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黑龙江省哈尔滨六中2015届高三数学一模试卷(文科) Word版含解析



2015 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣x﹣2≤0},B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩B=( A.(1,2) B.(1,2] C.[﹣1,1) D.(﹣1,1) )

2.若复数

z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( A.(2,4) B.(2,﹣4) C.(4,﹣2) D.(4,2)



3.已知△ ABC 中,|

|=2,|

|=3,且△ ABC 的面积为 ,则∠BAC=( D.30°或 150°

)啊啊

A.150° B.120° C.60°或 120°

4.已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 边 BC 上的动点,则 A.是定值 6 B.最大值为 8 C.最小值为 2 D.与 P 点位置有关

的值(



5.设 x>0,且 1<bx<ax,则( A.0<b<a<1 B.0<a<b<1

) C.1<b<a D.1<a<b

6.掷同一枚骰子两次,则向上点数之和不小于 6 的概率是( A. B. C. D.



7. a8, a13 是等比数列{bn}的相邻三项. 数列{an}是公差不为零的等差数列, 并且 a5, 若 b2=5, 则 bn=( A.5? ) B.5? C.3? D.3?

1

8.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是(



A.2

B.

C.

D.3

9.如图所示程序框图中,输出 S=(



A.45

B.﹣55 C.﹣66 D.66

10.点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,AB=BC=AC= 值为 A. ,则这个球的表面积为( B.8π C. ) D.

,若四面体 ABCD 体积的最大

11.已知圆 O:x2+y2=2,直线 l:x+2y﹣4=0,点 P(x0,y0)在直线 l 上.若存在圆 C 上的 点 Q,使得∠OPQ=45°(O 为坐标原点),则 x0 的取值范围是( )

2

A.[0,1]

B.

C.

D.

12.已知函数 f(x)=

,若存在实数 x1,x2,x3,x4 满足 f(x1)

=f(x2)=f(x3)=f(x4),且 x1<x2<x3<x4,则 ( ) B.(9,21) C.(8,24) D.(15,25)

的取值范围是

A.(20,32)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知数列{an}中,a2=1,an+1=an+n﹣1,则 a5= .

14.如果 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最大值是



15.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线交抛物线于 A、B 两点,若线 段 AB 的长为 8,则 p= .

16.已知函数 f(x)=ex﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线, 则实数 m 的取值范围为 .

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.已知函数 f(x)=2cos(2x+ )+ sin2x

(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值;

3

(2)设△ ABC 的三内角分别是 A、B、C.若 f( )=﹣ ,且 AC=1,BC=3,求 sinA 的 值.

18.某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调 查,以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低 碳族”. 若小区内有至少 75%的住户属于“低碳族”, 则称这个小区为“低碳小区”, 否则称为“非 低碳小区”.已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小

区.

(Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A,调查显示其“低碳族”的比例为 ,数据如图 1 所 示,经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低碳小区”的标准?

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,PA=PD=2,BC= 点. (Ⅰ)求证:PA∥平面 MQB; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣DQM 的体积.
4

,M 是棱 PC 的中

20. 过椭圆

=1 (a>b>0) 的左顶点 A 作斜率为 2 的直线, 与椭圆的另一个交点为 B,

与 y 轴的交点为 C,已知|AB|= (1)求椭圆的离心率;

|BC|.

(2)设动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q,若 x 轴 上存在一定点 M(1,0),使得 PM⊥QM,求椭圆的方程.

21.已知关于 x 的函数 (Ⅰ)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)若函数 F(x)=f(x)+1 没有零点,求实数 a 取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,选修 4-1:几何证明选讲 22. CD 是∠ACB 的角平分线, AB=2AC △ ADC 的外接圆交 BC 于点 E, 如图, 在△ ABC 中, (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=3,EC=6 时,求 AD 的长.

5

选修 4-4:坐标系与参数方程. 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,一直曲线 C:

ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

(t 为参

数),l 与 C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值.

选修 4-5;不等式选讲. 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|2x﹣a|,a∈R. (1)当 a=3 时,解不等式 f(x)>0; (2)当 x∈(﹣∞,2)时,f(x)<0 恒成立,求 a 的取值范围.

