9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.3.2 两点间距离教案



张喜林制

§3.3.2 两点间的距离

【教学目标】 1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题. 2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性. 3.体会事物之间的内在联系,能用代数方法解决几何问题. 【重点难点】 教学重点:①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系. 教学难点:如何根据具体情况

建立适当的直角坐标系来解决问题. 【教学过程】 一、导入新课、展示目标 问题 已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离 |P1P2|? 二、检查预习、交流展示 核对课前预习中的答案。1、 (1,0) ;2、1 并说出自己的疑惑处。

三、合作探究、精讲精练 探究一 平面内两点间的距离公式 问题 (1)如果 A、B 是 x 轴上两点,C、D 是 y 轴上两点,它们的坐标分别是 xA、xB、 yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求? (2)求 B(3,4)到原点的距离. (3)设 A(x1,y1),B(x2, y2),求|AB|. 教师 ① 如果 A、B 是 x 轴上两点,C、D 是 y 轴上两点,它们坐标分别是 xA、xB、yC、 yD,那么|AB|、|CD|怎样求? ② 求点 B(3,4)到原点的距离. ③ 已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④ 同学们已知道两点的距离公式,请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 学生 回答 ① |AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|. ② 通过画简图,发现一个 Rt△ BMO,应用勾股定理得到点 B 到原点的距离是 5. ③

图1 在直角坐标系中,已知两 点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),如图 1,从 P1、
1 / 10

P2 分别向 x 轴和 y 轴作垂线 P1M1、P1N1 和 P2M2、P2N2,垂足分别为 M1(x1,0)、N1(0,y1)、 M2(x2,0)、N2(0,y2),其中直线 P1N1 和 P2M2 相交于点 Q. 在 Rt△ P1QP2 中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2. 因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|, 所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.
2 2 由此得到两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )

教师 ④(a)我们先计算在 x 轴和 y 轴两点间的距离. (b)又问了 B(3,4)到原点的距离,发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式. (d)最后求平面上任意两点间的距离公式. 这种由特殊到一般,由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证 明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用! 应用示例 例 1 如图 2,有一线段的长度是 13,它的一个端点是 A(-4,8),另一个端点 B 的纵坐 标是 3,求这个端点的横坐标. 图2

解:设 B(x,3),根据|AB|=13, 即(x+4)2+(3-8)2=132,解得 x=8 或 x=-16. 点评:学生先找点,有可能找不全,丢掉点,而用代数 解比较全面.也可以引至到 A(-4,8)点距离等于 13 的点的轨迹(或集合)是以 A 点为圆心、13 为半径的圆上与 y=3 的交点,应交出两个点. 变式训练 1 课本 106 页练习第一题 例2 已知点 A(-1,2),B(2, 7 ),在 x 轴上求一点,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
2 2

解:设所求点 P(x,0),于是有 ( x ? 1) ? (0 ? 2) ? 由|PA|=|PB|,得 x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1.
2 2 即所求点为 P(1,0),且|PA|= (1 ? 1) ? (0 ? 2) =2 2 .

( x ? 2) 2 ? (0 ? 7 ) 2 .

点评:引导学生熟练设点及应用距离公式。 变式训练 2 课本 106 页 练习第二题. 探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题

例 3 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 解析:首先要建立适当的坐标系,用坐标表示有关量,然后进行代数运算,最后把代数 运算的结果“翻译”成几何关系。
2 / 10

这一道题可以让学生讨论解决,让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中归 纳出应用 代数问题解决几何问题的基本步骤。 证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标系, 有A(0,0)。 设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c),因 为

所以, AB ? CD ? AD ? BC ? 2 a ? b ? c
2 2

2

2

2

2

?

2

?

