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浙江省绍兴一中2014-2015学年第二学期高二期末考试数学试题(文)



绍兴一中 2014 学年第二学期期末考试 高二文科数学试卷
本试卷满分 100 分,考试时间 120 分钟 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)
2 1.全集 U ? R , A ? {x x ? 4}, B ? {x x ? 0} ,则 A∩B=(



A. {x x ? ?2} C. {x x ? 3}

r />
B. {x 2 ? x ? 3} D. {x x ? ?2或 2 ? x ? 3} )

2 2 2.已知 a,b 均为非零实数,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的(

A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ) D. b ? c ? a ) D.

3.若 a ? log2 3 , b ? log3 2 , c ? log4 6 ,则下列结论正确的是( A. b ? a ? c B. a ? b ? c C. c ? b ? a

4.若 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 4 ,则下列不等式恒成立的是( A.

1 1 ? ab 2

B. a ? b ? 8
2 2

C.
2

ab ? 2

1 1 ? ?1 a b

5.已知递减的等差数列 ?a n ?满足 a1 ? a9 ,则数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 取最大值时,
2

n =(
A.3

) B. 4 或 5

C.4

D.5 或 6
2 2

6.若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 平分圆 x ? y ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 的面积, 则

2 3 ? 的最小值为( a b

) C. 5 ? 2 6 D. 4 6

A. 10

B. 4 ? 2 6

7.如图,在△ ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 ,D 是 BC 的中点, 则 AD ? BC ? ( A.3 B.4 ) C.5 D.不能确定

8.已知双曲线 直线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,以 F1F2 为直径的圆被 a 2 b2


x y ? ? 1 截得的弦长为 6 a,则双曲线的离心率为( a b A.3 B.2 C. 3 D. 2
9 . 函 数 f ( x) ? s i nx 在 区 间 (0,2? ) 上 可 找 到

n 个 不 同 数 x1 , x 2 , ? , xn , 使 得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的最大值等于( ? ? ?? ? x1 x2 xn
A. 1 10.点集 ( x, y ) 的面积是( A. 12 ) B. 14 C. 16 D.18 B. 2 C. 4 D.6



?

| x | ?1 ? y ? 2 的图形是一条封闭的折线,这条封闭折线所围成的区域

?

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.已知集合 A ? ?1,2,4? , B ? ?a, 4? ,若 A ? B ? {1, 2,3, 4} ,则 A ? B ? 12.抛物线 y ? 4 x 上一点 M 到焦点的距离为 1 ,则点 M 到 x 轴的距离是
2

. . .

,| b | ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为 13.已知向量 a,b 满足 (a ? 2b) ? (a ? b) ? ?6 ,且 | a | ?1
14 . 方 程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0(a ? 1) 的 两 根 为 tan A, tan B , 且 A, B ? ( ?
2

? ?

, ) ,则 2 2

A? B tan ? 2
15.已知函数 f ( x) ? ? 则实数 a 的取值范围是



?? x 2 ? x ( x ? 0) ,对任意的 x ? [0,1] ,恒有 f ( x ? a) ? f ( x) 成立, 2 ? x ? x ( x ? 0)


三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 10 分) 已知公差不为零的等差数列 ?an ? , 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 6 , 且 a1 , a2 , a4 成等比数列, S n 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求{ an }的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn. Sn

17. (本小题满分 10 分) 在锐角 ?ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 且 2as i n B =3 b . (Ⅰ)求角 A 的大小;

(Ⅱ)当 a ? 2 时,求 ?ABC 面积的最大值.

18. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? a ? 3 , g ( x) ? m x ? 5 ? 2m . (Ⅰ)若 y ? f ( x) 在 [ ?1,1] 上存在零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 0 且 m ? 0 时,若对任意的 x1 ? [1,4] ,总存在 x2 ? [1,4] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 10 分) 已知 E ? 2,2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 上 一点,经过点 (2,0) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点(不同 于点 E ) ,直线 EA, EB 分别交直线 x ? ?2 于点 M , N . (Ⅰ)求抛物线方程及其焦点坐标; (Ⅱ) 已知 O 为原点, 求证:?MON 为定值并求出这个定值.