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2015 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|x2﹣x﹣2≤0},B={x|y=ln(1﹣x)},则 A∩B=( A.(1,2) B.(1,2] C.[﹣1,1) D.(﹣1,1) )

【考点】对数函数的定义域;交集及其运算. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】求解一元二次不等式化简集合 A,求解对数函数的定义域化简集合 B,然后直接利 用交集运算求解. 【解答】解:A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2}, B={x|y=ln(1﹣x)}={x|1﹣x>0}={x|x<1}, 则 A∩B={x|﹣1≤x<1}=[﹣1,1). 故选:C. 【点评】本题考查了对数函数定义域的求法,考查了交集及其运算,是基础题.

2.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( A.(2,4) B.(2,﹣4) C.(4,﹣2) D.(4,2)



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】由题意可得 z= 得 z 对应的点的坐标. 【解答】解:复数 z 满足 iz=2+4i,则有 z= = =4﹣2i, ,再利用两个复数代数形式的乘除法法则化为 4﹣2i,从而求

故在复平面内,z 对应的点的坐标是(4,﹣2), 故选 C. 【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平 面内对应点之间的关系,属于基础题.
7

3.已知△ ABC 中,|

|=2,|

|=3,且△ ABC 的面积为 ,则∠BAC=( D.30°或 150°



A.150° B.120° C.60°或 120° 【考点】三角形的面积公式. 【专题】解三角形. 【分析】根据 S△ ABC= | 【解答】解:∵S△ ABC= | ∴ = ×2×3×sin∠BAC, ∴sin∠BAC= , ∴∠BAC 为 30°,或 150°, 故选:D. |?| |?|

|?sin∠BAC,代入求出 sin∠BAC= ,从而求出答案. |?sin∠BAC,

【点评】本题考查了三角形的面积根式,是一道基础题.

4.已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 边 BC 上的动点,则 A.是定值 6 B.最大值为 8 C.最小值为 2 D.与 P 点位置有关

的值(



【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题. 【分析】先设 =t = , = , =t ,然后用 和 表示出 ,再由 = + 将 = 、

代入可用 和 表示出

,最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得

的值,从而可得到答案. 【解答】解:设 则
2

=

=

=t

= =4= = ?﹙
2



= ﹣ ,

? =2×2×cos60°=2 = +t﹙ ﹣ ﹚=﹙1﹣t﹚ +t + + = +
2

+

﹚=﹙﹙1﹣t﹚ +t ﹚?﹙ + ﹚=﹙1﹣t﹚

+[﹙1﹣t﹚+t]

+t

2

=﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6

8

故选 A. 【点评】 本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算. 高考对向量的考查一般不会太 难, 以基础题为主, 而且经常和三角函数练习起来考查综合题, 平时要多注意这方面的练习.

5.设 x>0,且 1<bx<ax,则( A.0<b<a<1 B.0<a<b<1

) C.1<b<a D.1<a<b

【考点】指数函数单调性的应用. 【专题】探究型. 【分析】利用指数函数的性质,结合 x>0,即可得到结论. 【解答】解:∵1<bx,∴b0<bx, ∵x>0,∴b>1 ∵bx<ax,∴ ∵x>0,∴ ∴a>b ∴1<b<a 故选 C. 【点评】本题考查指数函数的性质,解题的关键是熟练运用指数函数的性质,属于基础题.

6.掷同一枚骰子两次,则向上点数之和不小于 6 的概率是( A. B. C. D.



【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】向上的点数之和不小于 6 的情况找出,再利用古典概型的概率计算公式、互斥事件 的概率计算公式即可得出. 【解答】解:将两骰子投掷一次,共有 36 种情况,每种情况等可能出现,属于古典概型 (1)设事件 A={两骰子向上的点数和不小于 6}; 事件 A1={两骰子向上的点数和 6},有 5 种情况 事件 A2={两骰子向上的点数和 7};有 6 种情况 事件 A3={两骰子向上的点数和为 8},有 5 种情况
9

事件 A4={两骰子向上的点数和为 9};有 4 种情况 事件 A5={两骰子向上的点数和为 10};有 3 种情况 事件 A6={两骰子向上的点数和为 11};有 2 种情况 事件 A7={两骰子向上的点数和为 12};有 1 中种情况 则 A1 与 A2、A3…A7 为互斥事件,且 A=A1+A2+A3+…+A7 P(A)=P(A1+A2+A3+…+A7)=P(A1)+P(A2)+…+P(A7)= 故选 A 【点评】熟练掌握古典概型的概率计算公式、互斥事件的概率计算公式是解题的关键 =

7. a8, a13 是等比数列{bn}的相邻三项. 数列{an}是公差不为零的等差数列, 并且 a5, 若 b2=5, 则 bn=( A.5? ) B.5? C.3? D.3?

