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2016高三一轮---空间向量解决立体几何(建系)试题汇编



1、 如在四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AD⊥AB, AB∥DC, AD=DC=AP=2, AB=1, 点 E 为棱 PC 的中点. (Ⅰ) 证明:BE⊥DC; (Ⅱ)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (Ⅲ)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF⊥AC,求二面角 F﹣AB﹣P 的余弦值.

? 3.如图,四棱锥 P﹣ABCD

,底面是以 O 为中心的菱形,PO⊥底面 ABCD,AB=2,∠BAD= 3 ,M 为 BC 上的一点,
1

且 BM= 2 ,MP⊥AP. (Ⅰ)求 PO 的长; (Ⅱ)求二面角 A﹣PM﹣C 的正弦值.

2、已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 中点(1) 证明:PE⊥BC(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值. (
2 ) 4

4.如图,在直三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的正弦值.

5.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB⊥AC,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B,且 AB=AC=A1B=2. (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使 AP= 14 ,并求出二面角 P﹣AB﹣A1 的平面角的余弦值.

7.如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD.△ PAD 为等腰直角三角形,且 PA⊥AD. E,F 分别为底边 AB 和侧棱 PC 的中点. (Ⅰ)求证:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求证:EF⊥平面 PCD; (Ⅲ)求二面角 E﹣PD﹣ C 的余弦值.

8.如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D 为 AC 中点,AE⊥BD 于 E,延长 AE 交 BC 于 F,将△ ABD 6.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面 ACFE⊥平面 ABCD,四边形 ACFE 是矩形, AE=a,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACFE; . (Ⅱ)求二面角 B﹣EF﹣D 的平面角的余弦值. 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,如图 2 所示.

(Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCD; (Ⅱ)求二面角 A﹣DC﹣B 的余弦值. (Ⅲ)在线段 AF 上是否存在点 M 使得 EM∥平面 ADC?若存在,请指明点 M 的位置;若不存在,请说明理由.

9、 在如图所示的多面体中, 已知正方形 ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂直, EC⊥AC,EF∥AC,AB= EF=EC=1, (1)求证:平面 BEF⊥平面 DEF; (2)求二面角 A﹣BF﹣E 的大小.



11、如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB=BC=CA=AA1,D 为 AB 的中点. (1)求证:BC1∥平面 DCA1; (2)求二面角 D﹣CA1﹣C1 的平面角的余弦值.

12、在四棱锥 E﹣ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,AE⊥平面 CDE,已知 AE=DE=2,F 为线段 DE 的中点. (Ⅰ)求证: BE∥平面 ACF; (Ⅱ)求二面角 C﹣BF﹣E 的平面角的余弦值. 10、如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,P 是平面 ABCD 外一点,P 在平面 ABCD 的射影 O 恰在 AD 上, PA=AB=BC=2AO=2,BO= 3 . (1)证明:PA⊥BO; (2)求二面角 A﹣BP﹣D 的余弦值.

2? 13、如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,AB⊥平面 BCE,DC⊥平面 BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE= 3 . ( I)求证:

? 15、所示的多面体中,ABCD 是菱形,BDEF 是矩形,ED⊥平面 ABCD,∠BAD= 3 . ,AD=2.

平面 ADE⊥平面 ABE; (Ⅱ)求二面角 A﹣EB﹣D 的大小.

(1)求证:平面 FCB∥平面 AED; (2)若二面角 A﹣EF﹣C 为直二面角,求直线 BC 与平面 AEF 所成的角 θ 的正弦值.

14、在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BC= 2 ,AB=AC=AA1=1,D 是棱 CC1 上的一点,P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延 长线的交点,且 PB1∥平面 BDA1. (Ⅰ)求证:CD=C1D; (Ⅱ)求二面角 A1﹣B1D﹣P 的平面角的正弦值. 16、已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2,A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D. (Ⅰ) 求证:AC1⊥BA1; (Ⅱ)求 A﹣A1B﹣C 的余弦值.

