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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布课时作业75 理



课时作业 75

离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、选择题 1.若随机变量 ξ 的分布列如下表,则 E(ξ )的值为( ξ 0 2x 1 3x 2 7x 3 2x 1 B. 9 9 D. 20 4 3x ) 5

P
A. C. 1 18 20 9

x

1

解析: 根据概率和为 1 求出 x= , E(ξ )=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x 18 20 =40x= . 9 答案:C 2.若 X~B(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为( A.3×2 C.3×2
-2

)

B.2 D.2

-4

-10

-8

1 1 ?1? 1 解析:∵E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,∴p= ,n=12,则 P(X=1)=C12× ×? ? 2 2 ?2?
11

=3×2

-10

.

答案:C 3.已知随机变量 X+Y=8,若 X~B(10,0.6),则 E(Y),D(Y)分别是( A.6 和 2.4 C.2 和 5.6 B.2 和 2.4 D.6 和 5.6 )

解析: 由已知随机变量 X+Y=8, 所以有 Y=8-X.因此, 求得 E(Y)=8-E(X)=8-10×0.6 =2,D(Y)=(-1) D(X)=10×0.6×0.4=2.4. 答案:B 4.已知随机变量 X 服从正态分布 N(μ ,σ ),且 P(μ -2σ <X≤μ +2σ )=0.954 4,
2 2

P(μ -σ <X≤μ +σ )=0.682 6,若 μ =4,σ =1,则 P(5<X<6)=(
A.0.135 8 C.0.271 6 B.0.135 9 D.0.271 8

)

1

1 0.954 4-0.682 6 解析:由题意知,P(5<X<6)= [P(2<X≤6)-P(3<X≤5)]= =0.135 9. 2 2 故选 B. 答案:B 5.

如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体.经过搅拌 后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( A. C. 126 125 168 125
3

)

6 B. 5 7 D. 5

3 27 9×6 54 3×12 36 8 解析: P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= , 125 125 125 125 125 125 125

E(X)=

54 36 8 150 6 ×1+ ×2+ ×3= = .故选 B. 125 125 125 125 5

答案:B 6.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒 需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 C.300 B.200 D.400 )

解析:记“不发芽的种子数为 ξ ”,则 ξ ~B(1 000,0.1), 所以 E(ξ )=1 000×0.1=100,而 X=2ξ , 故 E(X)=E(2ξ )=2E(ξ )=200. 答案:B 二、填空题 7.已知随机变量 X~N(2,σ ),若 P(X<a)=0.32,则 P(a≤X<4-a)=________.
2

2

解析:由正态分布图象的对称性可得:P(a≤X<4-a)=1-2P(X<a)=0.36. 答案:0.36 8.某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖且相应获奖概率是以 a1 为首项,公比为 2 的等比数列,相应奖金是以 700 元为首项,公差为-140 元的等差数列,则参与该游戏获得 奖金的期望为________元. 1 1 2 4 解析:∵a1+2a1+4a1=1,∴a1= ,E(ξ )= ×700+ ×560+ ×420=500(元). 7 7 7 7 答案:500 9.某高校进行自主招生面试时的程序如下:共设 3 道题,每道题答对给 10 分,答错倒 3 扣 5 分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某学生对每道题答对的概率为 ,则该学生在 4 面试时得分的期望为________. 解析:由题得,该学生有可能答对 0,1,2,3 道,所以得分可能为-15,0,15,30.根据独立 试验同时发生的概率计算公式可得,得分可能为-15,0,15,30 对应的概率分别为 3?3?3?0 3?2?3?1 3?1?3?2 3?0?3?3 1 9 27 27 3? 2? 1? 0? C3?1- ? ? ? ,C3?1- ? ? ? ,C3?1- ? ? ? ,C3?1- ? ? ? ,即为 , , , .所以 64 64 64 64 ? 4? ?4? ? 4? ?4? ? 4? ?4? ? 4? ?4? 1 9 27 27 75 期望为(-15)× +0× +15× +30× = . 64 64 64 64 4 75 答案: 4 三、解答题 10.某篮球队与其他 6 支篮球队依次进行 6 场比赛,每场均决出胜负,设这支篮球队与 1 其他篮球队比赛胜场的事件是独立的,并且胜场的概率是 . 3 (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率; (2)求这支篮球队在 6 场比赛中恰好胜了 3 场的概率; (3)求这支篮球队在 6 场比赛中胜场数的均值和方差.

? 1?2 1 4 解:(1)P=?1- ? × = . ? 3? 3 27

3

4 所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为 . 27 (2)6 场胜 3 场的情况有 C6种, 1?3 1 8 160 3?1?3? ∴P=C6? ? ?1- ? =20× × = . 3 3 27 27 729 ? ?? ? 160 所以这支篮球队在 6 场比赛中恰胜 3 场的概率为 . 729
3

? 1? (3)由于 X 服从二项分布,即 X~B?6, ?, ? 3?
1 1 ? 1? 4 ∴E(X)=6× =2,D(X)=6× ×?1- ?= . 3 3 ? 3? 3 4 所以在 6 场比赛中这支篮球队胜场的均值为 2,方差为 . 3 11.某单位举行一次全体职工的象棋比赛(实行三局两胜制),甲、乙两人进入决赛. 已知甲、乙两人平时进行过多次对弈,其中记录了 30 局的对弈结果如下表: 甲先 甲胜 乙胜 10 5 乙先 9 6