【考点】等比数列的性质;等差数列的通项公式. 【专题】计算题. 【分析】由数列{an}是公差不为零的等差数列,利用等差数列的性质得到 a8=a5+3d, a13=a5+8d,再由 a5,a8,a13 是等比数列{bn}的相邻三项,利用等比数列的性质列出关系式, 得到 a5 与 d 的关系,用 d 表示出 a5,由等比数列的性质得到 q= ,将表示出的 a8 代入后,

再将表示出的 a5 代入,约分后求出 q 的值,由 q 的值及 b2 的值,求出首项 b1 的值,由 b1 及 q 的值,利用等比数列的通项公式即可表示出 bn 的通项. 【解答】解:∵{an}是公差不为零的等差数列,并且 a5,a8,a13 是等比数列{bn}的相邻三项, ∴(a5+3d)2=a5(a5+8d), ∴ ,

∴q=

=

= ,

∵b2=5,q= , ∴b1= =3,

10

∴ 故选 D



【点评】此题考查了等差、等比数列的性质,以及等差、等比数列的通项公式,熟练掌握性 质及公式是解本题的关键.

8.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是(



A.2

B.

C.

D.3

【考点】简单空间图形的三视图. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥,再利用体积公式求高 x 即可. 【解答】解:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图是: V= 故选 D. =3?x=3.

【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.

9.如图所示程序框图中,输出 S=(



11

A.45

B.﹣55 C.﹣66 D.66

【考点】循环结构. 【专题】计算题;简易逻辑. 【分析】根据程序框图的流程,可判断程序的功能是求 S=12﹣22+32﹣42+…+(﹣1)n+1?n2, 判断程序运行终止时的 n 值,计算可得答案. 【解答】解:由程序框图知,第一次运行 T=(﹣1)2?12=1,S=0+1=1,n=1+1=2; 第二次运行 T=(﹣1)3?22=﹣4,S=1﹣4=﹣3,n=2+1=3; 第三次运行 T=(﹣1)4?32=9,S=1﹣4+9=6,n=3+1=4; … 直到 n=9+1=10 时,满足条件 n>9,运行终止,此时 T=(﹣1)10?92, S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+(2+3)+(4+5)+(6+7)+(8+9)﹣100= 故选:B. 【点评】本题考查了循环结构的程序框图,判断算法的功能是解答本题的关键. ×9﹣100=﹣55.

10.点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,AB=BC=AC= 值为 A. ,则这个球的表面积为( B.8π C. ) D.

,若四面体 ABCD 体积的最大

【考点】球的体积和表面积. 【专题】综合题;空间位置关系与距离. 【分析】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积. 【解答】解:根据题意知,△ ABC 是一个等边三角形,其面积为 ,外接圆的半径为 1.

12

小圆的圆心为 Q,若四面体 ABCD 的体积的最大值,由于底面积 S△ ABC 不变,高最大时体 积最大, 所以,DQ 与面 ABC 垂直时体积最大,最大值为 S△ ABC×DQ= ∴DQ=4, 设球心为 O,半径为 R, 则在直角△ AQO 中,OA2=AQ2+OQ2,即 R2=12+(4﹣R)2,∴R= 则这个球的表面积为:S=4π( 故选 C. 【点评】本题考查的知识点是球内接多面体,球的表面积,其中分析出何时四面体 ABCD 的体积的最大值,是解答的关键. )2= ,

11.已知圆 O:x2+y2=2,直线 l:x+2y﹣4=0,点 P(x0,y0)在直线 l 上.若存在圆 C 上的 点 Q,使得∠OPQ=45°(O 为坐标原点),则 x0 的取值范围是( A.[0,1] B. C. D. )