17、在三棱锥 P﹣ABC 中,PB⊥平面 ABC,△ ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,点 D、E、 F 分别为 AC、AB、BC 的中点. (I)求证:EF⊥PD; (2)求二面角 E﹣PF﹣B 的正切值. 19、 四棱锥 S﹣ABCD, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC⊥底面 ABCD. 已知∠DAB=135°, BC=2 2 , SB=SC=AB=2, F 为线段 SB 的中点. (1)求证:SD∥平面 CFA; (2)求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的平面角的余弦值大小.

20、 AB 为圆 O 的直径, 点 E、 F 在圆上, AB∥EF, 矩形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面互相垂直, 已知 AB=2, BC=EF=1 (Ⅰ)求证:BF⊥平面 DAF(Ⅱ)求平面 ADF 与平面 CDFE 所成的二面角的余弦值.

18、在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧棱 PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是正方形,若 PD=DA,M 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 BDM; (2)求二面角 B﹣DM﹣C 的余弦值.

21、 四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠ABC=60°, 平面 PAB⊥平面 ABCD, PA=PB=2AB. (1) 证明: PC⊥AB; (2)求二面角 B﹣PC﹣D 的余弦值.

23、三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°,平面 ABC1⊥平面 AA1C1C,AC1 与 A1C 相交于 点 D. (1)求证:BD⊥平面 AA1C1; (2) (理)设点 E 是直线 B1C1 上一点,且 DE∥平面 AA1B1B,求平面 EBD 与平面 ABC1 夹角的余弦值.

24、四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,AB=4AD=2,BD=2 3 ,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 22、己知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,侧面 A1ACC1 为菱形,∠A1AC=60°,平面 A1ACC1⊥ 平面 ABC,N 是 CC1 的中点. (I)求证:A1C⊥BN; (Ⅱ)求二面角 B﹣A1N﹣C 的余弦值.
? PBC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若二面角 P﹣BC﹣D 大小为 4 . ,求 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值.

25、在直角梯形中 ABCD 中.AB∥CD,AB⊥BC,F 为 AB 上的点,且 BE=1,AD=AE=DC=2,将△ ADE 沿 DE 折 叠到 P 点,使 PC=PB. (Ⅰ)求证:平面 PDE⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 A﹣PD﹣E 的余弦值.

27、在几何体 ABCDEF 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形 ACFE 为矩形,平面 ACEF⊥平面 ABCD, CF=1. (Ⅰ)求证:平面 FBC⊥平面 ACFE; (Ⅱ)若 M 为线段 EF 的中点,设平面 MAB 与平面 FCB 所成锐二面角的余弦值.

26、已知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的底面是正三角形,点 M、N 分别是 A1C1 和 A1B1 的中点,AA1=AB=BM=2, ∠A1AB=60°. (Ⅰ)求证:BN⊥平面 A1B1C1; (Ⅱ)求二面角 A1﹣AB﹣M 的正切值. 28、已知 AB⊥平面 A CD,DE⊥平面 ACD, ,AB=2,AC=AD=DE=4 ,F 为 CD 的中点, (Ⅰ)求证:AF//面 BCE, (Ⅱ)若 ?CAD ? 120 ,求二面角 F-BE-D 余弦值.
?

29、三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 4 正三角形,AA1⊥平面 ABC,AA1=2 6 ,M 为 A1B1 的中点. (I)求证:MC⊥ AB; (II)在棱 CC1 上是否存在点 P,使得 MC⊥平面 AB,若存在,确定点 P 的位置;若不 存在,说明理由. (Ⅲ)若点 P 为 CC1 的中点,求二面角 B-AP-C 的余弦值.

30、在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 和侧面 BCC1B1 都是矩形,E 是 CD 中点,D1E⊥CD ,AB=2,BC=1,(1)证明 BC⊥D1E,(2)若平面 BCC1B1 与平面 BED1 成锐二面角为 60 ,,求线段 D1E 长度
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