AC

2

? BD ? 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? ,
2

所以,

AB ? CD ? AD ? BC

2

2

2

2

? AC

2

? BD

2

因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 点评 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下: 第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。 第二步:进行有关代数运算。 第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。 思考:同学们是否还有其它的解决办法? 还可用综合几何的方法证明这道题。 变 式 训 练 : 已 知 0 < x < 1,0 < y < 1, 求 使 不 等 式

x 2 ? y 2 ? x 2 ? (1 ? y ) 2 ? (1 ? x) 2 ? y 2 ? (1 ? x) 2 ? (1 ? y ) 2 ≥2 2 中的等号成立的条件.
解析:此题需要学生将不等式转化为平面内两点间的距离问题来研究。数形结合。 答案:x =y=

1 2

点评:强调数形结合,转化划归来解决问题。建立适当的直角坐标系,来解决问题很有 必要。 当堂检测 导学案当堂检测 课堂小结 通过本节学习,要求大家:
3 / 10

①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程; ②能灵活运用此公式解决一些简单问题; ③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题. 【板书设计】 一、两点间距离公式 二、例题 例1 变式 1 例2 变式 2 例3 变式 3 【作业布置】 课本习题 3.3 必做题 A 组 6、7、8; 选做题 B 组 6. 及 导学案课后练习与提高

§ 3.3.2 两点间的距离

课前预习学案

一、预习目标
1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题. 2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性. 3.体会事物之间的内在联系, ,能用代数方法解决几何问题.

二、预习内容
(一)巩固所学 1.直线 mx ? y ? m ? 0 ,无论 m 取任意实数,它都过点

.

2 . 若
2a1 ? b1 ?

? 1 与 直 线 l2 : a x ? 1 的 交 点 为 ( 2? , 直 线 l1 : a x 1 ?b y1 2 ? b y2

1 ,) 则

.

(二)探索新知,提出疑惑 预习教材 P104~ P106,找出疑惑之处 三.提出疑惑
4 / 10

同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

并回答下列问题:

1.已知平面上两点 P ( 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ,则|P1P2| = 特殊地: P( x, y ) 与原点的距离为 |P1P2|= ( 2.特别地,当 P1P2 平行于 x 轴时,|P1P2|= ( 当 P1P2 平行于 y 轴时,|P1P2|=( )

). ). ) ;

课内探究学案 一、学习目标 1.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题. 2.通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性. 3.体会事物之间的内在联系, ,能用代数方法解决几何问题. 学习重点:①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系. 学习难点:如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 二、学习过程 问题 已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离 |P1P2|?

探究一 平面内两点间的距离公式 问题 (1)如果 A、B 是 x 轴上两点,C、D 是 y 轴上两点,它们的坐标分别是 xA、xB、 yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求? (2)求 B(3,4)到原点的距离. (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|. (4)同学们已知道两点的距离公式,请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程)
2 2 得到两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )

例1

如图 2,有一线段的长度是 13,它的一个端点是 A(-4,8),另一个端点 B 的纵坐
5 / 10

标是 3,求这个端点的横坐标. 图2

变式训练 1 课本 106 页练习第一题

例2

已知点 A(-1,2),B(2, 7 ),在 x 轴上求一点,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

变式训练 2 课本 106 页练习第二题.

探究二 建立适当的坐标系应用代数问题解决几何问题

例 3 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.

上述解决问题的基本步骤学生归纳如下:

思考:同学们是否还有其它的解决办法? 还可用综合几何的方法证明这道题。 变 式 训 练 : 已 知 0 < x < 1,0 < y < 1, 求 使 不 等 式

x 2 ? y 2 ? x 2 ? (1 ? y ) 2 ? (1 ? x) 2 ? y 2 ? (1 ? x) 2 ? (1 ? y ) 2 ≥2 2 中的等号成立的条件.

6 / 10

学习小结 1.坐标法的步骤:①建立适当的平面直角坐标系,用坐标表示有关的量;②进行有关的 代数运算;③把代数运算结果“翻译”成几何关系. 当堂检测 1.在 x 轴上求一点 P,使 P 点到 A(-4,3)和 B(2,6)两点的距离相等. 2.求在数轴上,与两点 A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标. 3.已知三点 A(3,2)、B(0,5)、C(4,6),则△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 4.以 A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的△ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