【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆. 【分析】根据条件若存在圆 C 上的点 Q,使得∠OPQ=45° (O 为坐标原点),等价 PO≤2 即 可,求出不等式的解集即可得到 x0 的范围 【解答】解:圆 O 外有一点 P,圆上有一动点 Q,∠OPQ 在 PQ 与圆相切时取得最大值. 如果 OP 变长,那么∠OPQ 可以获得的最大值将变小.可以得知,当∠OPQ=45°,且 PQ 与 圆相切时,PO=2, 而当 PO>2 时,Q 在圆上任意移动,∠OPQ<45°恒成立 0. 因此满足 PO≤2,就能保证一定存在点 Q,使得∠OPQ=45°,否则,这样的点 Q 是不存在的; ∵点 P(x0,y0)在直线 x+2y﹣4=0 上,∴x0+2y0﹣4=0,即 y0=

∵|OP|2=x02+y02=x02+( ∴ x02﹣2x0≤0,

)2= x02﹣2x0+4≤4,

13

解得,0≤x0≤ , ∴x0 的取值范围是[0, ] 故选:B

【点评】本题考查点与圆的位置关系,利用数形结合判断出 PO≤2,从而得到不等式求出参 数的取值范围是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.

12.已知函数 f(x)=

,若存在实数 x1,x2,x3,x4 满足 f(x1)

=f(x2)=f(x3)=f(x4),且 x1<x2<x3<x4,则 ( ) B.(9,21) C.(8,24) D.(15,25)

的取值范围是

A.(20,32)

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】画出函数 f(x)的图象,确定 x1x2=1,x3+x4=12,2<x3<x4<10,由此可得则 的取值范围. 【解答】解:函数的图象如图所示, ∵f(x1)=f(x2), ∴﹣log2x1=log2x2, ∴log2x1x2=0, ∴x1x2=1,

14

∵f(x3)=f(x4), ∴x3+x4=12,2<x3<x4<10 ∴ ∵2<x3<x4<10 ∴ 故选:B. 的取值范围是(9,21). =x3x4﹣(x3+x4)+1=x3x4﹣11,

【点评】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数 与方程的综合运用等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想, 属于中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知数列{an}中,a2=1,an+1=an+n﹣1,则 a5= 7 【考点】数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】an+1=an+n﹣1,变形为 an﹣an﹣1=n﹣2(n≥2).利用“累加求和”即可得出. 【解答】解:∵an+1=an+n﹣1,∴an﹣an﹣1=n﹣2(n≥2). ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a3﹣a2)+a2 =(n﹣2)+(n﹣3)+…+1+1 = +1 .

15

= ∴a5= +1=7.

+1.

故答案为:7. 【点评】本题考查了递推式、数列的其通项公式、“累加求和”,考查了变形能力,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.

14.如果 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=2x+y 的最大值是



【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式对应的平面区域(阴影部分), 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C 时, 直线 y=﹣2x+z 的截距最大, 此时 z 最大.



,解得



即 C( , ). 此时 z 的最大值为 z=2× + = 故答案为:

16

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

15.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线交抛物线于 A、B 两点,若线 段 AB 的长为 8,则 p= 1 . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标,进而根据斜率表示出直线的方程,与抛物线的方程 联立消去 y,进而根据韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2,进而利用配方法求得|x1﹣x2|,利用弦 长公式表示出段 AB 的长求得 p. 【解答】解:由题意可知过焦点的倾斜角为 30°直线方程为 y= (x﹣ ),

联立

可得:?x2﹣7px+

=0,

∴x1+x2=7p,x1x2= ∴|x1﹣x2|= ∴|AB|= 解得:p=1, 故答案为:1



=

=4

p,

|x1﹣x2|=

×4

p=8,

【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.涉及直线与抛物线的关系时,往往是利用韦达 定理设而不求.

16.已知函数 f(x)=ex﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线, 则实数 m 的取值范围为 ( ,+∞) . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】求出函数的导数,运用两直线垂直的条件可得 ex﹣m=﹣ 有解,再由指数函数的 单调性,即可得到 m 的范围.

