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2014届理科数学一轮复习训练题:古典概率与几何概型



2014 届理科数学一轮复习训练题:古典概率与几何概型
一、选择题 1 .从 1,2,3,4 四个数中,任取两个数,则所取两数之一是 2 的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 3 4 2 3 2 . 某艺校在一天的 5 节课中随机安排语文、 数学、 外语三门文化课和其他两门艺术课各 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概率为

( ) 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 3 .在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C,以 AC.BC 的长为邻边作一个矩形,则该矩形的面积 小于 32cm2 的概率为 ( ) 4 2 1 1 A. B. C. D. 5 3 3 6 1 4 .在区间 [?1,1] 上随机取一个数 x ,使 2 x2 的值介于 0 到 之间的概率为 ( ) 2 1 1 1 2 A. B. C. D. 3 4 2 3 ?x 1 5 .在区间[-1,1]上随机取一个数 x, cos 的值介于 0 到 之间的概率为 ( ) 2 2 A.
1 3

B.

2 ?

C.

1 2

D.

2 3

6 .从四棱锥 S—ABCD 的八条棱中任取两条,其中抽到两条棱成异面直线的概率为 1 1 2 4 A. B. C. D. 7 2 7 7





7 . 已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P,使△APB 的最大边是 AB”发生的概率为 . ,
AD =____ ( ) AB 3 7 1 1 A. B. C. D. 2 4 2 4 8 .集合 A={2,3},B={1,2,3}, 从 A,B 中各取任意一个数 , 则这两数之和等于 4 的概率是 ( ) 2 1 1 1 A. B. C. D. 3 3 2 6 9 .如图所示,在边长为 l 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为

1 2




1 A. 3 1 B. 4 1 C. 5 1 D. 6



10.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 0—9 中任选一个,某人在银行自动提款 机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,如果他记得密码的最后一位是偶数,则他不超过 2 次就按对的概率是 ( ) 4 3 2 1 A. B. C. D. 5` 5 5 5 11.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人 ,这五人被录用的机会均等 , 则甲或乙被录用的概率为 ( ) 2 2 3 9 A. B. C. D. 3 5 5 10 12.从 1, 2,3, 4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题 13. 盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之 积为偶数的概率是___________(结果用最简分数表示) 14.利用计算机产生 0 ~ 1 之间的均匀随机数 a ,则事件“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为_______ 15.从集合 ?1, 2,3, 4,5? 中随机选取 3 个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______. 16.在区间 ? 0, 4? 内随机取两个数 a、b,则使得函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 2 有零点的概率为_______. 17. 如图所示,墙上挂有一块边长为 2 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶 点为圆心,半径为 1 的扇形,某人向此木板投镖,假设每次击中木板,且击中木板上每一个 点处的可能性都一样,则击中阴影部分的概率为_________.

18.在区间 [?1,1] 上任取两数 m 和 n,则关于 x 的方程 x 2 ? mx ? n 2 ? 0 有两不相等实根的概率为 ___________. 19.从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的机会相等),则 2 名都是女同学的概率 等于_________. 20.利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a,则事件“ 3a ? 1 ? 0 ”发生的概率为________ 2 21.已知 ? = {(x,y)|x+ y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y>0,x-y ≥0},若向区域 ? 上随机 投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率是________. 22. 盒中有 1 个黑球和 9 个白球,它们除颜色不同外,其它方面没有什么差别,现由 10 个人依次 摸出 1 个球,设第一个人摸出的 1 个球是黑球的概率为 P1 ,第十个人摸出黑球的概率是 P 10 , 则 P1 与 P 10 的大小关系是_________________. 23. 盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为 偶数的概率是_______(结果用最简分数表示). 24.若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为____________. 25.袋中有 3 个白球,2 个黑球,从中任意摸出 2 个,则至少摸出 1 个黑球的概率是________. 26.在区间 [?2, 4] 上随机地取一个数 x,若 x 满足 | x | ? m 的概率为 ,则 m ? __________.
5 6

27.如图,长方形的四个顶点为 O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4),曲线 y ? ax 2 经过点 B.现将一 质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中阴影区域的概率是______

28.从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是________. ?0 ? x ? 1 29.设不等式组 ? 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点 ?0 ? y ? 2 的距离大于的概率是_________. 三、解答题 30.现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答.试求: (I)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (II)所取的 2 道题不是同一类题的概率

31.一个盒子里装有 7 张卡片, 其中有红色卡片 4 张, 编号分别为 1, 2, 3, 4; 白色卡片 3 张, 编号 分别为 2, 3, 4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的 4 张卡片中, 含有编号为 3 的卡片的概率. (Ⅱ) 再取出的 4 张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X 的分布列和数学 期望.

