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广东省潮州市2012-2013学年高二上学期期末教学质量检测数学理试题 Word版含答案



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潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷





(理

科)

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案;答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束,将答题卡交回。

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)
1、不在 .. 3x ? 2 y < 6 表示的平面区域内的一个点是

A.(0,0)

B.(1,1)

C.(0,2)

D. (2,0)

2、已知△ABC 的三内角 A,B,C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则该三角形面积为

A. 3

B.2

C.2 3

D.4 3

2 3、设命题甲: ax ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R ;命题乙: 0 ? a ? 1 ,则命题甲是命题乙成立的

A . 充分不必要条件 C. 必要不充分条件

B. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

4、与圆 C1 : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1及圆 C2 : x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 都外切的动圆的圆心在 A. C. 一个圆上 双曲线的一支上 B. 一个椭圆上 D. 一条抛物线上

5、已知 {an } 为等比数列, Sn 是它的前 n 项和。若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2 a7 的等差中项为 则 S5 等于 A. 31 B. 32 C. 33 D. 34

5 , 4

6、如图,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面是边长为 2 的正 方形,若 ?A1 AB ? ?A1 AD ? 600 ,且 A 1 A ? 3 ,则 A1C 的长为 A. 5 B. 2 2 C. 14 D. 17

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1

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7、 设抛物线 y 2 ? 8x 的焦点为 F, 准线为 l ,P 为抛物线上一点,PA⊥ l ,A 为垂足. 如果直线 AF 的斜率为 - 3 , 那么|PF|等于 A. 8 3 B. 8 C. 4 3 D. 4

8 、已知 F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,若椭圆上存在点 P 使 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则 a2 b2

PF1 ?PF2 ?
A. b


B. 2b



C. 2b

D. b

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
9、命题“若 a 2 ? b2 ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 ”的逆否命题是 10、若方程 .

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则实数 m 的取值范围是____________________. m ? 2 m ?1

11、某学习小组进行课外研究性学习,为了测量不能 到达的 A、B 两地,他们测得 C、D 两地的直线 距离为 2km ,并用仪器测得相关角度大小如图所 示,则 A、B 两地的距离大约等于 (提供数据: 2 ? 1.414, 3 ? 1.732 ,结果保留两个有效数字) 12、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若


a 5 5 S9 ? 则 ? a 3 9 S5

.

13、已知点 P (0,1) 及抛物线y=x+2,Q 是抛物线上的动点,则 | PQ | 的最小值为



14、关于双曲线

5 x2 y 2 ? ? ?1 ,有以下说法:①实轴长为 6;②双曲线的离心率是 ; 4 9 16

③焦点坐标为 (?5, 0) ;④渐近线方程是 y ? ? 正确的说法是

4 x ,⑤焦点到渐近线的距离等于 3. 3

.(把所有正确的说法序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答要写出证明过程或解题步骤)
15、 (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 ,命题 P:函数 y ? log a ( x ? 1) 在区间 (0, ??) 上为减函数;

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命题 Q:曲线 y ? x2 ? (2a ? 3) x ? 1 与 x 轴相交于不同的两点.若“ P ? Q ”为真, “ P ? Q ”为假,求实数 a 的取值范围.

16、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, cos B ? (1)求 ?ABC 的面积; (2)若 a ? 7 ,求角 C .
8 2

3 且 BA ? BC ? 21 5

17、(本小题满分 l4 分)

6

1

广东省某家电企业根据市场调查分析,决定调整新产品生产方案,准备每周(按 40 个工时计算)生产空
5 9

调机、彩电、冰箱共 120 台,且冰箱至少生产 20 台,已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如
8

下表: 家电名称 工时 产值/千元 空调机

0

彩电

冰箱

1 2
4

1 3
3

1 4
2

问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)

18、(本小题满分 14 分) 如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2 . E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1.
D1 C1 B1

(1) 求二面角 C—DE—C1 的余弦值;
A1

(2) 求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值.
D F B C

A

E

19、 (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N ).
*

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(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)证明:

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a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

20、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 2 3 ,且过点 M (? (1)求椭圆 C 的方程;
13 3 , )。 4 2

1 (2)若过点 N ( ,1) 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,且 N 恰好为 AB 中点,能否在椭圆 C 上找到点 D,使△ 2
ABD 的面积最大?若能,求出点 D 的坐标;若不能,请说明理由。