17

【解答】解:函数 f(x)=ex﹣mx+1 的导数为 f′(x)=ex﹣m, 若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直的切线, 即有 ex﹣m=﹣ 有解, 即 m=ex+ , 由 ex>0,则 m> . 则实数 m 的范围为( ,+∞). 故答案为:( ,+∞). 【点评】本题考查导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率,同 时考查两直线垂直的条件,属于基础题.

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.已知函数 f(x)=2cos(2x+ )+ sin2x

(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; (2)设△ ABC 的三内角分别是 A、B、C.若 f( )=﹣ ,且 AC=1,BC=3,求 sinA 的 值. 【考点】余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;正弦定理. 【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质;解三角形. 【分析】(1)由两角和的余弦公式化简解析式可得 f(x)=﹣cos2x,从而可求最小正周期 和最大值; (2)由已知先求得 cosC 的值,即可求 sinC 的值,由余弦定理可得:AB 的值,从而由正弦 定理得 sinA 的值. 【解答】解: (1)∵f(x)=2cos(2x+ ∴函数 f(x)的最小正周期 T= (2)∵f(x)=﹣cos2x, ∴f( )=﹣cosC=﹣ ,可得:cosC= . ∴sinC= = )+ sin2x=﹣cos2x﹣ sin2x+ sin2x=﹣cos2x

=π,函数 f(x)的最大值是 1;

18

∴由余弦定理可得:AB2=BC2+AC2﹣2×AC×BC×cosC=9+1﹣2×

=7,既得 AB=

∴由正弦定理:

可得:sinA=

=

=



【点评】本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦定 理、余弦定理的综合应用,综合性较强,属于中档题.

18.某班同学利用寒假在 5 个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调 查,以计算每户的碳月排放量.若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”,否则称为“非低 碳族”. 若小区内有至少 75%的住户属于“低碳族”, 则称这个小区为“低碳小区”, 否则称为“非 低碳小区”.已知备选的 5 个居民小区中有三个非低碳小区,两个低碳小

区.

(Ⅰ)求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率; (Ⅱ)假定选择的“非低碳小区”为小区 A,调查显示其“低碳族”的比例为 ,数据如图 1 所 示,经过同学们的大力宣传,三个月后,又进行了一次调查,数据如图 2 所示,问这时小区 A 是否达到“低碳小区”的标准? 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图;用样本的频率分布估 计总体分布. 【专题】概率与统计. 【分析】(I)从 5 个小区中任选两个小区,列出所有可能的结果,然后找出选出的两个小 区恰有一个为非低碳小区的基本事件,根据古典概型的概率公式解之即可; (II)根据图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”,由图 2 可求出三个月后的 低碳族的比例,从而可判定三个月后小区 A 是否达到了“低碳小区”标准.
19

【解答】解:(Ⅰ)设三个“非低碳小区”为 A,B,C,两个“低碳小区”为 m,n,… 用(x,y)表示选定的两个小区,x,y∈{A,B,C,m,n}, 则从 5 个小区中任选两个小区,所有可能的结果有 10 个,它们是(A,B),(A,C), (A,m),(A,n),(B,C),(B,m),(B,n),(C,m),(C,n),(m, n).… 用 D 表示:“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件,则 D 中的结果有 6 个,它 们 是:(A,m),(A,n),(B,m),(B,n),(C,m),(C,n).… 故所求概率为 .…

(II)由图 1 可知月碳排放量不超过 300 千克的成为“低碳族”.… 由图 2 可知,三个月后的低碳族的比例为 0.07+0.23+0.46=0.76>0.75,… 所以三个月后小区 A 达到了“低碳小区”标准.… 【点评】本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率,以及频率分布直方图, 同时考查了识图能力,属于基础题.

