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§1.1.1 集合的含义与表示(1)



蒋老师希望数学空间联系电话:13874528909

必修 1 数学培优学案

编写:蒋宗福

§ 1.1.1 集合的含义与表示(1)
学习目标
1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和 作

用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

学习过程
讨论:军训前学校通知:8 月 15 日上午 8 点,高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是 全体的高一学生还是个别学生? 引入:在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三) 对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合,即是一些研究对象的总体. 二、新课导学 ※ 探索新知 探究 1:考察几组对象: ① 1~20 以内所有的质数; ② 到定点的距离等于定长的所有点; ③ 所有的锐角三角形; ④ x2 , 3 x ? 2 , 5 y3 ? x , x2 ? y 2 ; ⑤ 怀化三中高一级全体学生; ⑥ 方程 x 2 ? 3x ? 0 的所有实数根; ⑦ 某日用品厂 2012 年 6 月生产的所有童车; ⑧ 2011 年 8 月,怀化所有出生婴儿. 试回答: 各组对象分别是一些什么?有多少个对象? 新知 1:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合. 试试 1:探究 1 中①~⑧都能组成集合吗,元素分别是什么? 探究 2:“好心的人”是否构成集合? 新知 2:集合元素的特征 对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,是互异的,是无序的,即集合元素三特征. 确定性:某一个具体对象,它或者是一个给定的集合的元素,或者不是该集合的元素,两种情况必有一种 且只有一种成立. 互异性:同一集合中不应重复出现同一元素. 无序性:集合中的元素没有顺序. 只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两个集合 . 试试 2:分析下列对象,能否构成集合,并指出元素: ① 不等式 x ? 3 ? 0 的解; ② 3 的倍数; ③ 方程 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的解; ④ a,b,c,x,y,z; ⑤周长为 10 cm 的三角形; ⑥与 ? 比较接近的数;
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⑦高一数学必修 1 中的所有难题; ⑧高一数学必修 1 中的所有习题; ⑨地球的小河流; ⑩我班上的高个子。 探究 3:实数能用字母表示,集合又如何表示呢? 新知 3:集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示,集合的元素用小写的拉丁字母表示. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作:a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作:a ?A. 试试 3: 设 B 表示“5 以内的自然数”组成的集合,则 5 B,0.5 探究 4:常见的数集有哪些,又如何表示呢? 新知 4:常见数集的表示 非负整数集(自然数集):全体非负整数组成的集合,记作 N; 正整数集:所有正整数的集合,记作 N*或 N+; 整数集:全体整数的集合,记作 Z; 有理数集:全体有理数的集合,记作 Q; 实数集:全体实数的集合,记作 R. 试试 4:填∈或 ?:0 N,0 R,3.7 N,3.7 Z, ? 3

B, 0

B, -1

B.

Q, 3 ? 2

R.

探究 5:探究 1 中①~⑧分别组成的集合,以及常见数集的语言表示等例子,都是用自然语言来描述一个集 合. 这种方法语言文字上较为繁琐,能否找到一种简单的方法呢? 新知 5:列举法 把集合的元素一一列举出来,并用大括号“{ }”括起来,这种表示集合的方法叫做列举法. 注意:不必考虑顺序,“,”隔开;a 与{a}不同. 试试 5:试试 2 中,哪些对象组成的集合能用列举法表示出来,试写出其表示.

※ 典型例题 例 1 用列举法表示下列集合: ① 15 以内质数的集合; ② 方程 x( x2 ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合; ③ 一次函数 y ? x 与 y ? 2 x ? 1 的图象的交点组成的集合.
④ x ? (?1) ,n ? N 的数组成的集合。
n

变式:用列举法表示“一次函数 y ? x 的图象与二次函数 y ? x 2 的图象的交点”组成的集合.

三、总结提升 ※ 学习小结 ①概念:集合与元素;属于与不属于;②集合中元素三特征;③常见数集及表示;④列举法.
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学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法正确的是( ). A.某个村子里的高个子组成一个集合 B.所有小正数组成一个集合 C.集合 {1, 2,3, 4,5} 和 {5, 4,3, 2,1} 表示同一个集合
1 3 6 1 D. 1, 0.5, , , , 这六个数能组成一个集合 2 2 4 4

2. 给出下列关系: 1 ① ? R ;② 2 ? Q ;③ ?3 ? N? ;④ ? 3 ? Q. 其中正确的个数为( ). 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3. 直线 y ? 2 x ? 1 与 y 轴的交点所组成的集合为( ). 1 1 A. {0,1} B. {(0,1)} C. {? ,0} D. {(? ,0)} 2 2 4. 设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合,则: 长沙 A; 怀化 A. (填∈或 ?) 2 5. “方程 x ? 3x ? 0 的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.

