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湖北省武汉一中等部分重点中学联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷(理科)



湖北省武汉一中等部分重点中学联考 2014-2015 学年高一下学期 期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. ) 1. +1 与 ﹣1 的等差中项是() A.1 B.﹣1 C. D.±1 2.计算 sin77°cos47°﹣sin13°cos43°的值等于() A. B. C. D.

3.符合下列条件的三角形△ ABC 有且只有一个的是() A.a=1,b= ,A=30° B. a=1,b=2,c=3 C. b=c=1,B=45° D.a=1,b=2,A=100° 4.已知 A. ,则 sin θ﹣cos θ 的值为() B. C. D.
4 4

5.若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当{an}的前 n 项和最大时 n 的值为() A.7 B. 8 C. 9 D.10 6.已知 tan(α+β)= ,tan(β﹣ A. B. )= ,那么 tan(α+ C. )等于() D.

7.已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn,且 a2015=3S2014+2015,a2014=3S2013+2015,则公比 q 等于() A.3 B. C. 4 D.

8.如图 D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别为 β, α(α<β) ,则 A 点离地面的高度 AB=()

A. C.

B. D.

9.已知等比数列{an}中 a2=2,a5= ,则 a1?a2+a2?a3+a3?a4+…+an?an+1 等于() A.16(1﹣4 )
﹣n

B.16(1﹣2 )

n

C.

D.

10.在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别是 a、b、c.若 sinC+sin(B﹣A)=sin2A, 则△ ABC 的形状为() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 11. 将正奇数 1, 3, 5, 7, …按如表的方式进行排列, 记 aij 表示第 i 行第 j 列的数, 若 aij=2015, 则 i+j 的值为() 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 第4行 31 29 27 25 第5行 39 37 35 33 … … … … … … A.505 B.506 C.254 D.253

12.给出以下命题: ①存在两个不等实数 α,β,使得等式 sin(α+β)=sinα+sinβ 成立; ②若数列{an}是等差数列,且 am+an=as+at(m、n、s、t∈N*) ,则 m+n=s+t; ③若 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,则 S6,S12﹣S6,S18﹣S12 成等比数列; n * ④若 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,且 Sn=Aq +B; (其中 A、B 是非零常数,n∈N ) ,则 A+B 为零; 2 2 2 ⑤已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a +b >c ,则△ ABC 一 定是锐角三角形. 其中正确的命题的个数是() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题纸相应位置上. ) 13.已知 <θ<π,且 sinθ= ,则 tan =.

14.已知△ ABC 中,设三个内角 A,B,C 对应的边长分别为 a,b,c,且 a=1, A=30°,则 c=.



15.已知数列{an},{bn}都是等差数列,Sn,Tn 分别是它们的前 n 项和,并且





=. (用最简分数作答)

16.数列{an}的首项 a1=1,数列{bn}为等比数列且 bn=

,若 b10b11=2015

,则 a21=.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 ,求 an

(2)等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a10=30,a20=50,Sn=242,求 n. 18.已知 cos( (Ⅰ)sin2α; (Ⅱ)tanα﹣ . +α)?cos( ﹣α)=﹣ ,α∈( , ) ,求:

19.在△ ABC 中,三个内角 2 的对边分别为 a,b,c,cosA=﹣ csinC= asinB.

,asinA+bsinB﹣

(1)求 B 的值; (2)设 b=10,求△ ABC 的面积 S. 20.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1?a2=2,a3?a4=32. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 + + +…+ =an+1﹣1(n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和.
*

21.如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区 域内建一工厂 P, 分别在两条公路边上建两个仓库 M、 N (异于村庄 A) , 要求 PM=PN=MN=2 (单位:千米) .如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离 最远) .

22.数列{an}的首项为 a(a≠0) ,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=t?Sn+a(t≠0) .设 bn=Sn+1, + cn=k+b1+b2+…+bn(k∈R ) . (1)求数列{an}的通项公式; * (2)当 t=1 时,若对任意 n∈N ,|bn|≥|b3|恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 t≠1 时,试求三个正数 a,t,k 的一组值,使得{cn}为等比数列,且 a,t,k 成等差 数列.

湖北省武汉一中等部分重点中学联考 2014-2015 学年高 一下学期期中数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求. ) 1. +1 与 ﹣1 的等差中项是() A.1 B.﹣1 C. D.±1 考点: 专题: 分析: 解答: 则 等差数列. 等差数列与等比数列. 由等差中项的定义易得答案. 解:设 x 为 +1 与 ﹣1 的等差中项, +1,即 x= =

﹣1﹣x=x﹣

故选:C 点评: 本题考查等差中项,属基础题. 2.计算 sin77°cos47°﹣sin13°cos43°的值等于() A. B. C. D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式及两角差的正弦函数公式即可求值.

