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2.4.1二次函数的图像课件(北师大版必修1)



§4

二次函数性质的再研究
4.1 二次函数的图像

学习目标
1.理解二次函数y ? a( x ? h) 2 ? ( k a ? 0)中的参数 a, h, k的作用
2.会用配方法把二次函数y=ax 2 ? bx ? c(a ? 0)化成 y ? a ( x ? h) 2 ? ( k a ? 0)的形式<

br />3.理解y=ax2与y=a(x+h)2+k(a≠0)及y=ax2+bx+c的 图像之间的关系.

问题导引
填表
函数 开口方向 对称轴 顶点坐标

y ? ( x ? 2)2 ? 3
y ? ?2( x ? 4)2 ? 5 y ? a( x ? h) ? k
2

向上
向下
a >0时,向上 a <0时,向下

x ? ?2

(?2, ?3)
(4, 5)

x?4

x ? ?h

( ? h, k )

思考:

(1)y =x 和y ? ax(a ? 0)的图像之间有什么
2 2

关系?
(2)y =ax 2和y ? a( x ? h) 2 +( k a ? 0)的图像之间 有什么关系?

(3)y =ax 和y ? ax +bx ? ( c a ? 0)的图像之间
2 2

有什么关系?

在同一个坐标系下画出下列函数图像

(1)y ? x

2

(2)y ?2x2
1 2 (3)y ? x 2

(4)y ? -2x2

列表

x
x 2 2x
1 2 x 2
2

? ? ? ?

-3 9 18
9 2

-2 4 8 2

-1 1 2
1 2

0 0 0 0 0

1 1 2
1 2

2 4 8 2 -8

3 9 18
9 2

? ? ? ?

?2 x 2 ?

-18 -8

-2

-2

-18 ?

y ? x2与y ? 2 x2的图像

1 2 y ? x 与y ? x 的图像 2
2

y ? x 与y ? ?2x 的图像
2 2

抽象概括
1.二次函数

y ? ax (a ? 0) 的图像可由 y ? x2 的图
2

像各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到
2.a决定了图像的开口方向:a>0开口向上,a<0开口向下 3.a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小: |a|越小,图像开口就越大

一 下列二次函数图像开口,按从小到大的顺序排列为 (4),(2),(3),(1) ________________

1 2 (1) f ( x) ? ? x 4

1 2 (2) f ( x) ? x 2

1 2 (3) f ( x) ? x 3

(4) f ( x) ? ?3x2

y ? 3x ,y ? 3( x ? 1) , y ? 3x ? 2和 y ? 3( x ? 1) ? 2
2

2

2

2

四个函数图像之间的关系,进行了怎样的平移而得到?

y=3x2+2
y

x=1

y=3(x-1)2+2

y=3x2

2 o 1

y=3(x-1)2
x

对称轴:y轴

开口方向:向上
顶点:(0,0)

2 y ? 3 x 函数 的图像

向右平移1个单位

h=1>0
函数 y ? 3( x ? 1) 的图像
2

向上平移2个单位 k=2>0

对称轴:y轴

开口方向:向上
顶点: (0,2)

函数 y ? 3x 2 ? 2 的图像

对称轴:x=1
开口方向:向上

向上平移2个单位 k=2>0
对称轴:x=1 开口方向:向上

顶点:(1,0)

向右平移1个单位 h=1>0

函数 y ? 3( x ? 1) 2 ? 2 的图像

顶点:(1,2)

抽象概括
对于二次函数 y

? a ( x ? h) ? k
2

(a≠0)的图像

1.a决定了二次函数图像的开口大小及方向
2.h决定了二次函数图像的左右平移 “ h正左移,h负右移”

3.k决定了二次函数图像的上下平移 “k 正上移,k负下移”

