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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):6.7数学归纳法



课时跟踪检测(四十一) 数学归纳法

1.如果命题 p(n)对 n=k(k∈N+)成立,则它对 n=k+2 也成立.若 p(n)对 n=2 也成立, 则下列结论正确的是( )

A.p(n)对所有正整数 n 都成立 B.p(n)对所有正偶数 n 都成立 C.p(n)对所有正奇数 n 都成立 D.p(n)对所有自然数 n 都成立 2.(201

2· 海南三亚二模)用数学归纳法证明“1+2+22+?+2n 1=2n-1(n∈N+)”的过 程中,第二步 n=k 时等式成立,则当 n=k+1 时,应得到( A.1+2+2 +?+2
2 k-2


)

+2

k-1

=2

k +1

-1
+1

B.1+2+22+?+2k+2


k+1

=2k-1+2k
+ +

C.1+2+22+?+2k 1+2k 1=2k 1-1 D.1+2+22+?+2k 1+2k=2k 1-1 3.凸 n 多边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数 f(n+1)为( A.f(n)+n+1 C.f(n)+n-1 B.f(n)+n D.f(n)+n-2 )
-1 - +

)

4.下列代数式(其中 k∈N+)能被 9 整除的是( A.6+6·k 7 C.2(2+7k 1)


B.2+7k

D.3(2+7k)

5.某个与正整数 n 有关的命题,如果当 n=k(k∈N+,k≥1)时,该命题成立,则一定可 推得 n=k+1 时,该命题也成立,现已知 n=5 时该命题不成立,则( A.当 n=4 时,该命题成立 B.当 n=6 时,该命题成立 C.当 n=4 时,该命题不成立 D.当 n=6 时,该命题不成立 6.(2013· 南昌模拟)已知 1+2×3+3×32+4×33+?+n×3n 1=3n(na-b)+c 对一切 n ∈N+都成立,则 a、b、c 的值为( 1 1 A.a= ,b=c= 2 4 1 C.a=0,b=c= 4 ) 1 B.a=b=c= 4 D.不存在这样的 a、b、c


)

7.(2012· 徐州模拟)用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,当 第二步假设 n=2k-1(k∈N+)命题为真时,进而需证 n=________时,命题亦真. 8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且对任意的自然数 n 都有:(Sn-1)2=anSn,通过计算

S1,S2,S3,猜想 Sn =________. 1 9.已知数列{an}的通项公式 an= (n∈N+),f(n)=(1-a1)(1-a2)?(1-an),试通 ?n+1?2 过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n)的值是________. 10.用数学归纳法证明:12+32+52+?+(2n-1)2= 1 n(4n2-1). 3

bn 11.已知点 Pn(an,bn)满足 an+1=an·n+1,bn+1= b (n∈N+),且点 P1 的坐标为(1, 1-4a2 n -1). (1)求过点 P1,P2 的直线 l 的方程; (2)试用数学归纳法证明:对于 n∈N+,点 Pn 都在(1)中的直线 l 上.

1 1 12.设 0<a<1,定义 a1=1+a,an+1= +a,求证:对任意 n∈N+,有 1<an< . an 1-a

1 1 1 1 3 1 1.已知 f(n)=1+ 3+ 3+ 3+?+ 3,g(n)= - 2,n∈N+. 2 3 4 n 2 2n (1)当 n=1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小关系; (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明.

2.(2012· 大纲全国卷改编)函数 f(x)=x2-2x-3.定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1 是过两 点 P(4,5)、Qn(xn,f(xn))的直线 PQn 与 x 轴交点的横坐标.证明:2≤xn<xn+1<3.





课时跟踪检测(四十一) A级 1.选 B 由题意 n=k 成立,则 n=k+2 也成立,又 n=2 时成立,则 p(n)对所有正偶 数都成立. 2.选 D 由条件知,左边是从 20,21 一直到 2n
- + -1

都是连续的,因此当 n=k+1 时,左边

应为 1+2+22+?+2k 1+2k,而右边应为 2k 1-1. 3.选 C 边数增加 1,顶点也相应增加 1 个,它与和它不相邻的 n-2 个顶点连接成对 角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加 n-1 条. 4.选 D 取 k=1 检验,只有 3(2+7k)能被 9 整除. 5.选 C 因为当 n=k(k∈N+,k≥1)时,该命题成立,则一定可推得 n=k+1 时该命题 也成立,故当 n=5 时命题不成立,则一定有 n=4 时,该命题也不成立. 6.选 A ∵等式对一切 n∈N+均成立, ∴n=1,2,3 时等式成立,即

?1=3?a-b?+c, ? ?1+2×3=32?2a-b?+c, ?1+2×3+3×32=33?3a-b?+c, ? ?3a-3b+c=1, ? 整理得?18a-9b+c=7, ?81a-27b+c=34. ?
1 1 解得 a= ,b=c= . 2 4 7.解析:n 为正奇数,假设 n=2k-1 成立后,需证明的应为 n=2k+1 时成立. 答案:2k+1 1 8.解析:由(S1-1)2=S2得:S1= ; 1 2 2 由(S2-1)2=(S2-S1)S2 得:S2= ; 3 3 由(S3-1)2=(S3-S2)S3 得:S3= . 4 n 猜想 Sn= . n+1 答案: n n+1