2014 届理科数学一轮复习试题:古典概率与几何概型参考答案 一、选择题 1. C 2. A 3. B 4. C 5. 【解析】:在区间[-1,1]上随机取一个数 x,即 x ?[?1,1] 时, ? 区间长度为 1, 而 cos 答案:C 6. C 7. D 8. C 9. B 10. 【答案】C
1 4 ?1 1 只按一次就按对的概率是 .按两次就按对的概率是 ? ,所以不超过 2 次就按对的概 5 5? 4 5 1 1 2 率是 ? ? ,选 C. 5 5 5 11. D 12. 【答案】B 二、填空题 C 2 13 13.解:9 个数 5 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为 1 ? 52 ? . C9 18 1 14. 3 2 15. 【答案】 5 从集合 ?1, 2, 3, 4, 5 ? 中随机选取 3 个不同的数有 C53 ? 10 种 . 则 3 个数能构成等差数列的

?
2

?

?x
2

?

?
2

, ∴ 0 ? cos

?x
2

?1

?x
2

的值介于 0 到

1 1 1 之间的区间长度为 ,所以概率为 .故选 C 2 2 2

有, 1, 2,3; 2,3, 4;3, 4,5;1,3,5; 有 4 种,所以这个数可以构成等差数列的概率为 16. 【答案】
1 4

4 2 ? . 10 5 ?0 ? a ? 4 函数有零点,则 ? ? a 2 ? 4b 2 ? 0 ,即 (a ? 2b)(a ? 2b) ? 0 .又 ? ,做出对 ?0 ? b ? 4

的平面区域为 , 当 a ? 4 时 , b ? 2 , 即 三 角 形 OBC 的 面 积 为 1 4 1 ? 4 ? 2 ? 4 ,所以由几何概型可知函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 2 有零点的概率为 ? . 2 4? 4 4

17. 1 ?

?
4

18. 【答案】

1 由题意知 ?1 ? m ? 1, ?1 ? n ? 1. 要使方程 x 2 ? mx ? n 2 ? 0 有两不相等实根,则 4 ? =m 2 ? 4n 2 ? 0 , 即 (m ? 2n)(m ? 2n) ? 0 . 作 出 对 应 的 可 行 域 , 如 图 直 线 1 1 1 1 1 1 m ? 2n ? 0 , m ? 2n ? 0 ,当 m ? 1 时, nC ? , nB ? ? ,所以 S ?OBC ? ?1? [ ? (? )] ? ,所以 2 2 2 2 2 2 1 2? 2S 2 ?1. 方程 x 2 ? mx ? n 2 ? 0 有两不相等实根的概率为 ?OBC ? 2? 2 4 4

19. 20. 21. 22. 23.

1 5
2 3 8 27 P 1 ? P 10 5 7

2 . 3 25. [解析] 从总体 5 个球中任取 2 个球的方法有 10 种,其中至少摸出 1 个黑球可用排除法, 7 即两球都是白球的方法有 3 种,所以至少摸出 1 个黑球的方法有 7 种,故 P= .[ 10 26. 3 因为区间 [?2, 4] 的长度为 6,不等式 | x | ? m 的解区间为[-m,m] ,其区间长度为 2m. 那

24.

么在区间 [?2, 4] 上随机地取一个数 x,要使 x 满足 | x | ? m 的概率为 ,m 将区间 [?2, 4] 分为 [-2,m]和[m,4] ,且两区间的长度比为 5:1,所以 m=3. 27. 【答案】
2 3

5 6

【解析】 因为 B(2,4)在曲线 y ? ax 2 上,所以 4 ? 4a ,解得 a ? 1 ,所以曲线方程为 y ? x 2 ,因为 2 1 3 2 8 8 16 2 ?0 x dx ? 3 x 0 ? 3 ,所以阴影部分的面积为 8 ? 3 ? 3 ,所以质点落在图中阴影区域的概率

16 2 是 3 ? . 2? 4 3 1 28. . 5 ? 29. 1 ? 8 三、解答题 30.解:(Ⅰ)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道一类题依次编号为 5.6,任取 2 道题,基本事 件 为 :{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4 ,5},{4,6},{5,6},共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表 示 “ 都 是 甲 类 题 ” 这 一 事 件 , 则 A 包 含 的 基 本 事 件 有 6 2 ? . {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共 6 个,所以 P(A)= 15 5

(Ⅱ) 基 本 事 件 向 (I), 用 B 表 示 “ 不 是 同 一 类 题 ” 这 一 事 件 , 则 B 包 含 的 基 本 事 件 有 8 {1,5},{1,6},{2,5},{2,6},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},共 8 个,所以 P(B)= 15 . 31.解析; (Ⅰ)设“取出的 4 张卡片中,含有编号为 3 的卡片“为事件 A,则
= (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4 = =
X P 1

= =
2 3 4

EX=1× +2× +3×



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