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新疆巴州蒙中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)



新疆巴州蒙中 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)
一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|x<1},则 A∩B=() A.{x|x<1} B.{x|﹣1≤x≤2} C.{x|﹣1≤x≤1} 2. (5 分)下列命题中的假命题是() A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=1 3. (5 分)“

a>0”是“|a|>0”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件

D.{x|﹣1≤x<1}

C.?x∈R,x >0

3

D.?x∈R,2 >0

x

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分)下列四类函数中,有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x) f(y)”的是() A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数 5. (5 分)若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则() A.a=1,b=1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=﹣1,b=﹣1 6. (5 分)设 a=log54,b=(log53) ,c=log45 则() A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c
2 2

D . b<a<c

7. (5 分)函数 A.关于原点对称 C. 关于 x 轴对称 8. (5 分)函数 y= A.

的图象() B. 关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称 的值域是()

C. 上的最大值是 2,求实数 a 的值.
3 2

19. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x0 处取得极小值﹣5,其导函数 y=f′(x)的 图象经过点(0,0)与(2,0) (1)求 a,b 的值; (2)求 x0 及函数 f(x)的表达式. 20. (12 分)已知函数 f(x)=ax +x +bx(其中常数 a,b∈R) ,g(x)=f(x)+f′(x)是奇 函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间上的最大值和最小值.
3 2

21. (12 分)集合 A={x|﹣2≤x≤5},集合 B={x|m+1≤x≤2m﹣1}. (1)若 B?A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围. 22. (12 分)已 知函数 f(x)=x +bx +cx+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) ) 处的切线方程为 6x﹣y+7=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在区间上的最值.
3 2

新疆巴州蒙中 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|x<1},则 A∩B=() A.{x|x<1} B.{x|﹣1≤x≤2} C.{x|﹣1≤x≤1}

D.{x|﹣1≤x<1}

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 利用交集和数轴即可求出 A∩B. 解答: 解:A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|x<1}={x|﹣1≤x≤2,且 x<1}={x|﹣1≤x<1}. 故选 D. 点评: 本题考查了交集,关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分. 2. (5 分)下列命题中的假命题是() A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=1

C.?x∈R,x >0

3

D.?x∈R,2 >0

x

考点: 命题的真假判断与应用. 分析: A、B、C 可通过取特殊值法来判断;D、由指数函数的值域来判断. 解答: 解:A、x=1 成立;B、x=
3

成立;D、由指数函数的值域来判断.对于 C 选项 x=

﹣1 时, (﹣1) =﹣1<0,不正确. 故选 C 点评: 本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域,属容易题. 3. (5 分)“a>0”是“|a|>0”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 考点: 必要条件.

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

分析: 本 题主要是命题关系的理解,结合|a|>0 就是{a|a≠0},利用充要条件的概念与集合 的关系即可判断. 解答: 解:∵a>0?|a|>0,|a|>0?a>0 或 a<0 即|a|>0 不能推出 a>0, ∴a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件 故选 A 点评: 本题根据充要条件的概念考查充要条件的判断,是基础题. 4. (5 分)下列四类函数中,有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x) f(y)”的是() A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D . 余弦函数 考点: 有理数指数幂的运算性质. 分析: 根据题意,要求找到符合“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x) f(y)”的函数;分析选项可得答案. 解答: 解:根据题意,要求找到符合“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f (x)f(y)”的函数; 分析选项可得,A、B、D 不符合 f(x+y)=f(x)f(y) , 只有 C 中,对于指数函数有:a =a ?a ,成立; 故选 C. 点评: 本题考查指数函数的运算性质,注意与对数函数、幂函数的区分. 5. (5 分)若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则() A.a=1,b=1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=﹣1,b=﹣1 考点: 导数的几何意义. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据导数的几何意义求出函数 y 在 x=0 处的导数,从而求出切线的斜率,建立等 量关系求出 a,再根据点(0,b)在切线 x﹣y+1=0 上求出 b 即可. 解答: 解:∵y′=2x+a|x=0=a, 2 ∵曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程 x﹣y+1=0 的斜率为 1, ∴a=1, 又切点在切线 x﹣y+1=0 上, ∴0﹣b+1=0 ∴b=1. 故选:A. 点评: 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程,属于基础题. 6. (5 分)设 a=log54,b=(log53) ,c=log45 则() A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c
2 2 x+y x y

