圆 B.直线 ) C.椭圆 D.线段 ) )

3.下列命题中是假命题的是( A.若 a>0,则 2a>1 B.若 x2+y2=0,则 x=y=0

C.若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列 D.若 a+c=2b,则 a,b,c 成等差数列 4.若命题 p:x=2 且 y=3,则﹁p 是( )

A.x≠2 或 y=3 B.x≠2 且 y≠3 C.x=2 或 y≠3 D.x≠2 或 y≠3 5. 抛物线 x2= y 上的一点 M 到焦点的距离为 1, 则点 M 到 x 轴的距离是 ( A. B. C.1 D. ,点 P 位于该双曲线上, ) )

6.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F1 线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程为( A. B. C. D. )

7.已知函数 f(x)=xex,则 f′(2)等于( A.e2 B.2e2 C.3e2 D.2ln2 +

8.“﹣3<m<5”是“方程

=1 表示椭圆”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

9.若函数 f(x)=x3﹣3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是(

A.(﹣2,2) B.[﹣2,2]

C.(﹣∞,﹣1) D.(1,+∞)

10. y1) B y2) 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于点 A (x1, , (x2, 若|AB|=7, 则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为( A. B. C.2 D. 的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双 ) D.2 )

11.若双曲线 曲线的离心率为( A. B. C.

12.已知函数 f(x)=﹣x3+ax2﹣4 在 x=2 处取得极值,若 m、n∈[﹣1,1],则 f (m)+f′(n)的最小值为( A.﹣13 B.﹣15 )

C.10 D.15

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知变量 x,y 取如表观测数据: x y 0 2.4 1 4.5 3 4.6 . 4 6.5

且 y 对 x 的回归方程是 =0.83x+a,则其中 a 的值应为

14. l 与 C 交于 A, B 两点, 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直, |AB|=10,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为 .

15.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的 最大值等于 .

16.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f(x)在点 x=1 处 的切线方程为 .

三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分) 17.(10 分)已知 p:x2﹣8x﹣20>0,q:x2﹣2x+1﹣a2>0.若 p 是 q 的充分而 不必要条件,求正实数 a 的取值范围. 18.(10 分)设 F1、F2 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点,当 a=2b

时,点 P 在椭圆上,且 PF1⊥PF2,|PF1|?|PF2|=2 时,求椭圆方程. 19.(12 分)已知点 F 为抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,其到直线 x=﹣ 的 距离为 2. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)若点 P 在第一象限,且横坐标为 4,过点 F 作直线 PF 的垂线交直线 x=﹣ 于点 Q,证明:直线 PQ 与抛物线 C 只有一个交点. 20.(12 分)已知函数 f(x)=x﹣lnx﹣1. (Ⅰ)求函数 f(x)在 x=2 处的切线方程; (Ⅱ)若 x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax﹣2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2016-2017 学年陕西省西安一中高二(上)期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.在命题“方程 x2=4 的解为 x=±2”中使用的联结词是( A.且 B.或 C.非 D.无法确定 【考点】逻辑联结词“或”. 【分析】将复合命题与成“p 或 q”的形式,可得答案. 【解答】解:命题“方程 x2=4 的解为 x=±2”, 即命题“若 x 为方程 x2=4 的解,则 x=2,或 x=﹣2”, 故命题中使用的联结词是“或”, 故选:B. 【点评】本题考查的知识点是逻辑联结词,复合命题,难度不大,属于基础题. )

2. 0) F2 0) 已知两定点 F1 (﹣4, , (4, , 点 P 是平面上一动点, 且|PF1|+|PF2|=9, 则点 P 的轨迹是( A.圆 B.直线 ) C.椭圆 D.线段

【考点】轨迹方程. 【分析】判断 P 的轨迹满足椭圆定义,转化求解即可. 4, 0) F( 0) 【解答】 解: 两定点 F(﹣ , , 点 P 是平面上一动点, 且|PF1|+|PF2|=9, 1 2 4, |PF1|+|PF2|>|F1F2| 点 P 的轨迹满足椭圆的定义, 故选:C. 【点评】本题考查椭圆的定义,轨迹方程的求解,考查计算能力.

