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黄冈中学高考数学典型例题4---三个“二次”及关系


黄冈中学
高考数学典型例题详解

三个"二次"及关系
每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁?

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三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数 学的重要内容,具有丰富的内涵和密切的联系,同时也是研究包含二次曲线在 内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节 主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系,掌握函数、方程及不等式的思想 和方法.

●难点磁场
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已知对于 x 的所有实数值,二次函数 f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是非 负的,求关于 x 的方程
x =|a-1|+2 的根的取值范围. a?2

●案例探究 [例 1]已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=-bx,其中 a、b、c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R). (1)求证:两函数的图象交于不同的两点 A、B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围. 命题意图:本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★ ★★★★题目. 知识依托: 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的 完美结合. 错解分析:由于此题表面上重在“形” ,因而本题难点就是一些考生可能走 入误区,老是想在“形”上找解问题的突破口,而忽略了“数”. 技巧与方法:利用方程思想巧妙转化. (1)证明:由 ?
? y ? ax 2 ? bx ? c ? y ? ?bx

消去 y 得 ax2+2bx+c=0
c 2 3 4

Δ =4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ ) 2 ? c2] ∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴ c2>0,∴Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点. (2)解:设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=- |A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
2b 2 4c 4b 2 ? 4ac 4( ?a ? c) 2 ? 4ac ) ? ? ? a a a2 a2 c c c 1 3 ? 4[( ) 2 ? ? 1] ? 4[( ? ) 2 ? ] a a a 2 4 ? (?

3 4

c 2b ,x1x2= . a a

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ∴a>-a-c>c,解得
c a c a c a
1 c ∈(-2,- ) 2 a

∵ f ( ) ? 4[( ) 2 ? ? 1] 的对称轴方程是

c 1 ?? . a 2

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1 c ∈(-2,- )时,为减函数 2 a

∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( 3 ,2 3 ).

[例 2]已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 命题意图:本题重点考查方程的根的分布问题,属★★★★级题目. 知识依托: 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意 义. 错解分析:用二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是解答本 题的难点. 技巧与方法:设出二次方程对应的函数,可画出相应 的示意图,然后用函数性质加以限制. 解:(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交 点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图,得
1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ?m ? R , ? ? ?? 1 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? , ? 2 ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ? ? ?m ? ? 5 ? 6 ?

∴? ?m?? .
? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组 ? ? ? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 ?

5 6

1 2

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1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ? m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ? ? 1 ? m ? 0. ?

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通过)

●锦囊妙计 1.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法: y=ax2+bx+c; y=a(x-x1)(x-x2); y=a(x-x0)2+n. (2)当 a>0, f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0=
b <p, 则 f(p)=m,f(q)=M; 2a b b 若 p≤- <x0,则 f(- )=m,f(q)=M; 2a 2a b b 若 x0≤- <q,则 f(p)=M,f(- )=m; 2a 2a b 若- ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m. 2a

1 (p+q). 2

若-

2.二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件. (1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0;
? ? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? b ? r, (2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ? ?? ? 2a ?a ? f ( r ) ? 0 ?

?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? p ? ? b ? q, ? (3)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ?a ? f ( q ) ? 0, ? ?a ? f ( p ) ? 0; ?

(4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.
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(5)方程 f(x)=0 两根的一根大于 p,另一根小于 q(p<q) ? ?

?a ? f ( p ) ? 0 . ?a ? f ( q ) ? 0

3.二次不等式转化策略 (1)二次不等式 f(x)=ax2+bx+c≤0 的解集是:(-∞,α ] )∪[β ,+∞ ) ? a<0 且 f(α )=f(β )=0; (2)当 a>0 时,f(α )<f(β ) ? |α + +
b b | > |β + |; 2a 2a b b |<|β + |,当 a<0 时,f(α )<f(β ) ? |α 2a 2a

●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的 取值范围是( A.(-∞,2 ] ) B. [ -2,2 ] C.(-2,2 ] D.(-∞,-2)

2.(★★★★)设二次函数 f(x)=x2-x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m-1)的值为( A.正数 C.非负数 B.负数 D.正数、负数和零都有可能

)

二、填空题 3.(★★★★★)已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,若在区间[-1, 1]内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_________.

4.(★★★★★)二次函数 f(x)的二次项系数为正,且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2-x),若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则 x 的取值范围是_________.

三、解答题 5.(★★★★★)已知实数 t 满足关系式 log a
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t y ? log a 3 (a>0 且 a≠1) 3 a a

(1)令 t=ax,求 y=f(x)的表达式; (2)若 x∈(0,2 ] 时,y 有最小值 8,求 a 和 x 的值.

6.(★★★★)如果二次函数 y=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一 个在原点的右侧,试求 m 的取值范围.

7.(★★★★★)二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、 r 满足 q、 其中 m>0,求证: (1)pf(
m )<0; m ?1

p q r ? ? =0, m ? 2 m ?1 m

(2)方程 f(x)=0 在(0,1)内恒有解.