D.b<a<c

考点: 对数的运算性质;对数函数的单调性与特殊点;不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 因为 a=log54<log55=1,b=(log53) <(log55) ,c=log45>log44=1,所以 c 最 大,排除 A、B;又因为 a、b∈(0,1) ,所以 a>b,排除 C.

解答: 解:∵a=log54<log55=1,b=(log53) <(log55) ,c=log45>log44=1, ∴c 最大,排除 A、B;又因为 a、b∈(0,1) ,所以 a>b, 故选 D. 点评: 本题考查对数函数的单调性,属基础题.

2

2

7. (5 分)函数 A.关于原点对称 C. 关于 x 轴对称

的图象() B. 关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

考点: 奇偶函数图象的对称性. 专题: 计算题. 分析: 题设条件用意不明显, 本题解题方法应从选项中突破, 由于四个选项中有两个选项 是与奇偶性有关的,故先验证奇偶性较好, 解答: 解: ,

∴f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称 故选 D. 点评: 考查函数的对称性,宜从奇偶性入手研究. 8. (5 分)函数 y= A. C. 的值域是()

考点: 二次函数的图象;对数函数的图像与性质. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 可采用反证法做题,假设 A 和 B 的对数函数图象正确,由二次函数的图象推出矛 盾,所以得到 A 和 B 错误;同理假设 C 和 D 的对数函数图象正确,根据二次函数图象推出 矛盾,得到 C 错误,D 正确. 解答: 解:对于 A、B 两图,| |>1 而 ax +bx=0 的两根为 0 和﹣ ,且两根之和为﹣ , 由图知 0<﹣ <1 得﹣1< <0,矛盾, 对于 C、D 两图,0<| |<1,在 C 图中两根之和﹣ <﹣1,即 >1 矛盾,C 错,D 正确. 故选:D. 点评: 考查学生会利用反证法的思想解决实际问题, 要求学生掌握二次函数和对数函数的 图象和性质. 10. (5 分)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数) ,则 f(﹣1)=() A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1 D. 3
x 2

考点: 奇函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先由奇函数性质 f(0)=0 求出 f(x)的解析式,然后利用定义 f(﹣x)=﹣f(x) 求 f(﹣1)的值. 解答: 解:因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=2 +2×0+b=0, 解得 b=﹣1, x 所以当 x≥0 时,f(x)=2 +2x﹣1, 又因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 1 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(2 +2×1﹣1)=﹣3, 故选 A. 点评: 本题考查奇函数的定义 f(﹣x)=﹣f(x)与基本性质 f(0)=0(函数有意义时) .
0

11. (5 分)给定函数①

,②

,③y=|x﹣1|,④y=2

x+1

,其中在区

间(0,1)上单调递减的函数序号是() A.①② B.②③

C.③④

D.①④

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题所给的四个函数分别是幂函数型, 对数函数型, 指数函数型, 含绝对值函数型, 在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质; ① 为增函数, ②
x+1



定义域上的减函数,③y=|x﹣1|有两个单调区间,一增区间一个减区间,④y=2 为 增函 数. 解答: 解:①是幂函数,其在(0,+∞)上即第一象限内为增函数,故此项不符合要求; ②中的函数是由函数 向左平移 1 个单位长度得到的,因为原函数在(0,+∞)内 为减函数,故此项符合要求; ③中的函数图象是由函数 y=x﹣1 的图象保留 x 轴上方, 下方图象翻折到 x 轴上方而得到的, 故由其图象可知该项符合要求; ④中的函数图象为指数函数,因其底数大于 1,故其在 R 上单调递增,不合题意. 故选 B. 点评: 本题考查了函数的单调性,要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件. 12. (5 分)函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为() A. (0,+∞) B. 16. (5 分)直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是(1, ) .
2 x

