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高二数学必修五综合测试(二)



必修五综合测试(二)
一、选择题 1.已知 Sn 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 3S3 ? a4 ? 2 , 3S 2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? 2.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? A. 90
0

A.3

B.4

C

.5

D.6 D. 150 D.无解
0

B. 60

0

C. 120

0

3.在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, A ? 45? ,则此三角形解的情况是 A.一解 B.两解 C.一解或两解 4.关于 x 的不等式 ax+b>0 的解集是{x∣x>2},则关于 x 的不等式 集为 A.{x∣-2<x<-1 或 x>3} C.{x∣-1<x<2 或 x>3} 5.若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集 ? ?x | ?
2

ax ? b >0 的解 x ? 2x ? 3
2

B.{x∣-3<x<-2 或 x>1} D.{x∣x<-1 或 2<x<3}

?

A.-10

B.-14
2

1 1? ? x ? ? 则 a-b 值是 2 3? C.10

D.14 D.121 D.21

6.设数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n ? 1 , a1 ? a3 ? ? ? a15 ? A.124 B.120 C.128 7.已知 a ? 0, b ? 0, 且 2a ? 8b ? ab ? 0 ,则 a ? b 的最小值为 A.18 B.19 C.20 8.两个等差数列 {an } 和 {bn } ,其前 n 项和分别为 S n , Tn ,且

S n 7n ? 2 a ? a 20 等于 ? ,则 2 Tn n?3 b7 ? b15 9 37 79 149 A. B. C. D. 4 8 14 24 9.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成
立,则 a 的取值范围为

3 1 1 3 ?a? D. ? ? a ? 2 2 2 2 2 2 10. 在△ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若 a ? b ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B ,
A. ?1 ? a ? 1 B. 0 ? a ? 2 C. ? 则 A= A. 30
0

B. 60
o

0

C. 120

0

D. 150

0
o

11.为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30 , 测得塔基 B 的俯角为 45 ,那么塔 AB 的高度是

3 3 )m )m B. 20(1 ? C. 20(1 ? 3 ) m D. 30 m 3 2 12.锐角 ?ABC 中, A ? 2 B ,则下列叙述正确的是 3B C ? ? a tan ? 1 ,③ ? B ? , ④ ? [ 2 , 3 ] ① sin 3B ? sin C , ② tan 2 2 6 4 b
A. 20(1 ? A. ①② B. ①②③
必修五综合测试(二)

C. ③④
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D. ①④

二、填空题:

? x ? ?1 ? 13.已知实数 x、y 满足约束条件 ? y ? 0 ,则 ( x ? 2)2 ? y 2 的最小值为______. ?x ? y ? 1 ? 1 14.设 f ? x ? ? x .利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得 2 ? 2 的值为_____________. f ? ?5? ? f ? ? 4 f ? 5 ? ? ? ?f? 0 ? ? ? ? ?f ?6
15 .若不等式 x2 ? 2x ? a ? ? y 2 ? 2 y 对任意实数 x , y 都成立,则实数 a 的取值范围是 _______________ . 16.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继 续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60° 方向,另一灯塔在船的南偏西 75° 方向,则这 只船的速度是每小时________. 三、解答题: 17.已知数列 {an } 满足, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an? 2 ?

an ? an?1 , n? N* 2

(Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项 an .

18.在 ?ABC 中,角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c ,已知 c ? 2, C ? (Ⅰ)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

?
3



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19.数列 {an } 满足 a1 ? 1, (Ⅰ)求证: ?

1 1 ? ? 1, (n ? N *) . 2an?1 2an

?1? ? 是等差数列; ? an ?
? an an ?1 ? 16 ,求 n 的取值范围. 33

(Ⅱ)若 a1a2 ? a2 a3 ?

20.某企业生产 A,B 两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表: 产品品种 劳动力(个) 煤(吨) 电(千瓦) 3 9 4 A 产品 10 4 5 B 产品 已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元,生产每吨 B 产品的利润是 12 万元,现因条件限制, 该企业仅有劳动力 300 个,煤 360 吨,并且供电局只能供电 200 千瓦,试问该企业如何安排 生产,才能获得最大利润?

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21.在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 (b 2 ? c 2 ? a 2 ) tan A ? 3bc. (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值.

22.已知 ?an ? 是等差数列,前 n 项和是 Sn ,且 a2 ? a7 ? 9 , S6 ? 7a3 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? an ? 2n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)令 Cn ? an ? an? 2 ,求数列 ?

?1 ? ? 的前 n 项和 Gn . ? Cn ?

必修五综合测试(二)参考答案
一、选择题 BCBCA DADDA AB 13.