根据表中的信息,预测在下列条件下的比赛结果: (1)在比赛时由掷硬币的方式决定谁先,试求甲在第一局获胜的概率; (2)若第一局由乙先,以后每局由负者先. ①求甲以二比一获胜的概率; ②若胜一局得 2 分,负一局得 0 分,用 ξ 表示甲在这场比赛中所得的分数,试求 ξ 的 分布列与数学期望 E(ξ ). 2 1 解:根据题中表格的信息可知,若甲先,则甲获胜的概率是 ,乙获胜的概率是 ;若乙 3 3 3 2 先,则甲获胜的概率是 ,乙获胜的概率是 . 5 5 1 2 1 3 19 (1)甲在第一局获胜的概率是 P1= × + × = . 2 3 2 5 30 (2)①若甲以二比一获胜,则甲胜第一局和第三局,或甲胜第二局和第三局. 所以,甲以二比一获胜的概率是

P2= × × + × × = .
②由题意知,ξ 的所有可能取值为 0,2,4,则

3 5

2 2 2 2 5 3 5 3

3 5

8 25

P(ξ =0)= × = ;

2 1 5 3

2 15

4

P(ξ =2)= × × + × × = ; P(ξ =4)= × + = .
所以 ξ 的分布列为 ξ 0 2 15 232 . 75 2 14 75 4 17 25 3 3 5 5 8 17 25 25

3 2 5 5

1 2 3 5

2 2 14 3 5 75

P E(ξ )=0× +2× +4× =
2 15 14 75 17 25

1.等差数列 x1,x2,x3,?,x9 的公差为 1,随机变量 ξ 等可能的取值 x1,x2,x3,?,

x9,则方差 D(ξ )为(
A. C. 10 3 10 9

) 20 B. 3 20 D. 9

19 1 2 2 2 解析:x1,x2,?,x9 公差为 1,则平均值为 x5,方差 D(ξ )= ? (xi-x5) = ×(4 +3 9i=1 9 1 20 2 +2 +1)×2= ×60= ,选 B. 9 3 答案:B 2. (2014·浙江卷)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球, 乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3,

n≥3),从乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中.
(a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ξ i(i=1,2); (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2). 则( )

A.p1>p2,E(ξ 1)<E(ξ 2) B.p1<p2,E(ξ 1)>E(ξ 2) C.p1>p2,E(ξ 1)>E(ξ 2) D.p1<p2,E(ξ 1)<E(ξ 2) 解析:列出随机变量 ξ 1,ξ 2 的分布列,计算期望值并比较大小;利用分步计数原理计 算 p1,p2 并比较大小. 随机变量 ξ 1,ξ 2 的分布列如下:
5

ξ

1

1

2

P

n m+n

m m+n

ξ

2

1 Cn 2 Cm+n
2

2 CmCn 2 Cm+n
1 1

3 Cm 2 Cm+n
2

P

所以 E(ξ 1)=
2

n 2m 2m+n + = , m+n m+n m+n
1 1 2

Cn 2CmCn 3Cm 3m+n E(ξ 2)= 2 + 2 + 2 = , Cm+n Cm+n Cm+n m+n 所以 E(ξ 1)<E(ξ 2). 因为 p1=
2

m
1 1

m+n



1 2m+n · = , m+n 2 2?m+n?
2

n

p2=

Cm CmCn 2 Cn 1 3m+n + 2 · + 2 · = , 2 Cm+n Cm+n 3 Cm+n 3 3?m+n? >0,所以 p1>p2. 6?m+n?

p1-p2=
答案:A

n

3.一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球,假设每一个球被摸到的可能性是相等的.从袋 子中摸出 2 个球,其中白球的个数为 ξ ,则 ξ 的数学期望是________. C6 15 解析:根据题意 ξ =0,1,2,而 P(ξ =0)= 2 = ;P(ξ = C10 45 C6C4 24 C4 6 15 24 6 36 4 1)= 2 = ;P(ξ =2)= 2 = ,∴E(ξ )=0× +1× +2× = = . C10 45 C10 45 45 45 45 45 5 4 答案: 5 4.生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 元件 A 元件 B [70,76) 8 7 [76,82) 12 18 [82,88) 40 40 [88,94) 32 29 [94,100] 8 6
1 1 2 2

(1)试分别估计元件 A、元件 B 为正品的概率; (2)生产一件元件 A,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件 B, 若是正品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(1)的前提下: ①求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元的概率;
6

②记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期 望. 4 3 解:(1)由题可知元件 A 为正品的概率为 ,元件 B 为正品的概率为 . 5 4 (2)①设生产的 5 件元件 B 中正品件数为 x,则有次品 5-x 件,由题意知 100x-20(5-

x)≥300 得到 x=4 或 5, 设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 300 元”为事件 C, 则 P(C)
1 5 3 5 81 4 3 4 =C5( ) × +C5( ) = . 4 4 4 128 ②随机变量 X 的所有取值为 150,90,30,-30, 4 3 3 1 3 3 4 1 1 1 1 则 P(X=150)= × = , P(X=90)= × = , P(X=30)= × = , P(X=-30)= × 5 4 5 5 4 20 5 4 5 5 4 1 = , 20 所以 X 的分布列为:

X P
3 5 3 20

150 3 5 1 5

90 3 20 1 20

30 1 5

-30 1 20

E(X)=150× +90× +30× -30× =108 元.

7



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