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,PA=PD=2,BC= 点. (Ⅰ)求证:PA∥平面 MQB; (Ⅱ)求三棱锥 P﹣DQM 的体积. ,M 是棱 PC 的中

【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】空间位置关系与距离.
20

【分析】(Ⅰ)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN,证明 MN∥PA,利用直线与平面平行的 判定定理证明 PA∥平面 MQB. (Ⅱ)利用 VP﹣DQM=VM﹣PDQ,求出 M 到平面 PAD 的距离为 ,然后求解体积. , 即 BC∥AQ,

∵BC∥AD 且 【解答】 证明: (Ⅰ) 连接 AC, 交 BQ 于 N, 连接 MN,

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点,又因为点 M 是棱 PC 的中点, ∴MN∥PA,因为 MN?平面 MQB,PA?平面 MQB,则 PA∥平面 MQB;…6 分 (Ⅱ)VP﹣DQM=VM﹣PDQ,证明出 CD⊥平面 PAD 所以 M 到平面 PAD 的距离为 所以 …9 分 …

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的证明,几何体的体积的求法,考查逻辑推理 能力以及计算能力.

20. 过椭圆

=1 (a>b>0) 的左顶点 A 作斜率为 2 的直线, 与椭圆的另一个交点为 B,

与 y 轴的交点为 C,已知|AB|= (1)求椭圆的离心率;

|BC|.

(2)设动直线 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q,若 x 轴 上存在一定点 M(1,0),使得 PM⊥QM,求椭圆的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.

21

【分析】(1)利用|AB|= 求出

|BC|.设直线 AB:y=2(x+a),A(﹣a,0),C(0,2a), 带入椭圆方程,求解离心率.

(2)设椭圆方程为

,联立 y=kx+m,利用 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共

点,△ =0,通过 PM⊥QM 数量积为 0,得到方程.求解可得椭圆方程. 【解答】解:(1)由|AB|= C(0,2a) 所以 带入 得,3a2=4b2,所以 … |BC|.知 ,设直线 AB:y=2(x+a),A(﹣a,0),

(2)由(1)设椭圆方程为

,联立 y=kx+m 和椭圆得(3+4k2)x2+8kmx+4m2

﹣12c2=0, 由 y=kx+m 与椭圆有且只有一个公共点 P 知△ =64k2m2﹣4 (3+4k2) (4m2﹣12c2) =0 得 m2=c2(3+4k2),(1)… ,Q(4,4k+m),…

由 PM⊥QM 得 即 m2=(3+4k2),(2)… 由(1),(2)得 c2=1 所以椭圆方程为 …

【点评】本题考查椭圆的方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查计算能力.

21.已知关于 x 的函数 (Ⅰ)当 a=﹣1 时,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)若函数 F(x)=f(x)+1 没有零点,求实数 a 取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;函数的零点. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ)a=﹣1 时,求函数 f(x)的导数,利用导数判定 f(x)的单调性与极值并求 出;

22

(Ⅱ)求 F(x)的导数,利用导数判定 F(x)的单调性与极值,从而确定使 F(x)没有零 点时 a 的取值. 【解答】解:(Ⅰ)因为函数 ,

所以 当 a=﹣1 时,f(x),f′(x)的情况如下表: x f′(x) f(x) (﹣∞,2) ﹣ ↘ 2 0 极小值

,x∈R;

(2,+∞) + ↗

所以,当 a=﹣1 时,函数 f(x)的极小值为 f(2)=﹣e﹣2; (Ⅱ)因为 ①当 a<0 时,F(x),F′(x)的情况如下表: x f′(x) f(x) (﹣∞,2) ﹣ ↘ 2 0 极小值 (2,+∞) + ↗ ,

因为 F(1)=1>0, 若使函数 F(x)没有零点,需且仅需 所以此时﹣e2<a<0; ②当 a>0 时,F(x),F′(x)的情况如下表: x f′(x) f(x) (﹣∞,2) + ↗ 2 0 极大值 (2,+∞) ﹣ ↘ ,解得 a>﹣e2,

因为 F(2)>F(1)>0,且



所以此时函数 F(x)总存在零点. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是{a|﹣e2<a<0}.