解答: 解:sin77°cos47°﹣sin13°cos43° =sin77°cos47°﹣cos77°sin47° =sin(77°﹣47°) =sin30° = . 故选:A. 点评: 本题主要考查了诱导公式,两角差的正弦函数公式的应用,属于基础题. 3.符合下列条件的三角形△ ABC 有且只有一个的是() A.a=1,b= ,A=30° B. a=1,b=2,c=3 C. b=c=1,B=45° D.a=1,b=2,A=100° 考点: 解三角形. 专题: 综合题. 分析: 利用已知选项的条件, 通过正弦定理, 组成三角形的条件, 判断能不能组成三角形, 以及三角形的个数. 解答: 解:对于 A、a=1,b= ,A=30°三角形中 B 可以是 45°,135°,组成两个三角形. 对于 B、a=1,b=2,c=3 组不成三角形. 对于 D、a=1,b=2,A=100°组不成三角形. 对于 C、b=c=1,B=45°显然只有一个三角形. 故选 C. 点评: 本题是基础题,考查三角形的基本性质,注意正弦定理的应用,大角对大边,小角 对小边,常考题型.
4 4

4.已知 A.

,则 sin θ﹣cos θ 的值为() B. C. D.

考点: 二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 2 2 分析: 已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简求出 cos θ﹣sin θ 的值, 所求式子利 2 2 用平方差公式化简, 再利用同角三角函数间的基本关系整理后将 cos θ﹣sin θ 的值代入计算 即可求出值. 解答: 解:∵cos2θ=cos θ﹣sin θ=
4 4 2 2 2 2 2


2 2 2

∴sin θ﹣cos θ=(sin θ+cos θ) (sin θ﹣cos θ)=﹣(cos θ﹣sin θ)=﹣



故选 B. 点评: 本题考查二倍角的余弦函数公式, 考查学生的计算能力, 熟练掌握公式是解本题的 关键. 5.若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当{an}的前 n 项和最大时 n 的值为()

A.7

B. 8

C. 9

D.10

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意和等差数列的性质可得{an}的前 8 项为正数,从第 9 项开始为负数,由此易 得结论. 解答: 解:∵等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0, ∴3a8=a7+a8+a9>0,a8+a9=a7+a10<0, ∴a8>0,a9<0, ∴等差数列{an}的前 8 项为正数,从第 9 项开始为负数, ∴当{an}的前 n 项和最大时 n 的值为 8, 故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质,考查等差数列项的符号,属基础题.

6.已知 tan(α+β)= ,tan(β﹣ A. B.

)= ,那么 tan(α+ C.

)等于() D.

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 计算题. 分析: 把已知的条件代入 )]= =tan[(α+β)﹣(β﹣ ,运算求得结果.

解答: 解:∵已知 ∴ =tan[(α+β)﹣(β﹣



)]=

=

=



故选 C. 点评: 本题主要考查两角和差的正切公式的应用,属于中档题. 7.已知等比数列{an}前 n 项和为 Sn,且 a2015=3S2014+2015,a2014=3S2013+2015,则公比 q 等于() A.3 B. C. 4 D.

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: a2015=3S2014+2015,a2014=3S2013+2015,两式相减即可得出. 解答: 解:∵a2015=3S2014+2015,a2014=3S2013+2015, ∴a2015﹣a2014=3a2014, ∴ =4.

故选:C. 点评: 本题考查了递推式的应用、等比数列的定义,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 8.如图 D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点的仰角分别为 β, α(α<β) ,则 A 点离地面的高度 AB=()

A. C.

B. D.

考点: 解三角形. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 先分别在直角三角形中表示出 DB,BC,根据 DC=DB﹣BC 列等式求得 AB. 解答: 解:依题意知,DB= ∴DC=DB﹣BC=AB( ∴AB= , ﹣ ,BC= )=a, ,

故选:A. 点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用. 把实际问题转化为三角形的问题, 是常用思 路.

9.已知等比数列{an}中 a2=2,a5= ,则 a1?a2+a2?a3+a3?a4+…+an?an+1 等于() A.16(1﹣4 )
﹣n

B.16(1﹣2 )

n

C.

D.