考点: 二次函数的性质. 专题: 作图题;压轴题;数形结合. 分析: 在同一直角坐标系内画出直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a 的图象,观察求解. 2 解答: 解:如图,在同一直角坐标系内画出直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a, 观图可知,a 的取值必须满足 解得 . ,
2

故答案为: (1, )

点评: 本小题主要考查函数的图象与性质、 不等式的解法, 着重考查了数形结合的数学思 想. 三.简答题(共 70 分) 17. (10 分)求函数 f(x)= 的定义域.

考点: 对数函数的定义域. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 函数 f(x)=

的定义域满足

,由此能求出结果.

解答: 解:函数 f(x)=

的定义域满足:



解得 x≥3. ∴函数 f(x)= 的定义域为上的最大值是 2,求实数 a 的值.

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 分析: 先求对称轴, 比较对称轴和区间的关系, 利用开口向下的二次函数离对称轴越近函 数值越大来解题. 解答: 解:∵y=f(x)=﹣ + (a ﹣a+2) ,对称轴为 x= ,…1
2 2

(1)当 0≤ ≤1 时,即 0≤a≤2 时,f(x)max= (a ﹣a+2) , 由 (a ﹣a+2)=2 得 a=﹣2 或 a=3 与 0≤a≤2 矛盾,不和要求…5 (2)当 <0,即 a<0 时,f(x)在上单调递减,f(x)max=f(0) ,由 f(0)=2 得﹣ + =2,解得 a=﹣6…9 (3)当 >1,即 a>2 时,f(x)在上单调递增,f(x)max=f(1) , 由 f(1)=2 得:﹣1+a﹣ + =2,解得 a= 综上所述,a=﹣6 或 a= …14 …13
2

点评: 本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题. 关于不定解析式的二次函数在固定闭 区间上的最值问题, 一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论, 如轴在区间左 边,轴在区间右边,轴在区间中间,最后在综合归纳得出所需结论,属于中档题. 19. (12 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x0 处取得极小值﹣5,其导函数 y=f′(x)的 图象经过点(0,0)与(2,0) (1)求 a,b 的值; (2)求 x0 及函数 f(x)的表达式. 考点: 函数在某点取得极值的条件;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用函数在 x0 处取得极小值﹣5,以及导函数 y=f′(x)的图象经过点(0, 0 )与(2,0) ,确定 a,b,c 的值. (2)由(1)可以确定 x0 及函数 f(x)的表达式. 2 解答: 解: (1)f′(x)=3x +2ax+b…(2 分) 过点(0,0)与(2,0) ,故
3 2 3 2



;…(5 分)

(2)由(1)得 f(x)=x ﹣3x +c…(6 分) 2 由 f′(x)=3x ﹣6x=0?x=0 或 x=2…(8 分) 而当 x<0 时,f′(x)>0; 当 0<x<2 时,f′(x)<0 当 x>2 时,f′(x)>0; 故 f(2)是 f(x)的最小值…(10 分)

从而有 x0=2,f(2)=﹣5…(11 分) 由 f(2)=﹣5?8﹣12+c=﹣5,解得 c=﹣1…(12 分) ∴f(x)=x ﹣3x ﹣1…(13 分) 点评: 本题主要考查了导数和函数极值的关系,要求熟练掌握利用导数研究函数的单调 性,极值和最值的基本方法. 20. (12 分)已知函数 f(x)=ax +x +bx(其中常数 a,b∈R) ,g(x)=f(x)+f′(x)是奇 函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间上的最大值和最小值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数解析式的求解及常用方法;奇函数. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: (Ⅰ)由 f'(x)=3ax +2x+b 得 g(x)=fax +(3a+1)x +(b+2)x+b,再由函数 g (x)是奇函数,由 g(﹣x)=﹣g(x) ,利用待系数法求解. (2)由(1)知 ,再求导 g'(x)=﹣x +2,由 g'(x)≥0 求得增区间,
2 3 2 3 2

