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必修1函数的基本性质练习题



必修 1 函数的基本性质练习题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 号内( 号内(每小题 5 分,共 50 分) 。 1.下面说法正确的选项 ( ) A.函数的单调区间一定是函数的定义域 B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C.具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称 D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

9.定义在 R 上的偶函数 f ( x ) ,满足 f ( x + 1) = ? f ( x) ,且在区间 [?1,0] 上为递增,则( A. f (3) < f ( 2 ) < f ( 2) C. f (3) < f ( 2) < f ( 2 ) B. f ( 2) < f (3) < f ( 2 ) D. f ( 2 ) < f ( 2) < f (3)



10.已知 f (x ) 在实数集上是减函数,若 a + b ≤ 0 ,则下列正确的是 ( A. f ( a ) + f (b) ≤ ?[ f ( a ) + f (b)]



B. f ( a ) + f (b) ≤ f ( ? a ) + f ( ?b) D. f ( a ) + f (b) ≥ f ( ? a ) + f ( ?b)

2.在区间 (?∞,0) 上为增函数的是 A. y = 1 C. y = ? x 2 ? 2 x ? 1 B. y =





C. f ( a ) + f (b) ≥ ?[ f ( a ) + f (b)]

x +2 1? x

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分). 填空题:请把答案填在题中横线上( 11.函数 f (x ) 在 R 上为奇函数,且 f ( x ) = ) 12.函数 y = ? x 2 + | x | ,单调递减区间为

D. y = 1 + x 2

x + 1, x > 0 ,则当 x < 0 , f (x) =
,最大值和最小值的情况为

. .

3.函数 y = x 2 + bx + c ( x ∈ ( ?∞,1)) 是单调函数时, b 的取值范围 ( A. b ≥ ?2 B. b ≤ ?2 C . b > ?2 D. b < ?2

13.定义在 R 上的函数 s (x) (已知)可用 f ( x ), g ( x ) 的和来表示,且 f (x ) 为奇函数, g (x ) 为偶函数,则 ( )

4.如果偶函数在 [ a, b] 具有最大值,那么该函数在 [ ?b,? a ] 有 A.最大值 B.最小值

f (x) =

.

C .没有最大值 D. 没有最小值

14.构造一个满足下面三个条件的函数实例, ①函数在 ( ?∞,?1) 上递减;②函数具有奇偶性;③函数有最小值为; .

5.函数 y = x | x | + px , x ∈ R 是 A.偶函数 B.奇函数



) D.与 p 有关 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤( 15. (12 分)已知 f ( x ) = ( x ? 2) 2 , x ∈ [ ?1,3] ,求函数 f ( x + 1) 得单调递减区间.

C.不具有奇偶函数

6.函数 f ( x ) 在 (a, b) 和 (c, d ) 都是增函数,若 x1 ∈ (a, b), x 2 ∈ (c, d ) ,且 x1 < x 2 那么( A. f ( x1 ) < f ( x 2 ) C. f ( x1 ) = f ( x 2 ) B. f ( x1 ) > f ( x 2 ) D.无法确定 ( )



7.函数 f ( x ) 在区间 [?2,3] 是增函数,则 y = f ( x + 5) 的递增区间是 A. [3,8] B. [ ?7,?2] C. [0,5] D. [?2,3] ( )

8.函数 y = ( 2k + 1) x + b 在实数集上是增函数,则 A. k > ?

1 2

B. k < ?

1 2

C. b > 0

D. b > 0
1

16. (12 分)判断下列函数的奇偶性

1 ①y=x + ; x
3

19. (14 分)在经济学中,函数 f (x ) 的边际函数为 Mf (x ) ,定义为 Mf ( x ) = f ( x + 1) ? f ( x ) ,某公司每月最多 生产 100 台报警系统装置。生产 x 台的收入函数为 R ( x ) = 3000 x ? 20 x 2 (单位元) ,其成本函数为

②y=

2x ? 1 + 1 ? 2x ;

③ y = x4 + x ;

? x 2 + 2( x > 0) ? ④ y = ?0( x = 0) 。 ? 2 ? ? x ? 2( x < 0)

C ( x) = 500 x + 4000 (单位元) ,利润的等于收入与成本之差.
①求出利润函数 p ( x ) 及其边际利润函数 Mp ( x ) ; ②求出的利润函数 p ( x ) 及其边际利润函数 Mp ( x ) 是否具有相同的最大值; ③你认为本题中边际利润函数 Mp ( x ) 最大值的实际意义.

17. (12 分)已知 f ( x) = x

2005

+ ax 3 ?

b ? 8 , f (?2) = 10 ,求 f (2) . x

20. (14 分)已知函数 f ( x ) = x 2 + 1 ,且 g ( x ) = f [ f ( x )] , G ( x ) = g ( x ) ? λf ( x ) ,试问,是否存在实数 λ ,使 得 G ( x ) 在 ( ?∞,?1] 上为减函数,并且在 (?1,0) 上为增函数.