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,由等比数列的通项公式求出 a1 和 q,代入 an?an+1 化简并判断出数列{an?an+1}是等比数列,利用等比数列的前 n 项和公式化简所求的 式子. 解答: 解:设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q, 因为等比数列{an}中,a2=2,a5= ,

所以

= ,则 q= ,

由 a2=2 得,a1=4, 所以 an?an+1=4? (4 )= =8? ,

所以数列{an?an+1}是以 8 为首项、 为公比的等比数列,

则 a1?a2+a2?a3+a3?a4+…+an?an+1=

=



故选:C. 点评: 本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用, 以及等比数列的判断, 属于 中档题. 10.在△ ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别是 a、b、c.若 sinC+sin(B﹣A)=sin2A, 则△ ABC 的形状为() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 解三角形. 分析: 由已知条件结合三角函数公式化简可得 2cosA(sinA﹣sinB)=0,分别可得 A= 或 a=b,可得结论. 解答: 解:∵sinC+sin(B﹣A)=sin2A, ∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=sin2A, ∴sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=sin2A, ∴2cosAsinB=sin2A=2sinAcosA, ∴2cosA(sinA﹣sinB)=0, ∴cosA=0,或 sinA=sinB, ∴A= ,或 a=b, ,

∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形 故选:D. 点评: 本题考查三角形形状的判断,涉及三角函数公式的应用,本题易约掉 cosA 而导致 漏解,属中档题和易错题.

11. 将正奇数 1, 3, 5, 7, …按如表的方式进行排列, 记 aij 表示第 i 行第 j 列的数, 若 aij=2015, 则 i+j 的值为() 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 第4行 31 29 27 25 第5行 39 37 35 33 … … … … … … A.505 B.506 C.254 D.253

考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由题意知该数列是等差数列,四个数为一行,奇数行从第 2 列开始从小到大排列, 偶数行从第一列开始从大到小排列,所以可得结论. 解答: 解:由题意得,该数列是等差数列, 则 an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×2=2n﹣1, ∴由公式得 n=÷2=1008, ∴由四个数为一行得 1008÷4=252, ∴由题意 2015 这个数为第 252 行第一列, 故 i+j=253, 故选:D. 点评: 本题考查归纳推理,难点是根据能够找出数之间的内在规律,考查观察、分析、归 纳的能力,是基础题. 12.给出以下命题: ①存在两个不等实数 α,β,使得等式 sin(α+β)=sinα+sinβ 成立; ②若数列{an}是等差数列,且 am+an=as+at(m、n、s、t∈N*) ,则 m+n=s+t; ③若 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,则 S6,S12﹣S6,S18﹣S12 成等比数列; n * ④若 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,且 Sn=Aq +B; (其中 A、B 是非零常数,n∈N ) ,则 A+B 为零; 2 2 2 ⑤已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a +b >c ,则△ ABC 一 定是锐角三角形. 其中正确的命题的个数是() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用特殊值判断①的正误;利用特殊数列即可推出命题②的正误;根据等差数列 的性质,判断③的正误;根据等比数列的前 n 项的和推出 A,B 判断④的正误.利用特殊 三角形判断⑤的正误;

解答: 解:对于①实数 α=0,β≠0,则 sin(α+β)=sinβ,sinα+sinβ=sinβ,所以等式成立; 故①正确; 对于②取数列{an}为常数列,对任意 m、n、s、t∈N*,都有 am+an=as+at,故②不正确; n 对于③设 an=(﹣1) , 则 S2=0,S4﹣S2=0,S6﹣S4=0, ∴此数列不是等比数列,故③正确; ④Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,且 Sn=Aq +B; (其中 A、B 是非零常数,n∈N ) , 所以此数列为首项是 a1,公比为 q≠1 的等比数列, 则 Sn= ,
n *

所以 A=

,B=﹣

,∴A+B=0,故④正确;
2 2 2

对于⑤,如果三角形是直角三角形,a=5,b=3.c=4,满足 a +b >c ,故⑤不正确; 故选:C. 点评: 此题考查学生灵活运用等差、等比数列的性质,三角函数以及三角形的判断,是一 道综合题.属中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在答题纸相应位置上. ) 13.已知 <θ<π,且 sinθ= ,则 tan = .