3.下列命题中是假命题的是( A.若 a>0,则 2a>1



B.若 x2+y2=0,则 x=y=0 C.若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列 D.若 a+c=2b,则 a,b,c 成等差数列 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A,由指数函数 y=2x 可得,当 a>0,2a>1; B,∵x2≥,y2≥0 对任意实数恒成立,∴当 x2+y2=0 时,一定有 x=y=0; C,当 b2=ac 时,a,b,c 可能同时为 0,此时 a,b,c 不是等比数列; D,当 a+c=2b,一定有 b﹣a=c﹣b,则 a,b,c 一定成等差数列. 【解答】解:对于 A,由指数函数 y=2x 可得,当 a>0,2a>1,故正确; 对于 B,∵x2≥,y2≥0 对任意实数恒成立,∴当 x2+y2=0 时,一定有 x=y=0,故 正确; 对于 C,当 b2=ac 时,a,b,c 可能同时为 0,此时 a,b,c 不是等比数列,故错; 对于 D,当 a+c=2b,一定有 b﹣a=c﹣b,则 a,b,c 一定成等差数列,故正确. 故选:C. 【点评】本题考查了命题真假的判定,涉及到了大量的基础知识,属于基础题.

4.若命题 p:x=2 且 y=3,则﹁p 是(



A.x≠2 或 y=3 B.x≠2 且 y≠3 C.x=2 或 y≠3 D.x≠2 或 y≠3 【考点】命题的否定. 【分析】由已知中命题 p:x=2 且 y=3,根据否定命题的写法,我们易得到命题 p 的否定为:x≠2 或 y≠3,得到答案. 【解答】解:由已知中命题 p:x=2 且 y=3, 得到命题 p 的否定为:x≠2 或 y≠3, 故选 D. 【点评】本题考查命题的否定,解题的关键是掌握住命题的书写规则,尤其是含 有量词的命题的否定的书写格式

5. 抛物线 x2= y 上的一点 M 到焦点的距离为 1, 则点 M 到 x 轴的距离是 ( A. B. C.1 D.



【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由抛物线方程,求出焦点 F.设 M(x0,y0),利用抛物线的定义,列 式并解之即可得到点 M 的横坐标. 【解答】解:∵抛物线方程为 x2= y, ∴抛物线的焦点 F(0, 设点 M(x0,y0),得 y0+ 故选:B. 【点评】本题给出抛物线上一点到焦点的距离,求该点的横坐标.考查了抛物线 的定义与标准方程,抛物线的简单几何性质等知识,属于基础题. ) =1,解之得 y0=

6.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F1 线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程为( A. B. C. D.

,点 P 位于该双曲线上, )

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设出双曲线的方程,据双曲线的焦点坐标列出三参数满足的一个等式; 利用中点坐标公式求出 p 的坐标, 将其坐标代入双曲线的方程, 求出三参数的另 一个等式,解两个方程得到参数的值. 【解答】解:据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在 x 轴上,设双曲线的方程为

∵一个焦点为 ∴a2+b2=5① ∵线段 PF1 的中点坐标为(0,2), ∴P 的坐标为( )将其代入双曲线的方程得

解①②得 a2=1,b2=4, 所以双曲线的方程为 .

故选 B 【点评】求圆锥曲线常用的方法:待定系数法、注意双曲线中三参数的关系为: c2=b2+a2.

7.已知函数 f(x)=xex,则 f′(2)等于( A.e2 B.2e2 C.3e2 D.2ln2



【考点】导数的运算. 【分析】先根据两乘积函数的导数运算法则求出 f(x)的导数,然后将 2 代入导 函数,即可求出所求. 【解答】解:∵f(x)=xex, ∴f′(x)=ex+xex. ∴f′(2)=e2+2e2=3e2. 故选 C. 【点评】本题主要考查了导数的运算,以及函数的求值,解题的关键是两乘积函 数的导数运算法则,属于基础题.

8.“﹣3<m<5”是“方程

+

=1 表示椭圆”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.

【解答】解:若方程

+

=1 表示椭圆,则



所以

,即﹣3<m<5 且 m≠1.

所以“﹣3<m<5”是“方程

+

=1 表示椭圆”的必要不充分条件.

故选 B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及椭圆的方程.

9.若函数 f(x)=x3﹣3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( A.(﹣2,2) B.[﹣2,2] C.(﹣∞,﹣1) D.(1,+∞)



【考点】函数零点的判定定理;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数 的极值. 【分析】由函数 f(x)=x3﹣3x+a 求导,求出函数的单调区间和极值,从而知道 函数图象的变化趋势,要使函数 f(x)=x3﹣3x+a 有 3 个不同的零点,寻求实数 a 满足的条件,从而求得实数 a 的取值范围. 【解答】解∵f′(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1), 当 x<﹣1 时,f′(x)>0; 当﹣1<x<1 时,f′(x)<0; 当 x>1 时,f′(x)>0, ∴当 x=﹣1 时 f(x)有极大值. 当 x=1 时, f(x)有极小值,要使 f(x)有 3 个不同的零点. 只需 故选 A. 【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值,函数图象的变化趋势,体现了 数形结合和运动的思想方法,属中档题. ,解得﹣2<a<2.

