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2017《教与学》中考全程复习导练第26课 几何作图



近三年浙江中考试题分布
热门考点 2016年 2015年 2014年

1. 尺规作图 2.作三角形 3.作圆 4.作圆内接 正方形和 正六边形

湖州T13,4分 台州T7,4分 衢州T18,6分 丽水T9,3分

杭州T21,10分 台州T24,14分 衢州T7,3分 丽水T19,6分 嘉兴、舟山T9,4分

杭州T20,10分 温州T18,8分 绍兴T14,5分 湖州T8,3分 衢州、丽水T7,3分

考点一 尺规作图
考点清单
1.在几何作图中,我们把用没有刻度的直尺和圆规作图, 简称尺规作图. 2.五种基本作图:

(1)作一条线段等于已知线段. 作法: ①作射线 AB . ②用圆规在射线 AB 上截取 AC=a, 则线段 AC 就是所 求作的线段,如图 26?1 所示. 作一条线段等于已知线段是作有关线段的基础, 利用它 可以作出已知线段的和、差、倍等线段.

图 26?1

(2)作一个角等于已知角. 作法: ①作射线 O′A′. ②以点 O 为圆心,适当长为半径画弧交 OA 于点 C 交 OB 于点 D. ③以点 O′为圆心,OC 长为半径画弧交 O′A′于点 C′. ④以点 C′为圆心,CD 长为半径画弧交前弧于点 D′. ⑤过点 D′作射线 O′B′,则∠A′O′B′就是所求作的角, 如图 262 所示.

图 262

(3)作一个角的平分线. 作法: ①以点 O 为圆心,适当长为半径画弧,分别交 OA, OB 于点 D,E. 1 ②分别以点 D,E 为圆心,大于 DE 的长为半径作弧, 2 两弧在∠AOB 内交于点 C. ③作射线 OC,则 OC 就是∠AOB 的平分线,如图 263 所示.

图 26-3

(4)作线段的垂直平分线. 作法: 1 ①分别以点 A,B 为圆心,大于 AB 的 2 长为半径作弧,两弧相交于点 C,D. ②作直线 CD, 则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线,如图 264 所示.

(5)过定点作已知直线的垂线. 过定点作已知直线的垂线, 不论点在已知直线上还是在 已知直线外,都可以利用线段垂直平分线的作法作出.

要点点拨
尺规作图的关键: (1)先分析题目,读懂题意,判断题目要求作什么. (2)读懂题意后,再运用几种基本作图方法解决问题. (3)作图时,要保留作图痕迹,作完后不要忘记写结论.
特别关注

注意尺规作图的工具是没有刻度的直尺和圆

规,不能用刻度尺去作线段或用量角器去作角 .

【典例 1】 (2016· 浙江衢州)如图 265,已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线. (1)用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平 分线, 分别交 AD, BC 于点 E, F(保 留作图痕迹,不写作法和证明). (2)连结 BE,DF,则四边形 BEDF 是 什么四边形?请说明理由.

【点评】 本题主要考查基本尺规作图、矩形的性质以及 菱形的判定,熟练掌握线段垂直平分线的作法是解题的关 键.

【解析】

(1)如解图所示,直线 EF 即为所求.

(典例 1 解)

(2)四边形 BEDF 是菱形.理由如下: ∵EF 垂直平分 BD,∴BE=DE,∠DEF=∠BEF. ∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE, ∴∠BEF=∠BFE,∴BE=BF. 同时,BF=DF,∴BE=ED=DF=BF, ∴四边形 BEDF 为菱形.

考点二 作三角形
要点点拨
三角形的三种基本作图: (1)已知两边及夹角,作一个三角形. (2)已知两角及夹边,作一个三角形. (3)已知三边,作一个三角形.
特别关注 求作一个三角形,其实质是依据三角形全等

的判定定理来进行的.

【典例 2】 (2015· 浙江杭州)“综合与实践”学习活动准备 制作一组三角形,记这些三角形的三边分别为 a,b, c, 并且这些三角形三边的长度为大于 1 且小于 5 的整 数个单位长度. (1)用(a,b,c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形,如 (2,3,3)表示边长分别为 2,3,3 个单位长度的一 个三角形.请列举出所有满足条件的三角形. (2)用直尺和圆规作出三边满足 a<b<c 的三角形(用图 266 给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).
图 266

【点评】 本题主要考查三角形的三边关系及作三角形, 注意弄清问题中对所作图形的要求.

【解析】 (1)(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3, 4),(2,4,4),(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4), (4,4,4).
(2)由(1)可知,只有(2,3,4),即 a=2,b=3,c=4 时满 足 a<b<c. 如解图所示,△ ABC 即为所求.

(典例 2 解)

考点三 作圆
要点点拨
1.过一个点可以作无数个圆;经过两点也可以作无数个 圆,且这些圆的圆心在连结这两点的垂直平分线上; 过不在同一直线上的三个点只能作一个圆.

2.过不在同一直线上的三点确定圆(即三角形的外接圆) 的作法:①作这三点所组成线段中的任意两条线段的 垂直平分线,两条线段的垂直平分线的交点即为所求 作圆的圆心;②将这个圆心和任何一个已知点连结起 来的线段就是圆的半径,再画圆即可.

3.三角形的内切圆的作法:先作出三角形的两条内角平 分线,以两条内角平分线的交点为圆心,以这一点到 一边的距离为半径作圆,即可得到三角形的内切圆.
特别关注 在作图题中,如果没有明确要求用尺规作图,

那么也可以用三角尺等作图工具作图.

【典例 3】 (2016· 山东青岛)如图 26-7,已知:线段 a 及 ∠ACB. 求作:⊙O,使⊙O 在∠ACB 的内部,CO=a,且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切.