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意结合三角函数公式易得 tan 解答: 解:∵sinθ= ,∴2sin cos = 的方程,结合角的范围,解方程可得. ,



=





=



又∵ ∴ ∴tan

<θ<π, < < >1, ,

解方程可得 tan

=

故答案为: 点评: 本题考查三角函数化简求值,涉及二倍角公式,属基础题. 14.已知△ ABC 中,设三个内角 A,B,C 对应的边长分别为 a,b,c,且 a=1, A=30°,则 c=1 或 2. ,

考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 由余弦定理得到 a =b +c ﹣2bccosA,将 a,b 及 cosA 的值代入,得到关于 c 的方 程,求出方程的解即可得到 c 的值. 解答: 解:∵a=1, ,A=30°, 2 2 2 2 2 ∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得:1=3+c ﹣3c,即 c ﹣3c+2=0, 因式分解得: (c﹣1) (c﹣2)=0, 解得:c=1 或 c=2,经检验都符合题意, 则 c=1 或 2. 故答案为:1 或 2 点评: 此题考查了余弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 余弦定理很好的建立了三角形的 边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

15.已知数列{an},{bn}都是等差数列,Sn,Tn 分别是它们的前 n 项和,并且





=

. (用最简分数作答)

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列的性质及求和公式,结合 ,可得结论.

解答: 解:

=

=

=

=



故答案为:



点评: 本题考查等差数列的性质及求和公式,考查学生的计算能力,比较基础.

16. 数列{an}的首项 a1=1, 数列{bn}为等比数列且 bn=

, 若 b10b11=2015

, 则 a21=2015.

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知结合 bn= 求得 a21. 解答: 解:由 bn= ,且 a1=1,得 b1= . ,得到 a21=b1b2…b20,结合 b10b11=2015 及等比数列的性质

b2=

,a3=a2b2=b1b2.

b3= …

,a4=a3b3=b1b2b3.

an=b1b2…bn﹣1. ∴a21=b1b2…b20. ∵数列{bn}为等比数列, ∴ . 故答案为:2015. 点评: 本题考查了数列递推式,考查了等比数列的性质,是中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (1)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 ,求 an =2015

(2)等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a10=30,a20=50,Sn=242,求 n. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用递推式即可得出; (2)利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)当 n=1 时,a1=s1=6; 当 n≥2 时, 由于 a1 不适合此式, ∴ .

(2)解由 an=a1+(n﹣1)d,a10=30,a20=50,

得程组



解得



∴an=2n+10. , 得 ,

解得 n=11 或 n=﹣22(舍去) . ∴n=11. 点评: 本题考查了递推式的应用、 等差数列的通项公式及其前 n 项和公式, 考查了推理能 力与计算能力,属于中档题. ﹣α)=﹣ ,α∈(

18.已知 cos( (Ⅰ)sin2α; (Ⅱ)tanα﹣

+α)?cos(



) ,求:



考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用二倍角的正弦可求得 sin(2α+ )?cos(2α+ )= ﹣ )=﹣ ,α∈( , )?2α+ ∈(π,

,利用两角差的正弦即可求得 sin2α 的值; ,π) ,sin2α= ,可求得 cos2α 的值,从而可求得 tanα﹣

(Ⅱ)结合(Ⅰ)2α∈( 的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵cos( 即 sin(2α+ 故 2α+

+α)?cos( , ) ,

﹣α)=cos(

+α)?sin(

+α)=﹣ ,…

)=﹣ ,α∈( ) , ,… )﹣

∈(π, )=﹣

∴cos(2α+

∴sin2α=sin[(2α+ (Ⅱ)∵2α∈(

]=sin(2α+

)cos

﹣cos(2α+

)sin

= …

,π ) ,sin2α= ,

∴cos2α=﹣

,…

∴tanα﹣

=



=

=

=﹣

2?

=2





点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用, 考查二倍角的正弦, 两角差的正弦的综合应 用,考查运算求解能力,属于中档题.

19.在△ ABC 中,三个内角 2 的对边分别为 a,b,c,cosA=﹣ csinC= asinB.

,asinA+bsinB﹣

(1)求 B 的值; (2)设 b=10,求△ ABC 的面积 S. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦,整理后可求得 cosC 的值, 进而求得 C,进而求得 sinA 和 sinC,利用余弦的两角和公式求得答案. (2)根据正弦定理求得 c,进而利用面积公式求得答案. 解答: 解: (1)∵ ∴ . ,





又∵A、B、C 是△ ABC 的内角, ∴ ∵ 又∵A、B、C 是△ ABC 的内角, ∴0<A+C<π, ∴ ∴ (2)∵ , . . . ,

∴ ∴△ABC 的面积

. .

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用. 注意对这两个公式的灵活运用来解决 三角形问题. 20.已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1?a2=2,a3?a4=32. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足 + + +…+ =an+1﹣1(n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和.
*

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,由已知得解得 求出 ;

(Ⅱ)由题意通过仿写作差求出 位相减的方法求出数列{bn}的前 n 项和.