20. (本小题满分 10 分)对于定义域为 I 的函数 y ? f ? x ? ,如果存在区间 ? m, n? ? I ,同时 满足:① f ? x ? 在 ?m, n? 内是单调函数;②当定义域是 ?m, n? , f ? x ? 值域也是 ?m, n? ,则称

?m, n? 是函数 y ? f ? x? 的“好区间”.
o g (Ⅰ) 设 g ? x? ? l
并说明理由; (Ⅱ)已知函数 P ? x ? 的最大值.
a

?a

x

? 2 a ?l o ? g

a

, 判断 g ? x ? 是否存在 “好区间” , ? a3 ? a ?(其中 a ? 1 )
x

?t ?

2

? t ? x ?1 t2x

?t ? R, t ? 0? 有“好区间”?m, n? ,当 t 变化时,求 n ? m

2014 学年第二学期高二文科数学期末试卷
本试卷满分 100 分,考试时间 120 分钟 一、选择题 AADBB CBDBB

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 11.{4} 12.

15 16

13.

? 3

14.-2

15. {?1,0} ? [1,??)

三、解答题(本大题共 5 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 10 分) 已知公差不为零的等差数列 ?an ? , 满足 a1 ? a4 ? a7 ? 12 , 且 a2 , a6 , a18 成等比数列, S n 为 ?an ? 的前 n 项和. (I)求{ an }的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn. Sn

试题解答:(I) Q a1 ? a4 ? a7 ? 12

?3a4 ? 1 2 ? a4 ? 4

Q a2 , a6 , a18 成等比数列
? a2 a18 ? a6 2 ? (a4 ? 2d )(a4 ? 14d ) ? (a4 ? 2d ) 2
解得 d ? 1 或 d ? 0 (舍)

? an ? n
(II) bn ?

5分

1 2 1 1 ? 2 ? 2( ? ), an n ? n n n ?1
10 分

1 1 1 1 1 1 1 1 2n Tn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] ? 2(1 ? )? . 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n ?1

17. (本小题满分 10 分) 在锐角 ?ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 且 2as i n B =3 b , (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)当 a ? 2 时,求 ?ABC 面积的最大值. 试题解答: (Ⅰ)? 2a sin B = 3b ,

\ 2sin A sin B = 3 sin B ,

? sin B > 0 , \ 2sin A = 3
故 sin A ?

3 , 2
4分

因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 A ? 60? (Ⅱ)设角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 由题意知 a ? 2 , 由余弦定理得 4 = b2 + c2 - 2bc cos 60? = b2 + c2 - bc 又 b 2 ? c 2 ? bc ? 2bc ? bc ? bc ,

? bc ? 4

? S ?ABC ?

1 3 3 bc sin 60? ? bc ? ?4 ? 3, 2 4 4

当且且当 ?ABC 为等边三角形时取等号, 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 . 10 分

18. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? a ? 3 , g ( x) ? m x ? 5 ? 2m . (Ⅰ)若 y ? f ( x) 在 [ ?1,1] 上存在零点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 0 且 m ? 0 时,若对任意的 x1 ? [1,4] ,总存在 x2 ? [1,4] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 实数 m 的取值范围. 试题解答: (1) 在区间 上是减函数, 的对称轴是 ,

在 解得: (2)若对任意 的值域为函数 当 时

上存在零点,则必有: ,故实数 的取值范围为 ,使

,即



;………………(4 分) 成立,只需函数

,总存在

值域的子集.………………(5 分) , 的值域为 ,…………(6 分)

下面求



的值域,

19. (本小题满分 10 分)已知 E ? 2,2 ? 是抛物线 C : y 2 ? 2 px 上一点,经过点 (2,0) 的直线 l 与 抛物线 C 交于 A, B 两点(不同于点 E ) ,直线 EA, EB 分别交直线 x ? ?2 于点 M , N . (1)求抛物线方程及其焦点坐标; (2)已知 O 为原点,求证: ?MON 为定值,并求出这个定值.

试题解答: (Ⅰ)将 E ? 2,2? 代入 y 2 ? 2 px ,得 p ? 1 ,所以抛物线方程为 y 2 ? 2 x , 焦点坐标为 ( ,0)

1 2

2分

(Ⅱ)因为直线 l 不经过点 E ,所以直线 l 一定有斜率设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ,与抛物 线方程联立得到 ?

? y ? k ( x ? 2)
2 ? y ? 2x



消去 x ,得: ky 2 ? 2 y ? 4k ? 0 , 则由韦达定理得: y1 y2 ? ?4, y1 ? y2 ? 直线 AE 的方程为: y ? 2 ?