18. (12 分) )函数 f ( x ), g ( x ) 在区间 [ a, b] 上都有意义,且在此区间上 ① f (x ) 为增函数, f ( x ) > 0 ; ② g (x ) 为减函数, g ( x ) < 0 . 判断 f ( x ) g ( x ) 在 [ a, b] 的单调性,并给出证明.

2

参考答案 一、CBBAB DBAAD

= 2480 ? 40 x x ∈ [1,100], x ∈ N ;

二、11. y = ? ? x ? 1 ;

1 1 12. [? 1 ,0] 和 [ ,+∞ ) , ; 4 2 2

13. s( x) ? s (? x) ; 2

14. y = x 2 , x ∈ R ;

p ( x ) = ?20( x ?

125 2 ) + 74125, x ∈ [1,100], x ∈ N ,故当 x 2

= 62 或 63 时, p (x) max = 74120(元) 。

三、15. 解: 函数 f ( x + 1) = [( x + 1) ? 2] 2 = ( x ? 1) 2 = x 2 ? 2 x + 1 , x ∈ [?2,2] , 故函数的单调递减区间为 [?2,1] . 16. 解①定义域 (?∞,0) ∪ (0,+∞) 关于原点对称,且 f ( ? x ) = ? f ( x ) ,奇函数.

因为 Mp (x ) = 2480 ? 40 x 为减函数,当 x = 1 时有最大值 2440。故不具有相等的最大值. 边际利润函数区最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 20.解: g ( x ) = f [ f ( x )] = f ( x 2 + 1) = ( x 2 + 1) 2 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 2 .

1 ②定义域为 { } 不关于原点对称。该函数不具有奇偶性. 2
③定义域为 R,关于原点对称,且 f (? x) = x 4 ? x ≠ x 4 + x , f ( ? x) = x 4 ? x ≠ ?( x 4 + x) ,故其不具有奇偶性. ④定义域为 R,关于原点对称, 当 x > 0 时, f (? x) = ?(? x) 2 ? 2 = ?( x 2 + 2) = ? f ( x) ; 当 x < 0 时, f (? x) = (? x) + 2 = ?(? x ? 2) = ? f ( x) ;
2 2

G ( x ) = g ( x ) ? λ f ( x ) = x 4 + 2 x 2 + 2 ? λx 2 ? λ = x 4 + ( 2 ? λ ) x 2 + ( 2 ? λ )

G ( x1 ) ? G ( x 2 ) = [ x1 + (2 ? λ ) x1 + (2 ? λ )] ? [ x 2 + (2 ? λ ) x 2 + (2 ? λ )]
4 2 4 2

= ( x1 + x 2 )( x1 ? x 2 )[ x1 + x 2 + (2 ? λ )]
2 2

有题设 当 x1 < x 2 < ?1 时,

当 x = 0 时, f (0) = 0 ;故该函数为奇函数. 17. 解:已知 f (x ) 中 x
2005

( x1 + x 2 )( x1 ? x 2 ) > 0 , x1 + x 2 + (2 ? λ ) > 1 + 1 + 2 ? λ = 4 ? λ ,
2 2

b b 即 也即 g ( ?2) = ? g (2) , + ax ? 为奇函数, g (x ) = x 2005 + ax 3 ? 中 g ( ? x ) = ? g ( x) , x x
3

则 4 ? λ ≥ 0, λ ≤ 4 当 ? 1 < x1 < x 2 < 0 时,

f ( ?2) = g ( ?2) ? 8 = ? g (2) ? 8 = 10 ,得 g ( 2)

= ?18 , f (2) = g (2) ? 8 = ?26 .

( x1 + x 2 )( x1 ? x 2 ) > 0 , x1 + x 2 + (2 ? λ ) < 1 + 1 + 2 ? λ = 4 ? λ ,
2 2

则 4 ? λ ≥ 0, λ ≥ 4 18.解:减函数令 a ≤ x1 < x 2 ≤ b ,则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 ,即可得 0 < f ( x1 ) < f ( x2 ) ;同理有 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) > 0 , 即可得 f ( x 2 ) < f ( x1 ) < 0 ; 从而有
f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x 2 ) g ( x2 )

故λ = 4 .

= f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x1 ) g ( x 2 ) + f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x2 ) g ( x 2 )
= f ( x1 )( g ( x1 ) ? g ( x 2 )) + ( f ( x1 ) ? f ( x 2 )) g ( x 2 ) *

显然 f ( x1 )( g ( x1 ) ? g ( x2 )) > 0 , ( f ( x1 ) ? f ( x 2 )) g ( x 2 ) > 0 从而*式 * > 0 , 故函数 f ( x ) g ( x ) 为减函数. 19.解: p ( x) = R ( x) ? C ( x) = ?20 x 2 + 2500 x ? 4000, x ∈ [1,100], x ∈ N .

Mp (x) = p ( x + 1) ? p ( x)
= [?20( x + 1) 2 + 2500( x + 1) ? 4000] ? (?20 x 2 + 2500 x ? 4000),
3



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