23

【点评】 本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值情况, 以及根据函数的单调性和极值 讨论函数的零点问题,是易错题.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,选修 4-1:几何证明选讲 22. CD 是∠ACB 的角平分线, AB=2AC △ ADC 的外接圆交 BC 于点 E, 如图, 在△ ABC 中, (Ⅰ)求证:BE=2AD; (Ⅱ)当 AC=3,EC=6 时,求 AD 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】选作题;立体几何. 【分析】(Ⅰ)连接 DE,证明△ DBE∽△CBA,利用 AB=2AC,结合角平分线性质,即可 证明 BE=2AD; (Ⅱ)根据割线定理得 BD?BA=BE?BC,从而可求 AD 的长. 【解答】(Ⅰ)证明:连接 DE, ∵ACED 是圆内接四边形, ∴∠BDE=∠BCA, 又∠DBE=∠CBA,∴△DBE∽△CBA,即有 又∵AB=2AC,∴BE=2DE, ∵CD 是∠ACB 的平分线,∴AD=DE, ∴BE=2AD;… (Ⅱ)解:由条件知 AB=2AC=6,设 AD=t, 则 BE=2t,BC=2t+6, 根据割线定理得 BD?BA=BE?BC, 即(6﹣t)×6=2t?(2t+6),即 2t2+9t﹣18=0, 解得 或﹣6(舍去),则 .… ,

24

【点评】本题考查三角形相似,考查角平分线性质、割线定理,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.

选修 4-4:坐标系与参数方程. 23.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,一直曲线 C:

ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点 P(﹣2,﹣4)的直线 l 的参数方程为

(t 为参

数),l 与 C 分别交于 M,N. (1)写出 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 【考点】参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】(1)首先,对于曲线 C:根据极坐标与直角坐标变换公式 ,方程

ρsin2θ=2acosθ(a>0),两边同乘以 ρ,化成直角坐标方程,对于直线 l:消去参数 t 即可得 到普通方程; (2)首先,联立方程组 ,消去 y 整理,然后,设点 M,N 分别对应参数 t1,

t2,从而,得到|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|,然胡,结合一元二次方程根与系数的关系, 建立含有 a 的关系式,求解 a 的取值. 【解答】解:(1)∵ ,

方程 ρsin2θ=2acosθ(a>0),两边同乘以 ρ, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2=2ax(a>0); 直线 l 的普通方程为 x﹣y﹣2=0. (2)联立方程组

25

, 消去 y 并整理,得 t2﹣2(4+a) t+8(4+a)=0 (*)

△ =8a(4+a)>0. 设点 M,N 分别对应参数 t1,t2,恰为上述方程的根. 则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1﹣t2|. 由题设得(t1﹣t2)2=|t1t2|, 即(t1+t2)2﹣4t1t2=|t1t2|. 由(*)得 t1+t2=2(4+a) ,t1t2=8(4+a)>0,则有

(4+a)2﹣5(4+a)=0,得 a=1,或 a=﹣4. ∵a>0, ∴a=1. 【点评】本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化,参数方程和普通方程的互化, 直线与曲线的位置关系等知识,属于中档题.

选修 4-5;不等式选讲. 24.已知函数 f(x)=|x﹣2|﹣|2x﹣a|,a∈R. (1)当 a=3 时,解不等式 f(x)>0; (2)当 x∈(﹣∞,2)时,f(x)<0 恒成立,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】综合题;函数的性质及应用.

【分析】(1)依题意知,a=3 时,f(x)=

,通过对 x 范围的分类讨论,

解不等式 f(x)>0 即可; (2)利用等价转化的思想,通过分离参数 a,可知当 x∈(﹣∞,2)时,a<3x﹣2 或 a>x+2 恒成立,从而可求得 a 的取值范围.

26

【解答】解:(1)f(x)=

,…

当 x>2 时,1﹣x>0,即 x<1,解得 x∈?; 当 ≤x≤2 时,5﹣3x>0,即 x< ,解得 ≤x< ; 当 x< 时,x﹣1>0,即 x>1,解得 1<x< ; 综上所述,不等式的解集为{x|1<x< }.… (2)当 x∈(﹣∞,2)时,f(x)<0 恒成立?2﹣x﹣|2x﹣a|<0 ?2﹣x<|2x﹣a|恒成立 ?2﹣x<2x﹣a 或 2x﹣a<x﹣2 恒成立 ?x> 或 x<a﹣2 恒成立,

∴当 x∈(﹣∞,2)时,a<3x﹣2①或 a>x+2②恒成立, 解①,a 不存在;解②得:a≥4. 综上知,a≥4.… 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,着重考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方 程思想的综合运用,考查运算求解能力,属于难题.

27



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