进一步求出

,利用错

解答: 解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q,由已知得



又∵a1>0,q>0,解得 ∴ ;…



(Ⅱ)由题意可得

, (n≥2)

两式相减得





, (n≥2)…

当 n=1 时,b1=1,符合上式, ∴ , (n∈N )…
*



, ,…

两式相减得 , ∴ .…

点评: 本题考查数列通项公式的求法、 前 n 项和公式的求法; 错位相减方法是求和方法中 重要的方法,属于一道中档题. 21.如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区 域内建一工厂 P, 分别在两条公路边上建两个仓库 M、 N (异于村庄 A) , 要求 PM=PN=MN=2 (单位:千米) .如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离 最远) .

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 综合题;解三角形. 分析: 设∠AMN=θ,在△ AMN 中,求出 AM,在△ APM 中,利用余弦定理,建立函数, 利用辅助角公式化简,即可得出结论. 解答: 解:设∠AMN=θ,在△ AMN 中, 因为 MN=2,所以 AM= sin(120°﹣θ) . = …2 分 …6 分 …8 分 .

在△ APM 中,cos∠AMP=cos(60°+θ) . 2 2 2 AP =AM +MP ﹣2AM?MP?cos∠AMP = = sin (120°﹣θ)+4﹣2×2× sin (θ+60°)﹣
2 2

sin(120°﹣θ) cos(60°+θ)

sin(θ+60°) cos(θ+60°)+4 sin(2θ+120°)+4

= [1﹣cos (2θ+120°)]﹣ =﹣ [ = ﹣

sin(2θ+120°)+cos (2θ+120°)]+ sin(2θ+150°) ,θ∈(0,120°) . …12 分

当且仅当 2θ+150°=270°,即 θ=60°时,AP 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 . 答:设计∠AMN 为 60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.…14 分 点评: 本题考查正弦定理、 余弦定理的运用, 考查三角函数的化简, 正确构建函数是关键. 22.数列{an}的首项为 a(a≠0) ,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=t?Sn+a(t≠0) .设 bn=Sn+1, + cn=k+b1+b2+…+bn(k∈R ) . (1)求数列{an}的通项公式; * (2)当 t=1 时,若对任意 n∈N ,|bn|≥|b3|恒成立,求 a 的取值范围; (3)当 t≠1 时,试求三个正数 a,t,k 的一组值,使得{cn}为等比数列,且 a,t,k 成等差 数列. 考点: 数列与不等式的综合. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)在数列递推式中取 n=n﹣1,得到另一递推式,作差后求得数列{an}为等比数 列并求出公比,则数列的通项公式可求; (2)由 t=1 求得 an,Sn,bn,由|bn|≥|b3|恒成立,利用取 n 得特殊值及单调性求函数的最值 求得 a 的取值范围; (3)求出等比数列{an}的前 n 项和,代入 bn=Sn+1,再求出 cn=k+b1+b2+…+bn,由{cn}为等 比数列,利用等比数列的通项公式特点得到 a,k,t 的关系,再结合 a,t,k 成等差数列联 立方程组求得 a,t,k 的值. 解答: 解: (1)∵Sn+1=t?Sn+a① 当 n≥2 时,Sn=t?Sn﹣1+a②, ①﹣②得,an+1=t?an(n≥2) , 又由 S2=t?S1+a,得 a2=t?a1, ∴{an}是首项为 a,公比为 t 的等比数列, ∴ (n∈N ) ;
*

2

(2)当 t=1 时,an=a,Sn=na,bn=na+1, 由|bn|≥|b3|,得|na+1|≥|3a+1|, (n﹣3)a[(n+3)a+2]≥0(*) 当 a>0 时,n<3 时, (*)不成立; 当 a<0 时, (*)等价于(n﹣3)[(n+3)a+2]≤0(**) n=3 时, (**)成立.n≥4 时,有(n+3)a+2≤0,即 ∴ .n=1 时,有 4a+2≥0, ; 恒成立, .

.n=2 时,有 5a+2≥0,

综上,a 的取值范围是

(3)当 t≠1 时,





=



∴当

时,数列{cn}是等比数列,∴



又∵a,t,k 成等差数列,∴2t=a+k,即 解得 从而, ∴当 , . , . ,



时,数列{cn}为等比数列.

点评: 本题是数列与不等式的综合题, 考查了等比数列的通项公式, 训练了特值化思想在 解题中的应用,考查了数列的求和方法,考查了运算能力,属难度较大的题目.



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