图 26-7

【点评】 本题主要考查用直尺和圆规作角的内切圆,熟 悉作图步骤是解题的关键.

【解析】 作法: ①作∠ACB 的平分线 CD. ②在 CD 上截取 CO=a. ③过点 O 作 OE⊥CA 于点 E, 以点 O 为圆心, OE 长为半 径作圆. 如解图所示,⊙O 即为所求.

(典例 3 解)

考点四 作圆内接正方形和正六边形
要点点拨
1.圆内接正方形的作法:①任意作一条直径 AB,作 AB 的垂直平分线交圆于 C, D 两点; ②依次连结 AC, CB, BD,DA.所得的四边形 ACBD 就是所求作的圆内接正 方形. 2.圆内接正六边形的作法:①在圆上任取一点 A.从点 A 开始,以圆的半径为半径,在圆上依次截取点 B,C, D,E,F;②依次连结 AB,BC,CD,DE,EF,FA. 所得的六边形 ABCDEF 就是所求作的圆内接正六边 形.

特别关注

注意:利用尺规作图不能任意等分圆 .

【典例 4】 (2016· 湖南模拟)如图 268, 已知⊙O,求作⊙O 的内接正六边形 ABCDEF(要求尺规作图,不写作法, 保留作图痕迹).

【点评】 本题主要考查作圆内接正六边形, 熟悉作图步骤是解题的关键. 【解析】 如解图所示.

(典例 4 解)

本课考点的考查一般以基础题为主,几种基本作图经 常结合起来考查,而本课的难点也在于此.作图问题不是 在任何已知条件下都能作出图形的,要分清问题有一个 解、多个解还是没有解,注意分类讨论思想的运用.

【例 1】 (2015· 浙江衢州)数学课上, 老师 让学生尺规作图画 Rt△ ABC,使其斜 边 AB=c,一条直角边 BC=a.小明的 作法如图 269 所示.这种作法中,判 断∠ACB 是直角的依据是 ( ) A. 勾股定理 B. 直径所对的圆周角是直角 C. 勾股定理的逆定理 D. 90° 的圆周角所对的弦是直径

【解析】 小明的作法是: ①取 AB=c,作 AB 的垂直平分线交 AB 于点 O. ②以点 O 为圆心,OB 长为半径画圆. ③以点 B 为圆心,a 为半径画弧,与⊙O 交于点 C. ④连结 BC,AC. 则 Rt△ ABC 即为所求. 从以上作法可知,判断∠ACB 是直角的依据是:直径所 对的圆周角是直角.

【答案】 B

【例 2】 (2016· 浙江丽水)用直尺和圆规作 Rt△ ABC 斜边 AB 上的高线 CD,下列图中,作法错误 的是 ( ) ..

【解析】 A.如解图①,连结 AE,EF,CF.∵CA=CF, EA=EF, ∴CE 垂直平分 AF,∴CD⊥AB,故本选项作法正确. B.易知∠BDC=90° ,∴CD⊥AB,故本选项作法正确. C.如解图②,连结 AE, BE.∵AC=AE,BC=BE, ∴AB 垂直平分 CE, ∴CD⊥AB,故本选项作 法正确. D. 无法证明 CD⊥AB, 故 本选项作法错误.

【答案】 D

【例 3】 (2016· 台湾)如图 2610,在矩 形 ABCD 中,E 为线段 AB 的中点, 有一圆过 C,D,E 三点,且此圆分 别与线段 AD,BC 相交于 P,Q 两 点. 甲、 乙两人想找到此圆的圆心 O, 其作法如下: 甲:作∠DEC 的角平分线 l,作线段 DE 的中垂线交 l 于点 O,则点 O 即为所求. 乙:连结 PC,QD 交于点 O,则点 O 即为所求. 对于甲、乙两人的作法,下列判断中正确的是 ( A. 两人皆正确 B. 两人皆错误 C. 甲正确,乙错误 D. 甲错误,乙正确

)

提 示

根据线段垂直平分线的性质判断甲,根据 90°

的圆周角所对的弦是直径判断乙.
【解析】 甲:∵ED=EC,∴△DEC 为等腰三角形. ∵l 是∠DEC 的平分线,∴l 为线段 CD 的中垂线, ∴O 为两中垂线的交点,即点 O 为△ CDE 的外心, ∴点 O 为此圆的圆心. 乙:∵∠ADC=90° ,∠DCB=90° , ∴PC,QD 都为此圆的直径, ∴PC 与 QD 的交点 O 即为圆心. 综上所述,两人的作法皆正确. 【答案】 A

【例 4】 (2014· 江苏无锡)(1)如图 2611①,在 Rt△ ABC 中,∠B =90° ,AB=2BC,现以点 C 为圆心,CB 长为半径画弧交边 AC 于点 D, 再以点 A 为圆心, AD 为半径画弧交边 AB 于点 E.求证: 5- 1 5-1 AE AB= 2 (这个比值 2 叫作 AE 与 AB 的黄金比). (2)如果一个等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比,那么这个 等腰三角形就叫作黄金三角形.请你以图 2611②中的线段 AB 为腰,用直尺和圆规,作一个黄金三角形 ABC(注:直尺 没有刻度,作图不要求写作法,但要求保留作图痕迹,并对 作图中涉及的点用字母进行标注).

图 2611

【解析】 (1)在 Rt△ ABC 中,∵AB=2BC,∴可设 BC =x,则 AB=2x. 又∵∠B=90° ,∴AC= AB2+BC2= 5x, ∴AE=AD=AC-CD=AC-BC=( 5-1)x, 5-1 AE ( 5-1)x ∴AB= = . 2x 2

(2)如解图所示,△ ABC 即为所求作的黄金三角形.

( 例 4 解)

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