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幂函数中的三类讨论题



幂函数中的三类讨论题
所谓分类讨论,实质上是“化整为零,各个击破,再积零为整”的策略. 分类讨论时 应注重理解和掌握分类的原则、 方法与技巧, 做到确定对象的全体, 明确分类的标准, 不重、 不漏的分类讨论.在幂函数中,分类讨论的思想得到了重要的体现,可根据幂函数的图象和 性质,依据幂函数的单调性分类讨论,使得结果得以实现. 类型一:求参数的取值范围 例 1 已知函数

f ( x) ? x?2m 的解析式. 分析: 函数 f ( x) ? x?2m
2 2

? m?3

且 f (3) ? f (5) , 求 m 的值, 并确定 f ( x) (m ? Z) 为偶函数,

? m?3

已限定了 ?2m2 ? m ? 3 必为偶数, 且m?Z , (m ? Z) 为偶函数,

f (3) ? f (5) ,只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值,从而确定 f ( x) 的解析式.

解:∵ f ( x) 是偶函数,∴ ?2m2 ? m ? 3 应为偶数.
?2 m2 ? m ? 3 ?2 m2 ? m ? 3

又∵ f (3) ? f (5) ,即 3 ∴ ?1 ? m ?

?5

? 3? ,整理,得 ? ? ?5?

?2 m2 ? m ? 3

? 1 ,∴ ?2m2 ? m ? 3 ?0 ,

3 . 2

又∵ m ? Z ,∴ m ? 0 或 1. 当 m=0 时, ?2m2 ? m ? 3 ? 3 为奇数(舍去) ;当 m ? 1 时, ?2m2 ? m ? 3 ? 2 为偶数. 故 m 的值为 1, f ( x) ? x2 . 评注: 利用分类讨论思想解题时, 要充分挖掘已知条件中的每一个信息, 做到不重不漏, 才可为正确解题奠定坚实的基础. 类型二:求解存在性问题 例 2 已知函数 f ( x) ? x2 ,设函数 g ( x) ? ?qf [ f ( x)] ? (2q ? 1) f ( x) ? 1 ,问是否存在实数

q(q ? 0) ,使得 g ( x) 在区间 ? ?∞, 0) 上是增函数?若存在,请求 ? 4? 是减函数,且在区间 (?4,

出来;若不存在,请说明理由. 分析:判断函数的单调性时,可以利用定义,也可结合函数的图象与性质进行判断,但 要注意问题中符号的确定,要依赖于自变量的取值区间. 解:∵ f ( x) ? x2 ,则 g ( x) ? ?qx4 ? (2q ? 1) x2 ? 1 . 假设存在实数 q(q ? 0) ,使得 g ( x) 满足题设条件,
4 2 ? (2q ? 1) x2 设 x1 ? x2 ,则 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?qx14 ? (2q ? 1) x12 ? qx2

2 ? ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 )[q( x12 ? x2 ) ? (2q ? 1)] .

? 4? ,易知 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 ,要使 g ( x) 在 ? ?∞, ? 4? 上是减函数, 若 x1,x2 ? ? ?∞,
2 ) ? (2q ? 1) ? 0 恒成立. 则应有 q( x12 ? x2

2 ∵ x1 ? ?4 , x2 ≤ ?4 ,∴ x12 ? x2 ? 32 .而 q ? 0 ,

2 ∴ q( x12 ? x2 ) ? 32q ..

2 从而要使 q( x12 ? x2 ) ? 2q ? 1 恒成立,则有 2q ? 1≥ 32q ,即 q ≤ ?

1 . 30 0) ,易知 ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) ? 0 ,要使 f ( x) 在 (?4, 0) 上是增函数,则应有 若 x1,x2 ? (?4,

2 q( x12 ? x2 ) ? (2q ? 1) ? 0 恒成立.

∵ ?4 ? x1 ? 0 , ?4 ? x2 ? 0 ,
2 2 ∴ x12 ? x2 ? 32 ,而 q ? 0 ,∴ q( x12 ? x2 ) ? 32q .

2 要使 q( x12 ? x2 ) ? 2q ? 1 恒成立,则必有 2q ? 1≤ 32q ,即 q ≥ ?

1 . 30

综上可知,存在实数 q ? ?

1 0) 上是增 ,使得 g ( x) 在 ? ?∞, ? 4? 上是减函数,且在 (?4, 30

函数. 评注: 本题是一道综合性较强的题目, 是幂函数性质的综合应用. 判断函数的单调性时, 可从定义入手, 也可根据函数图象和性质进行判断, 但对分析问题和解决问题的能力要求较 高,这在平时要注意有针对性的训练. 类型三:类比幂函数性质,讨论函数值的变化情况 例 3 讨论函数 y ? (k 2 ? k ) xk
2

? 2k ?1

在 x ? 0 时随着 x 的增大其函数值的变化情况.

分析:首先应判定函数是否为常数函数,再看幂指数,并参照幂函数的性质讨论. 解: (1)当 k 2 ? k ? 0 ,即 k ? 0 或 k ? ?1 时, y ? 0 为常函数; (2)当 k 2 ? 2k ? 1 ? 0 时, k ? 1 ? 2 或 k ? 1 ? 2 ,此时函数为常函数;
2 ? ?k ? k ? 0, (3) ? 2 即 0 ? k ? 1 ? 2 时,函数为减函数,函数值随 x 的增大而减小; ? ?k ? 2k ? 1 ? 0,

?k 2 ? k ? 0, ? (4)当 ? 2 即 k ? ?1 或 k ? 1 ? 2 时,函数为增函数,函数值随 x 的增大而 ? ?k ? 2k ? 1 ? 0,

增大;
2 ? ?k ? k ? 0, (5)当 ? 2 即 1 ? 2 ? k ? 0 时,函数为增函数,函数值随 x 的增大而增大; ? ?k ? 2k ? 1 ? 0, 2 ? ?k ? k ? 0, (6)当 ? 2 ,即 ?1 ? k ? 1 ? 2 时,函数为减函数,函数值随 x 的增大而减 ? ?k ? 2k ? 1 ? 0,

小. 评注:含参数系数问题,可以说是解题中的一个致命杀手,是导致错误的一个重要因 素.这应引起我们的高度警觉.



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