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直线与双曲线的位置关系一


直线与双曲线的位置关系( 直线与双曲线的位置关系(一) 学习目标:1.理解双曲线和直线的位置关系,并能够熟练地进行判定;
2.会求直线被双曲线所截得的弦长. 阅读及检测:

x2 y 2 4 1、双曲线 ? = 1 与直线 y = x + b(b ≠ 0) 的交点个数是( 9 16 3
(A)0 (B)1
2 2

) (D)与 b 的取值有关 ;弦长

(C)2

2、直线 y = x ? 1 被双曲线 2 x ? y = 3 截得的弦的中点坐标是 是 .

3、过点 P ( 7, 5) 与双曲线 们的方程.

x2 y 2 ? = 1 有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它 7 25

注:若过点 A(1,5) 呢?过点 B (3, 4) 呢?

要点精讲:
y2 例1、 已知双曲线 x ? = 1 与点 P (1, 2) ,过点 P 作直线 l 与双曲线交于 A、B 两点, 2
2

若 P 为 AB 的中点. ⑴求直线 AB 的方程; ⑵若 Q (1,1) ,是否存在以 Q 为中点的弦? 练习:求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x ?
2

y2 = 1 截得的弦中点轨迹方程. 4

例 2、 已知双 曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) , F1 , F2 分别 是该 双曲线 的左 右焦点 , a2 b2 P ( x0 , y0 ) 是双曲线左支上的一点,求证: | PF2 |= a ? ex0 , | PF1 |= ? a ? ex0 . y2 x2 ? = 1 上支上有不同三点 A(x1,y1)、 26 ,6)、 2,y2)到焦点 F(0,5) B( C(x 12 13

练习、 在双曲线

的距离成等差数列. ⑴求 y1+y2 之值;
1

⑵证明:AC 的垂直平分线经过一个定点 T,并且求出这个点 T 的坐标.

例 3、过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线,且与双曲线的两支相交,求该双曲线离 心率的范围. 自主练习: 1、求直线 y = x + 1 被双曲线 x ?
2

y2 = 1 截得的弦长. 4

y2 2、设 A、B 是双曲线 x ? = 1 上的两点,点 N (1, 2) 是线段 AB 的中点. 2
2

⑴求直线 AB 的方程; ⑵如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆, 为什么?

归纳小结:弦长公式和双曲线与直线的交点个数.

课后作业: :
1.求过定点 A(0,1) 的直线被双曲线 x ?
2

y2 = 1 截得的弦 MN 的中点恰为 A 的直线方程. 4 2.在双曲线 y 2 ? x 2 = 1 的上半支上求一点 P ,使 P 到直线 y = ? x 的 距离为 2 2 .
3.垂直于直线 x + 2y ?3 = 0 的直线 l 被双曲线 的方程. 4.直线 l : y = kx + 2 与双曲线 x 2 ? y 2 = 6 的右支有两个不同的交点,求实数 k 的取值 范围.

x2 y2 4 5 ? = 1 截得的弦长为 ,求直线 l 20 5 3

2


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