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二次函数复习(第一课时)



直 挂 云 帆 济 沧 海

第一课时

长 风 破 浪 会 有 时

考点一: 一般地,如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0) ,那么y叫做x的二次函数. 1.结构特征:①等号左边是因变量,右边是关于 2 ;③二次 二 次式;②x的最高次数是_____ 自变量x的_____ ≠ 0. 项系数a ____

_
2.二次函数的三种基本形式:
2+bx+c(a≠0) y = ax 一般式: ____________________ ; y=a(x-h)2+k(a≠0) ,它直接显示二 顶点式: ____________________ (h,k) ; 次函数的顶点坐标是_______ y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) ,其中x1、x2 交点式:_______________________ 横坐标 。 是图象与x轴交点的_______

1.判断下列各式哪些是二次函数. (1 ) x 2 ? 2 x ? 3
2

(2 ) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 (4)y ? ?
1 2 x ? 2 ? ? ?3 2 2

(3 ) y ? x ? 2 x ? 3 1 x ? 2? ? 2 (5)y ? x ? (6 ) y?? ?3 x 2 2.写出下列函数的顶点坐标: (1) y ? x
2
2 2

(2 ) y ? x

2

?1
2

(3) y ? ? x ? 1?

(4)y ? ? x ? 5 ? ? 6

(5) y ? ?3? x ? 5? ? 6

考点二

二次函数的图象和性质

a?0
图 象
开口向上,开口大 小与 a 的大小有关。

a?0

开口向下, a 越大, 开口越小
? b 4ac ? b2 ? ,顶点坐标为 ? ? 2a , 4a ? ? ?
x?? b 2a

性 质

对称轴是直线
b 2a

x??

b 2a

在对称轴的左侧,y随x的增大而减小, 在对称轴的左侧,y随x的增大而增大, 在对称轴的右侧,y随x的增大而增大 在对称轴的右侧,y随x的增大而减小

最值:当 最小值

x??

y最小 ?

4ac ? b 4a

时,有 最值:当 2 最大值

y最小 ?

4ac ? b 4a

时,有 2

1.(2010· 金华)已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向下, 顶点坐标为(2,-3),那么该抛物线有( B ) A.最小值-3 B.最大值-3 C.最小值2 D.最大值2 2.(2011广东广州市,5)下列函数中,当x>0时y值随x 值增大而减小的是( A ). ?1 2 y ? 2x ? 1 C. y = x A.y = -x B. D. y ?
x

3. (2011江苏无锡,9,3分)下列二次函数中,图象 以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( C ) A.y = (x ? 2)2 + 1 B.y = (x + 2)2 + 1 C.y = (x ? 2)2 ? 3 D.y = (x + 2)2 ? 3

4. (2011山东烟台,10,4分)如图,平面直角坐标系 中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是 ( A ) A.m=n,k>h B.m=n ,k<h C.m>n,k=h D.m<n,k=h

考点三: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象特征与a、b、c及 b2 ? 4ac 的符号之间的关系:

左 同 右 异

1. (2011广东肇庆,10,3分)二次函数 y ? x ? 2 x ? 5 有( D ) A. 最大值 ? 5 B. 最小值 ? 5 C. 最大值 ? 6 D. 最小值 ? 6
2

2.(2010·济南)在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-1 与x轴的交点的个数是( B ) A.3 B.2 C.1 D.0

3. (2011湖南湘潭市,8,3分)在同一坐标系中,一 2 次函数 y ? ax ? 1 与二次函数 y ? x ? a 的图像可 能是( C )

4.(2010·福州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如 图所示,则下列结论正确的是( D ) A.a>0 B.c<0 C.b2-4ac<0 D.a+b+c>0
1

考点四:图像的平移

上 加 下 减 常 数 项

y ? ax
左、右

2

上、下

y ? ax2 ? k
左、右

y ? a ? x ? h?

2

上、下

y ? a ? x ? h? ? k
2

左 加 右 减 自 变 量

1.(2011山东滨州,7,3分)抛物线 y ? ? x ? 2 ? ? 3 可以 2 由抛物线 y ? x 平移得到,则下列平移过程正确的是( B ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
2

2. (2011四川乐山5,3分)将抛物线 y ? ? x 向左平 移2个单位后,得到的抛物线的解析式是( A )
2
2 y ? ? ( x ? 2) A. 2 y ? ? ( x ? 2) C.

2 y ? ? x ?2 B. 2 y ? ? x ?2 D.

3.(2010·兰州)抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移2 个单位,再向下平移3个单位,所得图象的解析式为 y=x2-2x-3,则b、c的值为( B ) A.b=2,c=2 B.b=2,c=0 C.b=-2,c=-1 D.b=-3,c=2

考点五:求顶点坐标
一般式: y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式: y=a(x-h)2+k(a≠0)

1.配方法. (注意:二次项系数不为1时要提出系数)

2.公式法. ? b 4ac ? b2 ? 牢记顶点坐标公式: ? ? 2a , 4a ? ? ? 3.先求顶点横坐标,再代入求纵坐标. b 先运用公式 x ? ? , 求出对称轴方程,即可知顶点横 2a 坐标,再代入表达式求出顶点纵坐标.

1. (2011上海,4,4分)抛物线y=-(x+2)2-3的顶点 坐标是( D ). (A) (2,-3); (B) (-2,3); (C) (2,3); (D) (-2,-3) .

2. (2011甘肃兰州,5,4分)抛物线 y ? 的顶点坐标是( A ). A.(1,0) B.(-1,0) C.(-2,1) D.(2,-1)

x ? 2x ? 1
2

3.求抛物线y=x2-4x-5的顶点坐标和对称轴。

4.求抛物线 y ? 3x 2 ? 6 x ? 12 的顶点坐标。

1. (2011江苏南京,24,7分)已知函数y=mx2-6x+1 (m是常数). ⑴求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的 一个定点; ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.

2.已知y=x2+(m2+4)x-2m2-12,求证,不论m取何实数图 象总与x轴有两个交点。

3.(2010·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象如图所示,有下列结论: ①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0. 其中,正确结论的个数是( D ) A.1 B.2 C.3 D.4

2

4. (2011黑龙江省哈尔滨市,24,6分)手工课上, 小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对 角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位:cm) 随其中一条对角线的长x(单位:cm)的变化而变化。 (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写 出自变量x的取值范围); (2)当x是多少时,菱形风筝面积S最大?最大面积 是多少?

5. (2011湖北武汉市,23,10分)(本题满分10分)星 光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其 中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙 长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边 的长为x米. (1)若平行于墙的一边的长为y米,直接写出y与x之间 的函数关系式及其自变量x的取值范围; (2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面 积最大,并求出这个最大值; (3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时,试结合函 数图像,直接写出x的取值范围.



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