9 ; 2

14. 3 2 ; 15. ? 2 , ? ?? ; 16.10 海里

解析:如图,依题意有∠BAC=60° ,∠BAD=75° ,所以∠CAD=∠CDA=15° ,从而 CD =CA=10,在 Rt△ABC 中,可得 AB=5,于是这只船 的速度是

5 =10(海里/小时). 0.5

答案:10 海里 三、解答题: 17. (Ⅰ)证明:因为 an?2 ?

an? 2 ? an?1 ?

an ? an?1 , n ? N * ,所以 2 1 1 ? ? (an?1 ? an ) ,即 bn?1 ? ? bn , b1 ? a2 ? a1 ? 1 ,所以 {bn } 是以1 为首项, 2 2
6分
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1 为公比的等比数列. 2

? 1? (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 bn ? an?1 ? an ? ? - ? , ? 2? 所以 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? (an ? an?1 )
? 1? 1? ? ? ? n ?1 5 2? 1? 2? ? 1? ? ? ? ?? ? 3 3? 2? ? 1? 1? ? ? ? ? 2?
n ?1

n?1

5 2? 1? . 12 分 a1 ? 1 适合上式,所以 an ? ? ? ? ? ( n ? N * ) 3 3? 2? 1 ? 18 . 解 : ( Ⅰ ) ? ?ABC 的 面 积 等 于 3 , ? ab sin ? 3 , 由 余 弦 定 理 得 2 3 2 2 2 1 a ?b ?2 cosC ? ? ,两式联立可得 a ? b ? 2 . 5分 2 2ab (Ⅱ)? A ? B ? C ? ? ? sin C ? sin( A ? B) ,又 sin C ? sin(B ? A) ? 2 sin 2 A ,
化简可得 sin B ? 2 sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,由余弦定理 cosC ? 上述两式联立可得 a ?

n?1

1 a 2 ? b 2 ? 22 ? , 2 2ab

2 3 4 3 , ,b? 3 3 1 ? 2 3 由三角形面积公式 S ?ABC ? ab sin ? . 12 分 2 3 3 1 1 1 1 1 1 19. 解: (Ⅰ) 由 首项 ? 1 , ? ? 1 可得: ? ? 2 所以数列 { } 是等差数列, an?1 an 2an?1 2an an a1 公差 d ? 2 . 1 1 ∴ ? ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . an a1 1 ∴ an ? . 2n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ), (Ⅱ)∵ an an ?1 ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ∴ a1a2 ? a2 a3 ? ? an an ?1 ? ( ? ? ? ? ? 2 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2 n ? 1 n 16 * ? ∴ 解得 n ? 16 ,解得 n 的取值范围 {n | n ? 16, n ? N } . 2n ? 1 33

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20.解:设生产 A,B 两种产品分别为 x 吨,y 吨,利润为 z 3x+10y≤300, ? ?9x+4y≤360, 万元, 依题意, 得? 4x+5y≤200, ? ?x≥0,y≥0.

目标函数为 z=7x+12y.

作出可行域,如图阴影所示. 当直线 7x+12y=0 向右上方平行移动时,经过 M(20,24) 时 z 取最大值. ∴ 该企业生产 A,B 两种产品分别为 20 吨和 24 吨时,才能获得最大利润. 21.解: (Ⅰ)由已知得

b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2
1 3 bc sin A ? bc . 2 4

又在锐角△ABC 中,所以 A=60° . (Ⅱ)因为 a=2,A=60° 所以 b 2 ? c 2 ? bc ? 4, S ?
2 2 由 b ? c ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4 .

1 3 3 bc sin A ? bc ? ?4 ? 3 . 2 4 4 所以△ABC 面积 S 的最大值等于 3 .
又S ? 22.解: (Ⅰ) ?

?a2 ? a7 ? 9 , ?2a1 ? 7d ? 9 , 即? 解得 a1 ? d ? 1 ,所以, an ? n . ?6a1 ? 15d ? 7a1 ? 14d , ? S6 ? 7a3 ,

(Ⅱ)bn= an· 2n =n· 2n. 2 3 Tn =1· 2+2· 2 +3· 2 +…+n· 2n . 2 3 2Tn = l· 2 +2· 2 +· · · +(n-1)· 2n+n· 2n+1.

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 . ∴-Tn=1· 2+2 +2 +…+2 -n· 2 = 1? 2
2 3 n n+1

∴ Tn=(n-1)· 2n+1+2. (Ⅲ)Cn=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + +…+ = [1- + - + - +…+ ] 3 2 4 3 5 n n?2 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 2

1 1 1 1 3n 2 ? 5n = (1+ )= . 2 2 n ? 1 n ? 2 4(n 2 ? 3n ? 2)

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