2 , k

2 y1 ? 2 ? x ? 2? ? 2 , ? x ? 2 ? ,即 y ? 2 y1 ? 2 y1 ?2 2

令 x ? ?2 ,得 yM ?

2 y1 ? 4 , y1 ? 2

同理可得: y N ?

2 y2 ? 4 , y2 ? 2 ???? ?4 ), ym

又 OM ? ( ?2, ym ), ON ? ( ?2,

???? ?

???? ? ???? 4[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] 2 y ? 4 2 y2 ? 4 ? 4? OM ? ON ? 4 ? yM y N ? 4 ? 1 ? [ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] y1 ? 2 y2 ? 2

4 ? 4) π k ? 0 。所以 OM ? ON ,即 ?MON 为定值 。 ?4? 4 2 4( ?4 ? ? 4) k 4( ?4 ?

10 分

20. (本小题满分 10 分)对于定义域为 I 的函数 y ? f ? x ? ,如果存在区间 ? m, n? ? I ,同时 满足: ① f ? x ? 在 ?m, n? 内是单调函数; ②当定义域是 ?m, n? , f ? x ? 值域也是 ?m, n? , 则称 ?m, n? 是 函数 y ? f ? x ? 的“好区间”.

o g (Ⅰ) 设 g ? x? ? l
并说明理由;

a

?a

x

? 2 a ?l o ? g

a

, 判断 g ? x ? 是否存在 “好区间” , ? a3 ? a ?(其中 a ? 1 )
x

(2)已知函数 P ? x ? 的最大值.

?t ?

2

? t ? x ?1 t2x

?t ? R, t ? 0? 有“好区间”?m, n? ,当 t 变化时,求 n ? m

? a x ? 2a ? 0 ? 试题解答: (1)由 ? x ? a x ? 3a .??????????????1 分 a ? 3 a ? 0 ? ?
①当 a ? 1 时, x ? log a (3a) ,此时定义域 D ? (loga (3a), ??) , ?x1 , x2 ? D , x1 ? x2 ,

? a x1 ? a x2 ,? 0 ? a x1 ? 2a ? a x2 ? 2a , 0 ? a x1 ? 3a ? a x2 ? 3a ,

?loga (a x1 ? 2a) ? loga (a x2 ? 2a) , loga (a x1 ? 3a) ? loga (a x2 ? 3a) ,

? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,
? g ( x) 在 D ? (loga (3a), ??) 内是增函数;
3分

? g (m) ? m ? g ( x) 存在“好区间” ?m, n? ? ?m, n ? D(m ? n) , ? ? g (n) ? n

? 关于 x 的方程 f ( x) ? x 在定义域 D 内有两个不等的实数根.
即 (a ? 2a)(a ? 3a) ? a 在定义域 D 内有两个不等的实数根.(*)
x x x

设 t ? a ,则(*) ? (t ? 2a)(t ? 3a) ? t ,
x

即 t 2 ? (5a ? 1)t ? 6a2 ? 0 在 (3a, ??) 内有两个不等的实数根,

? a ? 0, a ? 1, ? ? ? (5a ? 1) 2 ? 24a 2 ? 0 ? ? 设 p(t ) ? t 2 ? (5a ? 1)t ? 6a 2 ,则 ? 5a ? 1 无解. ? 2 ? 3a, ? 2 2 ? ? p (3a ) ? 9a ? (5a ? 1)3a ? 6a ? 0
所以函数 g ? x ? 不存在“好区间”. ??????????????6 分 (2)由题设,函数 P ? x ?

?t ?

2

? t ? x ?1 t2x

?t ? R, t ? 0? 有“好区间” ?m, n? ,

在 ?m, n? 上单调递增, ?[m, n] ? (??, 0) 或 [m, n] ? (0, ??) ,函数 P ? x ? ? t ? 1 ? 1 t t2x

? p(m) ? m 2 2 2 ,所以 m, n 是方程 p( x) ? x ,即方程 t x ? ? t ? t ? x ? 1 ? 0 有同号的相异实数 ?? ? p(n) ? n
根.

? mn ?

1 ? 0 , m, n 同号,?? ? (t 2 ? t )2 ? 4t 2 ? 0 ? t ? 1 或 t ? ?3 . 2 t

1 1 4 ? n ? m ? (n ? m)2 ? 4mn ? ?3( ? )2 ? , t ? (??, ?3) ? (1, ??) . t 3 3
当 t ? 3 , n ? m 取得最大值

2 3 .??????????????10 分 3



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