由 g'(x)≤0 求得减区间;求最值时从极值和端点值中取. 2 解答: 解: (1)由题意得 f'(x)=3ax +2x+b 3 2 因此 g(x)=f(x)+f'(x)=ax +(3a+1)x +(b+2)x+b 因为函数 g(x)是奇函数,所以 g(﹣x)=﹣g(x) , 3 2 即对任意实数 x,有 a(﹣x) +(3a+1) (﹣x) +(b+2) (﹣x)+b=﹣ 从而 3a+1=0,b=0, 解得 (2)由(Ⅰ)知 所以 g'(x)=﹣x +2,令 g'(x)=0 解得 则当 时,g'(x)<0 从而 g(x)在区间 , 上是减函数, 当 , 从而 g(x)在区间 上是增函数, 由前面讨论知,g(x)在区间上的最大值与最小值只能在 而 因此 g(x)在区间上的最大值为 , ,最小值为 .
2

,因此 f(x)的解析表达式为 ,



时取得,

点评: 本 题主要考查构造新函数,用导数研究函数的单调性和求函数的最值. 21. (12 分)集合 A={x|﹣2≤x≤5},集合 B={x|m+1≤x≤2m﹣1}. (1)若 B?A,求实数 m 的取值范围; (2)当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围.

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: (1)根据 B?A 讨论 B=?和 B≠?两种情况,B=?时容易求得 m<2,B≠?时,m 需

满足

, 解该不等式组求出 m 的范围, 然后并上 m<2 即得实数 m 的取值范围;

(2)由题意知:A∩B=?,B=?时,由(1)求得 m<2.B≠?时,m 需满足 ,解该不等式组,所得解并上 m<2 即可. 解答: 解: (1)若 B?A,B=?时,m+1>2m﹣1,∴m<2,满足 B?A;

B≠?时,则

,解得 2≤m≤3;

综上所述,当 m≤3 时有 B?A; 即实数 m 的取值范围为(﹣∞,3]; (2)由题意知,A∩B=?; ∴B=?时,m+1>2m﹣1,∴m<2; B≠?时,则 ,解得:m>4;

∴实数 m 的取值范围为(﹣∞∞,2)∪(4,+∞) . 点评: 考查子集的概念,空集的概念,以及交集的概念,不要漏了 B=?的情况. 22. (12 分)已知函数 f(x)=x +bx +cx+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(﹣1,f(﹣1) ) 处的切线方程为 6x﹣y+7=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在区间上的最值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)根据导数的几何意义,结合切线方程建立方程关系,求出 b,c,d,即可求 函数 f(x)的解析式; (2)求函数的导数,即可求函数 f(x)在区间上的最值. 解答: 解: (1)由 f(x)的图象经过 P(0,2) ,知 d=2, 3 2 2 所以 f(x)=x +bx +cx+2,则 f'(x)=3x +2bx+c. 由在 M(﹣1,f(﹣1) )处的切线方程是 6x﹣y+7=0, 知﹣6﹣f(﹣1)+7=0, 即 f(﹣1)=1,f'(﹣1)=6 ∴ ,
3 2





解得 b=c=﹣3, 3 2 故所求的解析式是 f(x)=x ﹣3x ﹣3x+2. 3 2 (2)∵f(x)=x ﹣3x ﹣3x+2. 2 2 ∴f′(x)=3x ﹣6x﹣3=3(x ﹣2x﹣1) . 2 由 f′(x)=3(x ﹣2x﹣1)>0, 解得 x>1+ 或 x<1﹣ ,此时函数单调递增, 2 由 f′(x)=3(x ﹣2x﹣1)<0, 解得 1﹣ <x<1+ ,此时函数单调递减, 则函数在 x=1﹣ 取得极大值,同时也是最大值,最大值 当 x=﹣3 时,函数取得最小值,最小值﹣43. ,

点评: 本题主要考查导数的几何意义, 以及利用导数求函数的最值, 考查导数的综合应用.



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