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【数学】2.2.1 向量加法运算及其几何意义(人教A版必修4)2



第二章 平面向量

2.2

平面向量的线性运算

2.2.1 向量加法运算及其几何意义

问题提出

1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么?

2.用有向线段表示向量,向量的大小和 方向是如何反映的?什么叫零向量和单 位向量?

3.两个实数可以相加,从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面 上,那是没有多大意义的.我们希望两个 向量也能相加,拓展向量的数学意义, 提升向量的理论价值,这就需要建立相 关的原理和法则.

探究一:向量加法的几何运算法则
思考1:如图,某人从点A到点B,再从点B按 原方向到点C,则两次位移的和可用哪个向量 表示?由此可得什么结论?

AB ? BC ? AC

A

B

C

思考2:如图,某人从点A到点B,再从点B按 反方向到点C,则两次位移的和可用哪个向 量表示?由此可得什么结论?
AB ? BC ? AC
C A B

思考3:如图,某人从点A到点B,再从点 B改变方向到点C,则两次位移的和可用 哪个向量表示?由此可得什么结论?
C

AB ? BC ? AC

A

B

思考4:上述分析表明,两个向量可以相加, 并且两个向量的和还是一个向量.一般地, 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.上 述求两个向量和的方法,称为向量加法的三 角形法则.对于下列两个向量a与b,如何用 三角形法则求其和向量?
a a+ b C


a B



A

思考5:图1表示橡皮条在两个力F1和F2 的作用下,沿MC方向伸长了EO;图2表示 橡皮条在一个力F的作用下,沿相同方向 伸长了相同长度.从力学的观点分析,力 F与F1、F2之间的关系如何?
F1 M 图1 M EO C F2 F E O 图2 F1 F

F2

F=F1+F2

uuu r 思考6:人在河中游泳,人的游速为OA uu u r 水流速度为 O ,那么人在水中的实际 B uuu r uuu r uuu r 速度 OC 与 OA 、O B 之间的关系如何?
O

B

A

C

思考7:上述求两个向量和的方法,称为 向量加法的平行四边形法则.对于下列两 个向量a与b,如何用平行四边形法则求 其和向量?
a
B C



a+ b
O



a

A

思考8:用三角形法则和平行四边形法则 求作两个向量的和向量,其作图特点分 别如何?
三角形法则:首尾相接连端点; 平行四边形法则:起点相同连对角.

探究二:向量加法的代数运算性质
规定:a+0=0+a=a, 思考2:若向量a与b为相反向量,则a+b 等于什么?反之成立吗?

思考1:零向量0与任一向量a可以相加吗?

a与b 为相反向量

a+b=0

思考3:若向量a与b同向,则向量a+b的 方向如何?若向量a与b反向,则向量a+ b的方向如何?

思考4:考察下列各图,|a+b|与|a|+ |b|的大小关系如何?|a+b|与|a|-|b|的 大小关系如何? a
C
a

a+ b A




a+b


a
B
a+b

|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a与b同向时取 等号; |a+b|≥||a|-|b||,当且仅当a与b反向时取 等号.

思考5:实数的加法运算满足交换律,即 对任意a,b∈R,都有a+b=b+a.那么向 量的加法也满足交换律吗?如何检验?
B
a a+ b a C


O


A

uuu r a+b = OA + uuu r b+a = OB +

uuu r uuu r AC = OC uuu r uuu r BC = OC

思考6:实数的加法运算满足结合律, 即对任意a,b,c∈R,都有(a+b)+ c=a+(b+c).那么向量的加法也满足 C 结合律吗?如何检验?
a+b+c

c
B

O

a+b

uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r = (OA + A B ) + BC = OB + BC = OC

(a+b)+c

a
A



uuu r uuu r uuu r = OA + (A B + BC ) = OA + A C = OC

a+( b + c ) uuu r uuu r uuu r

uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An 思考7: 等于什么向量? uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r uuur OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An = OAn
uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r uuur OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An + AnO

等于什么向量?
uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r uuur r OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An + AnO = 0

理论迁移 例 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通 过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江 南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸 的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h. (1)使用向量表示江水速度、船速以及船 的实际航行的速度; (2)求船实际航行速度的大小与方向.
D C

A

A

B

小结作业
1.向量概念源于物理,位移的合成是向量 加法三角形法则的物理模型,力的合成是 向量加法平行四边形法则的物理模型. 2.任意多个向量可以相加,并可以按任意 次序、组合进行.若平移这些向量使其首 尾相接,则以第一个向量的起点为起点, 最后一个向量的终点为终点的向量,即为 这些向量的和.

3.两个向量的和的模不大于这两个向 量的模的和,这是一个不等式性质, 解题中具有一定的功能作用



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