1 3 9.解析:f(1)=1-a1=1- = , 4 4

? 1 3 8 2 4 f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)·1-9?= × = = , ? ? 4 9 3 6
1 2 15 5 ? f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)·1-16?= × = , ? ? 3 16 8 n+2 由此猜想,f(n)= (n∈N+). 2?n+1? n+2 答案: (n∈N+) 2?n+1? 1 10.证明:(1)当 n=1 时,左边=12=1,右边= ×1×(4-1)=1,等式成立. 3 1 (2)假设当 n=k(k∈N+)时等式成立,即 12+32+52+?+(2k-1)2= k(4k2-1). 3 1 1 则当 n=k+1 时,12+32+52+?+(2k-1)2+(2k+1)2= k(4k2-1)+(2k+1)2= k(4k2- 3 3 1)+4k2+4k+1 1 1 = k[4(k+1)2-1]- k· 4(2k+1)+4k2+4k+1 3 3

1 1 = k[4(k+1)2-1]+ (12k2+12k+3-8k2-4k) 3 3 1 1 = k[4(k+1)2-1]+ [4(k+1)2-1] 3 3 1 = (k+1) [4(k+1)2-1]. 3 即当 n=k+1 时等式也成立. 由(1),(2)可知,对一切 n∈N+,等式都成立. 11.解:(1)由题意得 a1=1,b1=-1, -1 1 1 1 b2= = ,a2=1× = , 3 3 1-4×1 3 1 1 ∴P2?3,3?. ? ? y+1 x-1 ∴直线 l 的方程为 = , 1 1 +1 -1 3 3 即 2x+y=1. (2)①当 n=1 时,2a1+b1=2×1+(-1)=1 成立. ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N+)时, 2ak+bk=1 成立. bk 则 2ak+1+bk+1=2ak·k+1+bk+1= b · k+1) (2a 1-4a2 k = 1-2ak bk = =1, 1-2ak 1-2ak

∴当 n=k+1 时,2ak+1+bk+1=1 也成立. 由①②知,对于 n∈N+,都有 2an+bn=1,即点 Pn 在直线 l 上. 1 12.证明:(1)当 n=1 时,a1=1+a>1,又 a1=1+a< ,显然命题成立. 1-a (2)假设 n=k(k∈N+)时,命题成立, 1 即 1<ak< . 1-a 1 即当 n=k+1 时,由递推公式,知 ak+1= +a, ak 1 1 由假设可得(1-a)+a< +a<1+a< . ak 1-a 1 于是当 n=k+1 时,命题也成立,即 1<ak+1< . 1-a 1 由(1)(2)可知,对任意 n∈N+,有 1<an< . 1-a

B级 1.解:(1)当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=1,所以 f(1)=g(1); 9 11 当 n=2 时,f(2)= ,g(2)= , 8 8 所以 f(2)<g(2); 251 312 当 n=3 时,f(3)= ,g(3)= , 216 216 所以 f(3)<g(3). (2)由(1)猜想 f(n)≤g(n),下面用数学归纳法给出证明. ①当 n=1,2,3 时,不等式显然成立. ②假设当 n=k(k≥3,k∈N+)时不等式成立, 1 1 1 1 3 1 即 1+ 3+ 3+ 3+?+ 3< - 2, 2 3 4 k 2 2k 那么,当 n=k+1 时, 1 3 1 1 f(k+1)=f(k)+ < - 2+ , ?k+1?3 2 2k ?k+1?3 1 ? k+3 -3k-1 1 1 ?1 因为 3 = 2- 2k2- 3- 2= ?k+1? ? 2?k+1? 2k 2?k+1?3k2<0, 2?k+1? ? 3 1 所以 f(k+1)< - =g(k+1). 2 2?k+1?2 由①②可知,对一切 n∈N+,都有 f(n)≤g(n)成立. 2.证明:用数学归纳法证明:2≤xn<xn+1<3. ①当 n=1 时,x1=2,直线 PQ1 的方程为 f?2?-5 y-5= (x-4), 2-4 11 令 y=0,解得 x2= ,所以 2≤x1<x2<3. 4 ②假设当 n=k 时,结论成立, 即 2≤xk<xk+1<3. 直线 PQk+1 的方程为 f?xk+1?-5 y-5= (x-4), xk+1-4 3+4xk+1 令 y=0,解得 xk+2= . 2+xk+1 由归纳假设知 3+4xk+1 5 5 xk+2= =4- <4- =3; 2+xk+1 2+xk+1 2+3

?3-xk+1??1+xk+1? xk+2-xk+1= >0, 2+xk+1 即 xk+1<xk+2. 所以 2≤xk+1<xk+2<3,即当 n=k+1 时,结论成立. 由①、②知对任意的正整数 n, 2≤xn<xn+1<3.



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