参考答案 1. 解:设点 P 坐标为(x,0),由 P 点到 A(-4,3)和 B(2,6)两点的距离相等及两点间的距离 公式,可得 x=

3 3 ,即点 P 坐标为( ,0). 4 4 5 ,0)或(0,5). 3

2.答案:(

3.解:由两点间的距离公式,可得|AB|= 18 ≠|BC|=|CA|= 17 ,故选 C. 答案:C 4.答案:C

课后巩固练习与提高 1.点 M(x, ?

xy )、N(y, xy )之间的距离为(

)

A.|x+y| B.x+y C.|x-y| D.x-y 2.光线从点 A(-3,5)射到 x 轴上,经反射以后经过点 B(2,10),则光线从 A 到 B 的距离 为( ) A. 5 2 B. 2 5 C. 5 10 D. 10 5

3.已知 A(3,-1)、B(5,-2),点 P 在直线 x+y=0 上,若使|PA|+|PB|取最小值,则 P 点坐标是( )
7 / 10

A.(1,-1) B.(-1,1) C.() D.(-2,2) 4.已知 A(1,3)、B(5,-2),点 P 在 x 轴上,则使|AP|-|BP|取最大值的点 P 的坐标 是( ) A.(4,0) B.(13,0) C.(5,0) D.(1, 0) 5.已知 A(a,3)、B(3,3a+3)两点间的距离是 5,则 a 的值为_____________. 6.以 A(-1,1)、B(2,-1)、C(1,4)为顶点的三角形是______________三角形. 7.已知△ABC 的顶点坐标为 A(3,2),B(1,0),C(,),则 AB 边上的中线 CM 的长为 _____________________. 8.若 2a-b=3,求证:三点 A(-2,3)、B(3,a)、C(8 ,b)在一条直线上. 9.如图 3-3-3,△ ABD 和△ BCE 是在直线 AC 同侧的 两个等边三角形,试证明 AE=CD.

图 3-3-3 10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.

参考答案 1.思路解析: 思路解析:考查平面上两点间距离公式. MN= (x - y) ? (- xy - xy) ?
2 2

x 2 ? 2xy ? y 2 =|x+y|.

故选 A. 2. 思路解析:直接求本题较为麻烦,可以通过对称问题求解.A(-3,5)关于 x 轴的对称点 A′(-3,-5),则|A′B|即为所求,由两点间距离易求得|A′B|= 5 10 . 答案:C 3. 思路解析:点 A(3,-1)关于直线 x+y=0 的对称点为 A′(1,-3),连结 A′B 与直线 x+y=0 的交 点即为所求的点,直线 A′B 的方程为 y+3= 得 x=

?2?3 1 13 (x-1),即 y= x ? ,与 x+y=0 联立,解 5 ?1 4 4

13 13 ,y= ? . 5 5

答案:C 4. 思路解析:点 A(1,3)关于 x 轴的对称点为 A′(1,-3),连结 A′B 交 x 轴于点 P,
8 / 10

即为所求.直线 A′B 的方程是 y+3= 答案:B

?2?3 1 13 (x-1),即 y= x ? .令 y=0,得 x=13. 5 ?1 4 4

2 2 5. 思路解析:由两点间距离公式得|AB|= (a - 3) ? (3 - 3a - 3) ? 5 ,解之,可得 a=-1 或

8 . 5
答案:-1 或

8 5

6. 思路解析:本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断.目前,判断三角形 的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边, 主要是利用 平面上两点间的距离公式.
2 2 由两点间的距离公式可得|AB|= (2 ? 1) ? (-1 - 1) ? 13 .

同理可得|AC|= 13 ,|BC|= 26 . 所以|AB|=|AC|. 又 AB2+AC2=BC2=26,所以△ ABC 为等腰直角三角形. 答案:等腰直角 7. 答案: 思路解析:由中点公式得 AB 的中点的坐标为 M(2,1). 由两点间的距离公式,有|CM|= (2 ? 3 - 2) ? (1 - 3 - 1) ?
2 2

6.