课后作业
1. 用列举法表示下列集合: (1)由小于 10 的所有质数组成的集合; (2)10 的所有正约数组成的集合; (3)方程 x 2 ? 10 x ? 0 的所有实数根组成的集合. (4){x|

6 ∈Z,x∈Z}. 3? x

2. 设 x∈R,集合 A ? {3, x, x2 ? 2 x} . (1)求元素 x 所应满足的条件; (2)若 ?2 ? A ,求实数 x.

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§ 1.1.1 集合的含义与表示(2)
学习目标
1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; 2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和 作用; 3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P4~ P5,找出疑惑之处) 复习 1:一般地,指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 集合中的元素具备 、 、 特征. 集合与元素的关系有 、 . 2 复习 2:集合 A ? {x ? 2x ? 1} 的元素是 ,若 1∈A,则 x= .

.

复习 3:集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么?四个集合有何关系?

二、新课导学 ※ 学习探究 思考: ① 你能用自然语言描述集合 {2, 4,6,8} 吗?
② 你能用列举法表示不等式 x ? 1 ? 3 的解集吗? 新知:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,一般形式为 {x ? A | P} ,其中 x 代表元素,P 是确定条件. 试试:方程 x 2 ? 3 ? 0 的所有实数根组成的集合,用描述法表示为 ※ 典型例题 例 1 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程 x( x2 ? 1) ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合. .

练习:用描述法表示下列集合. (1)方程 x3 ? 4 x ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)所有奇数组成的集合.

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小结: 用描述法表示集合时,如果从上下文关系来看, x ? R 、 x ? Z 明确时可省略,例如 {x | x ? 2k ? 1, k ? Z } , {x | x ? 0} 例 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)抛物线 y ? x2 ? 1 上的所有点组成的集合;
?3x ? 2 y ? 2 (2)方程组 ? 解集. ?2 x ? 3 y ? 27

变式:以下三个集合有什么区别. (1) {( x, y) | y ? x2 ? 1} ; (2) { y | y ? x 2 ? 1} ; (3) {x | y ? x2 ? 1} . 例 3 如果集合 A={ x | ax 2 + 2 x + 1=0} 中只有一个元素,则 a 的值是( ). A.0 B.0 或 1 C.1 D.不能确定 反思与小结: ① 描述法表示集合时,应特别注意集合的代表元素,如 {( x, y) | y ? x2 ? 1} 与 { y | y ? x 2 ? 1} 不同. ② 只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如 {x | x ? 1} , {x | x ? 3k , k ? Z } . ③ 集合的{ }已包含“所有”的意思,例如:{整数},即代表整数集 Z,所以不必写{全体整数}.下列写法{实 数集}也是错误的. ④ 列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有 无限个元素时,不宜采用列举法.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设 A ? {x ? N |1 ? x ? 6} ,则下列正确的是( ). A. 6 ? A B. 0 ? A C. 3 ? A D. 3.5 ? A 2. 下列说法正确的是( ). A.不等式 2 x ? 5 ? 3 的解集表示为 {x ? 4} B.所有偶数的集合表示为 {x | x ? 2k} C.全体自然数的集合可表示为{自然数} D. 方程 x 2 ? 4 ? 0 实数根的集合表示为 {(?2, 2)} 3. 一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x 的图象的交点组成的集合是(
A. {1, ?2} B. {x ? 1, y ? ?2} C. {( ?2,1)}

).

?y ? x ? 3 } D. {( x, y ) | ? ? y ? ?2 x

4. 用列举法表示集合 A ? {x ? Z | 5 ? x ? 10} 为 5.集合 A={x|x=2n 且 n∈N}, B ? {x | x ? 6x ? 5 ? 0} ,用∈或 ?填空: 4 A,4 B,5 A,5 B.
2

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课后作业
1. (1)设集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 6, x ? N , y ? N} ,试用列举法表示集合 A. (2)设 A={x|x=2n,n∈N,且 n<10},B={3 的倍数},求属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合.

2. 若集合 A ? {?1,3} ,集合 B ? {x | x2 ? ax ? b ? 0} ,且 A ? B ,求实数 a、b.

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