10. y1) B y2) 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于点 A (x1, , (x2, 若|AB|=7, 则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为( A. B. C.2 D. )

【考点】抛物线的简单性质. 0) 【分析】 抛物线的焦点 F (1, , 准线方程为 x=﹣1, 由抛物线的定义可得|AB|=7= (x1+1) + (x2+1) , 求得 x1+x2 的值, 由此求得点 M 到抛物线准线的距离

+1 的值. 【解答】解:由抛物线的方程 y2=4x 可得 p=2,故它的焦点 F(1,0),准线方 程为 x=﹣1. 由抛物线的定义可得|AB|=7=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1),∴x1+x2=5. 由于 AB 的中点 M( 故选 A. 【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中 档题. , )到准线的距离为 +1= ,

11.若双曲线 曲线的离心率为( A. B. C. ) D.2

的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据题意,点 F(c,0)到直线 bx±ay=0 的距离等于 2a.由点到直线 的距离公式,建立关于 a、b、c 的方程,化简得出 b=2a,再利用双曲线基本量 的平方关系和离心率公式,即可算出该双曲线的离心率. 【解答】解:∵双曲线焦点到渐近线的距离等于实轴长, 即点 F(c,0)到直线 bx±ay=0 的距离等于 2a 即 ,即 b=2a,

可得 故选:C

,即



【点评】本题给出双曲线满足的条件,求该双曲线的离心率.着重考查了双曲线 的标准方程与简单几何性质等知识,属于基础题.

12.已知函数 f(x)=﹣x3+ax2﹣4 在 x=2 处取得极值,若 m、n∈[﹣1,1],则 f

(m)+f′(n)的最小值为( A.﹣13 B.﹣15



C.10 D.15

【考点】函数在某点取得极值的条件;函数的最值及其几何意义. 【分析】令导函数当 x=2 时为 0,列出方程求出 a 值;求出二次函数 f′(n)的最 小值,利用导数求出 f(m)的最小值,它们的和即为 f(m)+f′(n)的最小值. 【解答】解:∵f′(x)=﹣3x2+2ax 函数 f(x)=﹣x3+ax2﹣4 在 x=2 处取得极值 ∴﹣12+4a=0 解得 a=3 ∴f′(x)=﹣3x2+6x ∴n∈[﹣1,1]时,f′(n)=﹣3n2+6n 当 n=﹣1 时,f′(n)最小,最小为﹣9 当 m∈[﹣1,1]时,f(m)=﹣m3+3m2﹣4 f′(m)=﹣3m2+6m 令 f′(m)=0 得 m=0,m=2 所以 m=0 时,f(m)最小为﹣4 故 f(m)+f′(n)的最小值为﹣9+(﹣4)=﹣13 故选 A 【点评】 函数在极值点处的值为 0. ; 求高次函数的最值常用的方法是通过导数.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知变量 x,y 取如表观测数据: x y 0 2.4 1 4.5 3 4.6 2.84 . 4 6.5

且 y 对 x 的回归方程是 =0.83x+a,则其中 a 的值应为 【考点】线性回归方程.

【分析】根据已知表中数据,可计算出数据中心点的坐标,根据数据中心点一定 在回归直线上,代入回归直线方程 =0.83x+a,解方程可得 a 的值. 【解答】解:由已知中的数据可得: =(2.4+4.5+4.6+6.5)÷4=4.5 =(0+1+3+4)÷4=2

∵数据中心点(2,4.5)一定在回归直线上, ∴4.5=0.83×2+a 解得 a=2.84, 故答案为 2.84 【点评】 本题考查的知识点是线性回归方程,其中数据中心点一定在回归直线上 是解答本题的关键.

14. l 与 C 交于 A, B 两点, 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点, 且与 C 的对称轴垂直, |AB|=10,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】根据抛物线的解析式 y2=2px(p>0),写出抛物线的焦点、对称轴以及 准线,然后根据通径|AB|=2p,求出 p,△ABP 的面积是|AB|与 DP 乘积一半. 【解答】解:由于抛物线的解析式为 y2=2px(p>0), 则焦点为 F( ,0),对称轴为 x 轴,准线为 x=﹣ , ∵直线 l 经过抛物线的焦点,A、B 是 l 与 C 的交点, 又∵AB⊥x 轴 ∴|AB|=2p=10 ∴p=5 又∵点 P 在准线上 ∴DP= +|﹣ |=p=5 ∴S△ABP= DP?AB= ×5×10=25 故答案为 25. 25 .

【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点;关于直线 和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法.

15.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3﹣ax2﹣2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的 最大值等于 9 .