∴ AB 边上的中线 CM 的长为 6 . 答案: 6

9 / 10

9.思路解析:本题是证明两线段的相等问题,可以通过坐标法来证,这就需要根据图形的特征 建立直角坐标系,得出相关点的坐标,通过两点间距离公式证明相 等. 解:以 B 为原点,AC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,设等边△ ABD 和△ BCE 的边长分别为 2a 和 2b,于是可得相关各点坐标:B(0,0),A(-2a,0),C(2b,0),D(-a, 3a ),E(b, 3b ),由两 点间的距离公式,则|AE|= (2a ? b) ? (0 - 3b) ?
2 2

4a 2 ? 4ab ? 4b 2 ,

|CD|= (2b ? a) ? (0 - 3a)
2

2

? 4a 2 ? 4ab ? b 2 ,所以|AE|=|CD|

10.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等. 思路解析:根据题意,可将问题用数学表达式写出:已知在等腰梯形 ABCD 中,CD∥ AB. 求证:对角线 AC=BD. 所以考虑建立适当的直角坐标系,得出相关点的坐标,利用两点间距离公式证明. 解:设等腰梯形 ABCD 中,AB∥ CD,并设其上、下底边长和高分别为 2a、2b 和c,建立如 图所示直角坐标系 ,以下底 AB 中点 O 为坐标原点,以线段 AB 的垂直平分线所在直线为 y 轴建系,在等腰梯形 ABCD 中,CD∥ AB.

可设 A(-a,0),B(a,0),D(-b,c),C(b,c),
2 2 则由两点间距离公式得|AC|= (b ? a) ? c , 2 2 |BD|= (-b - a) ? c ?

(a ? b) 2 ? c 2 ,∴ |AC|=|BD|,即等腰梯形两对角线长相等.

10 / 10



更多相关文章:
3.3.2两点间的距离(教学设计)
3.3.2 两点间的距离(教学设计) 教学目标 1.知识与技能 掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题。 2. 过程和方法 通过两点间距离公式的推导,能...
必修2教案3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离
必修2教案3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离_高二数学_数学_高中教育_教育专区。必修2教案3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离直线...
7.示范教案(3.3.2 两点间的距离)
7.示范教案(3.3.2 两点间距离)_数学_高中教育_教育专区。3.3.2 两点间距离 整体设计 教学分析 距离概念,在日常生活中经常遇到,学生在初中平面几何中已经...
3.3.1两条直线的交点坐标_3.3.2两点间的距离_教案(人教A版必修2)
3.3.1两条直线的交点坐标_3.3.2两点间距离_教案(人教A版必修2)_数学_高中教育_教育专区。3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间距离 ●三维目标...
3.3.1两条直线的交点坐标-3.3.2两点间的距离-教案(人教A版必修2)
3.3.1两条直线的交点坐标-3.3.2两点间距离-教案(人教A版必修2)_数学_高中教育_教育专区。3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间距离 ●三维目标...
3.3.2两点间的距离
3..3..。2 直线与直线之间的位置关系-两点间距离三维目标知识与技能:掌握直角...教学过程:一,情境设置,导入新课 课堂设问一: 回忆数轴上两点间的距离公式, ...
最新人教A版必修2高中数学 2.3.3.4两平行线间的距离教案
教学过程: 一、复习准备: 1、提问:两点间距离公式 2、点到直线的距离是什么?怎样正确运用这一公式? 3、讨论:两条平行直线间的距离怎样求? 、讲授新课: ...
【金识源】高中数学 3.3.4 两条平行直线间的距离教案 新人教A版必修2
【金识源】高中数学 3.3.4 两条平行直线间的距离教案 新人教A版必修2_数学_...思路 2.我们已学习了两点间距离公式,本节课我们来研究点到直线的距离.如图 ...
3.3直线的交点坐标与距离公式 教案
3.3直线的交点坐标与距离公式 教案_初二数学_数学_初中教育_教育专区。直线的交点...两点间距离 2011.08.22 必修二 3.3 直线的交点坐标与距离公式 第 2 页共...
更多相关标签:
3.3.2两点间的距离    两点间的距离教案    两点间距离公式教案    openlayers3 两点距离    已知两点a 1 2 b m 3    已知两点a 3 4 b 3 2    已知两点a 2 3 b 4 1    两点间距离公式    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图