3、小结
作函数图像的步骤:将函数一般式转 化为顶点式,即将 y ? ax2 ? bx ? c 2 转化为 y ? a( x ? h) ? k 形式,再作 图。

对二次函数y=a(x-h)2+k (a?0)的研究
(1)a决定了二次函数图像的开口方向和大小(但 这节课只讨论了方向);而且“a为正开口向上,a 为负开口向下”; (2)h决定了二次函数图像的左右平移,而且“h为 正右移,h为负左移”; (3)k决定了二次函数图像的上下平移;而且“k为 正上移,k为负下移”。

二次函数y=a(x-h)? +k与y=ax? 的关系
y=ax? +k (a≠0)
a>0时开口向上

y=ax? (a≠0)

a<0时开口向下 k>0时向上平移 k<0时向下平移 h>0时向右平移 h<0时向左平移

y=a(x-h)? +k (a≠0)

y=a(x-h)? (a≠0)
(意图:对该节课所学内容对于概括,理清思路。)



将二次函数 y

? 3x 2的图像平行移动,顶点移到(-3,2),

2 y ? 3( x ? 3) ?2 则它的解析式为____________

例1.二次函数f(x)与 g(x)的图像开口大 小相同,开口方向也相同,已知函数g(x) 的解析式和f(x) 图像的顶点,写出函数

f(x)的表达式

(1)函数g(x) ? x ,f (x)图像的顶点是(4, ?7);
2

(2)函数g(x) ? ?2(x ? 1) ,f (x)图像的顶点是(?3,2).
2

解 : 如果二次函数的图像与y ? ax 的图像开口大
2

小相同, 开口方向也相同, 顶点坐标是(?h, k), 则其 解析式为y ? a (x ? h) ? k.
2

(1)因为f (x)与g(x) ? x 的图像开口大小相同,
2

开口方向也相同, f(x)图像的顶点是(4, ?7), 所以 f (x) ? (x ? 4) ? 7 ? x ? 8x ? 9
2 2

(2)因为f (x)与g(x) ? ?2(x ? 1) 的图像开口大小
2

相同, 开口方向也相同,g(x) ? ?2(x ? 1) 又与y ? ?2x 的图像开口大小相同, 开口方向也相同,所以f (x)与
2 2

y ? ?2x 的图像开口大小也相同, 开口方向也相同. 又因为f (x)图像的顶点坐标是(?3, 2), 所以
2

f (x) ? ?2(x ? 3) ? 2 ? ?2x ? 12x ? 16.
2 2

思考:

1 .y ? x ? 8x ?12由y ? x 如何变换得到?
2 2

解析:y ? x ? 8x ?12 ? (x ? 4) ? 4
2 2

故由y ? x 向右平移4个单位,再向
2

下平移4个单位得到

2.y ? 2x 2 ? 8x ? 12由y ? 2x 2如何变换得到?

解析:y ? 2x 2 ? 8x ? 12 ? ( 2 x 2 ? 4x) ? 12 ?( 2 x ? 4x ? 4 ? 4) ? 12 ? 2(x ? 2) ? 4
2 2

故应由y ? 2x 向右平移2个单位,再向
2

上平移4个单位得到

1.把下列二次函数配方:
3 4 2 4 f ( x) ? ( x ? ) ? 4 3 3 2.由 y ? 3( x ? 2)2 ? 5 的图像经过怎样的平移变换,
可以得到

(1)f (x) ? 3 ? 5x ? 2x 2 ; 3 2 (2)f (x) ? x ? 2x. 4

5 49 f ( x) ? ?2( x ? ) 2 ? 4 8

y ? 3x 2 的图像.

右移2单位,下移5单位

3.把函数

y ? x 2 ? 3x 的图像向右平移2个单位,再向下

平移3个单位所得图像对应的函数解析式为__________ .

y ? (x ? 2)2 ? 3(x ? 2) ? 3 ? x 2 ? 7x ? 7

1.二次函数y ? a(x ? h) 2 ? k(a ? 0)中的参数 a, h, k的作用

2.y=ax 2 (a ? 0)与y ? a(x ? h)2 ? k(a ? 0)的图像 变换规律

在科学上进步而道义上落后的人,不是前
进,而是后退。 ——亚里士多德



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