【考点】函数在某点取得极值的条件. 【分析】求出导函数,利用函数在极值点处的导数值为 0 得到 a,b 满足的条件, 利用基本不等式求出 ab 的最值. 【解答】解:由题意,求导函数 f′(x)=12x2﹣2ax﹣2b ∵在 x=1 处有极值 ∴a+b=6 ∵a>0,b>0 ∴ab≤( )2=9,当且仅当 a=b=3 时取等号

所以 ab 的最大值等于 9 故答案为:9 【点评】本题考查函数在极值点处的导数值为 0、考查利用基本不等式求最值, 需注意:一正、二定、三相等.

16.设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f(x)在点 x=1 处 的切线方程为 2x﹣y﹣1=0 .

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出函数解析式,先利用导数求出在 x=1 处的导函数值,再结合导数的 几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决. 【解答】解:令 t=ex,则 ∵f(ex)=ex+x, ∴f(t)=t+lnt, ∴f(x)=x+lnx, ∴f′(x)=1+ , ∴f′(1)=2,

∵f(1)=1, ∴f(x)在点 M(1,f(1))处的切线方程为 2x﹣y﹣1=0. 故答案为:2x﹣y﹣1=0. 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某 点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 44 分) 17.(10 分)(2013 秋?阳泉期末)已知 p:x2﹣8x﹣20>0,q:x2﹣2x+1﹣a2 >0.若 p 是 q 的充分而不必要条件,求正实数 a 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法. 【分析】先求出 p:x<﹣2 或>10,q:x<1﹣a 或 x>1+a,再由 p 是 q 的充分 而不必要条件,列出方程组 【解答】解:p:x<﹣2 或>10, q:x<1﹣a 或 x>1+a ∵由 p 是 q 的充分而不必要条件, ∴ 即 0<a≤3. 【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断,解题时要认真审题, 仔细解答,注意不等式的合理运用. ,从而求出正实数 a 的取值范围.

18.(10 分)(2016 秋?陕西期末)设 F1、F2 分别是椭圆

+

=1(a>b>0)

的左、右焦点,当 a=2b 时,点 P 在椭圆上,且 PF1⊥PF2,|PF1|?|PF2|=2 时,求 椭圆方程. 【考点】椭圆的简单性质;直线与椭圆的位置关系. 【分析】利用已知条件列出方程,求出椭圆的 a,b,即可得到椭圆方程. 【解答】解:∵a=2b,a2=b2+c2,∴c2=3b2, 又∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12b2, 由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,

(|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2, 从而得 b2=1,a2=4, ∴椭圆方程为: .

【点评】本题考查椭圆方程的求法,椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.

19.(12 分)(2016 秋?陕西期末)已知点 F 为抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦 点,其到直线 x=﹣ 的距离为 2. (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)若点 P 在第一象限,且横坐标为 4,过点 F 作直线 PF 的垂线交直线 x=﹣ 于点 Q,证明:直线 PQ 与抛物线 C 只有一个交点. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】(1)由题意,p=2,可得抛物线 C 的标准方程; (2)求出直线 PQ 的方程与抛物线方程联立,即可证明结论. 【解答】解:(1)由题意,p=2, ∴抛物线 C 的标准方程为 y2=4x; (2)由题意,P(4,4),F(1,0),∴kPF= , ∴kQF=﹣ , ∴直线 QF 的方程为 y=﹣ (x﹣1), 令 x=﹣1,则 y= , ∴直线 PQ 的方程为 y﹣4= (x﹣4),即 x=2y﹣4,

代入 y2=4x,可得 y2﹣8y+16=0,∴y=4, ∴直线 PQ 与抛物线 C 只有一个交点 P. 【点评】 本题考查抛物线的方程, 考查直线与抛物线的位置关系, 正确求出直线、 抛物线方程是关键.

20.(12 分)(2014?马鞍山一模)已知函数 f(x)=x﹣lnx﹣1.

(Ⅰ)求函数 f(x)在 x=2 处的切线方程; (Ⅱ)若 x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax﹣2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】(Ⅰ)求切线方程,关键是求斜率,也就是求 f(x)在 x=2 时的导数, 然后利用点斜式,问题得以解决; (Ⅱ)求参数的取值范围,转化为 得以解决. 【解答】解:(Ⅰ)由题意得, ∴ ,f(2)=1﹣ln2, , ,也就是求最值的问题,问题

∴函数 f(x)在 x=2 处的切线方程为:y﹣(1﹣ln2)= (x﹣2) 即 x﹣2y﹣ln4=0 (Ⅱ)当 x∈(0,+∞)时,f(x)≥ax﹣2 恒成立, ∴ 令 则 g′(x)= 即 x=e2, 可得 g(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,+∞)上单调递增, ∴ 即 , 故实数 a 的取值范围是 . , , ,

【点评】本题综合考察函数的单调性、导数的应用以及恒成立问题,中等题.



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