8.(★★★★)一个小服装厂生产某种风衣,月销售量 x(件)与售价 P(元/件)之 间的关系为 P=160-2x,生产 x 件的成本 R=500+30x 元. (1)该厂的月产量多大时,月获得的利润不少于 1300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?

参考答案 难点磁场 解:由条件知Δ ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴- ≤a≤2
3 2 3 9 1 25 ∴a=- 时,xmin= ,a= 时,xmax= . 2 4 2 4 9 25 ∴ ≤x≤ . 4 4 3 1 (2)当 1≤a≤2 时,x=a2+3a+2=(a+ )2- 2 4 3 2

(1)当- ≤a<1 时,原方程化为:x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a- )2+

1 2

25 . 4

∴当 a=1 时,xmin=6,当 a=2 时,xmax=12,∴6≤x≤12. 综上所述, ≤x≤12.
9 4

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歼灭难点训练 一、1.解析:当 a-2=0 即 a=2 时,不等式为-4<0,恒成立.∴a=2,当 a-2≠0 时,则 a 满足 ? 答案:C 2.解析:∵f(x)=x2-x+a 的对称轴为 x= ,且 f(1)>0,则 f(0)>0,而 f(m)<0,∴m ∈(0,1), ∴m-1<0,∴f(m-1)>0. 答案:A 二、3.解析:只需 f(1)=-2p2-3p+9>0 或 f(-1)=-2p2+p+1>0 即-3<p< 或- <p<1.∴p∈(-3, 答案:(-3, ) 4.解析:由 f(2+x)=f(2-x)知 x=2 为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标 较小, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴-2<x<0. 答案:-2<x<0 三、5.解:(1)由 loga t3 ? log t y3 得 logat-3=logty-3logta
a a
?a ? 2 ? 0 ,解得-2<a<2,所以 a 的范围是-2<a≤2. ?? ? 0

1 2

3 2

1 2

3 ). 2

3 2

由 t=ax 知 x=logat,代入上式得 x-3= ∴logay=x2-3x+3,即 y=a x
3 2
2

log a y 3 ? ,? x x

?3 x ? 3

(x≠0).

(2)令 u=x2-3x+3=(x- )2+

3 (x≠0),则 y=au 4

①若 0<a<1,要使 y=au 有最小值 8, 则 u=(x- )2+ 在(0,2 ] 上应有最大值,但 u 在(0,2 ] 上不存在最大值. ②若 a>1,要使 y=au 有最小值 8,则 u=(x- )2+ ,x∈(0,2 ] 应有最小值
3 3 ∴当 x= 时,umin= ,ymin= a 4 2 4
3

3 2

3 4

3 2

3 4

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3

由 a 4 =8 得 a=16.∴所求 a=16,x= 6.解:∵f(0)=1>0

3 . 2

(1)当 m<0 时,二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧,符合题 意. (2)当 m>0 时,则 ? 3 ? m
?? ? 0 ?

? m ?0 ?

解得 0<m≤1

综上所述,m 的取值范围是{m|m≤1 且 m≠0}. 7.证明:(1) pf (
? pm[

m m 2 m ) ? p[ p( ) ? q( ) ? r] m ?1 m ?1 m ?1

pm q r pm p ? ? ] ? pm[ ? ] 2 2 m ?1 m m?2 ( m ? 1) ( m ? 1) m( m ? 2) ? ( m ? 1) 2 ] ( m ? 1) 2 ( m ? 2)

? p 2 m[

? pm 2

m ?1 ,由于 f(x)是二次函数,故 p≠0,又 m>0,所以,pf( ) 2 m ?1 ( m ? 1) ( m ? 2)

<0. (2)由题意,得 f(0)=r,f(1)=p+q+r ①当 p<0 时,由(1)知 f( 若 r>0,则 f(0)>0,又 f(
m )<0 m ?1

m m )<0,所以 f(x)=0 在(0, )内有解; m ?1 m ?1 p r p r 若 r≤0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(- ? )+r= ? >0, m?2 m m?2 m m m 又 f( )<0,所以 f(x)=0 在( ,1)内有解. m ?1 m ?1

②当 p<0 时同理可证. 8.解:(1)设该厂的月获利为 y,依题意得? y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500 由 y≥1300 知-2x2+130x-500≥1300 ∴x2-65x+900≤0,∴(x-20)(x-45)≤0,解得 20≤x≤45 ∴当月产量在 20~45 件之间时,月获利不少于 1300 元.

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(2)由(1)知 y=-2x2+130x-500=-2(x-

65 2 ) +1612.5 2

∵x 为正整数,∴x=32 或 33 时,y 取得最大值为 1612 元, ∴当月产量为 32 件或 33 件时,可获得最大利润 1612 元.

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