潮州市 2012-2013 学年度第一学期期末高二级教学质量检测卷 数学(理科)参考答案
一、选择题
题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 A 6 A 7 B 8 B
4

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二、填空题
2 2 9、若 a ? 0 或 b ? 0 ,则 a ? b ? 0

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10、 (?2, ? ) ? (? , ?1) 12、 1 14、②④⑤

3 2

3 2

11、 1.4km 13、1

解答提示: 1、代入检验可得; 2、? ?ABC三内角A, B, C成等差数列, ? B ? 600
1 1 3 ? s? ABC ? ? 1?4? sin 600 ? ? 1?4? ? 3 2 2 2
2

又 AB=1,BC=4,



3、命题甲: ax ? 2ax ? 1 ? 0 的解集是实数集 R ,则可得 0 ? a ? 1;
4),r2 ? 2, 4、由已知得 C1的圆心坐标(0.-1),r1 ? 1, C2的圆心坐标(0,

设动圆圆心M,半径r,则 MC1 ? r ? 1, MC2 ? r ? 2,? MC2 ? MC1 ? 1,由定义可得;

5、由已知可得: a1 ?q ? 2, 且a1 ?q ? 2a1 ?q ?
3 3 6

5 1 ,? a1 ? 16, q ? , 2 2

? ? 1 ?5 ? 16 ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ? 31. ? s5 ? ? 1 1? 2
6、由已知可得点 A 1在底面的投影O在底面正方形对角线AC上,

3 过A1作A1 E垂直AB于E,在Rt?AEA1中,AA1 ? 3, ?A1 AE ? 600 ,? AE ? , 2

连结OE, 则OE ? AB, ?EAO ? 450 ,在Rt?AEO中,AO= 3 2 3 2 ,? A1O ? , 2 2

3 2 2 , 又AC ? 2 2 ?OC ? , 2 2

在Rt?AOA1中,AA1 ? 3, AO ?

在Rt?A1OC中,A1C ? A1O 2 ? OC 2 ? 5
用空间向量解会更好

| A1C |2 ? ( A1 A ? AB ? BC) 2

7、由已知得焦点为 F(2,0) ,准线为 l的方程X=-2,又直线 AF 的斜率为 - 3 ,

??AFO ? 600 , 设准线与X 轴交点为B,过P作PE垂直于X轴于E,
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在Rt?ABF中,BF=4,AB=4 3, 又PA ? PF , 所以?PFA ? 600 ,??PFE ? 600 , 在Rt?PEF中,PF=4 3, ?PFE ? 600 ,? PF ? 8.
说明:由 AF 的斜率为 - 3 先求出 A(- 2,4 3 代入 y 2 ? 8x 得 P( 6,4 3) )

2 8、由已知可求得 PF1 ? PF2 ? 2a,? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ?PF2 ? 4a ,

2

2

PF1 ? PF2 ? 4c 2 ,
2 2 ?2 PF1 ?PF2 ? 4a2-c= 4 2 ( 4 a2-c), ? PF1 ?PF2 ?2b

2

2

9、略

?m ? 2 ? 0 3 3 ? ,? m ? (?2, ? ) ? (? , ?1). 10、由已知可求得 ? m ? 1 ? 0 2 2 ?m ? 2 ? ?m ? 1 ?
11、由已知设对角线交点为 O, 则 ?COD ? ?AOB ? 900 , ?DAO ? 600 , 三角形ADC是正三角形,

AO ? OB ? 1, Rt?AOB中,AB ? 2 ? 1.4 .
12、由等差数列性质易得 1. 13、画图知道最小值为1. 14、略

三、解答题
15、 (本小题满分 12 分) 解: ∵ a ? 0 且 a ? 1 , ∴命题 P 为真 ? 0 ? a ? 1 命题 Q 为真 ? ? ???2 分
2

?? ? (2a ? 3) ? 4 ? 0 ?a ? 0且a ? 1

1 5 ? 0 ? a ? 或a ? 2 2

???6 分

? “ P ? Q ”为真, “ P ? Q ”为假
? 命题 P 、 Q 一个为真,一个为假

?0 ? a ? 1 ?a ? 1 ? ? ∴ ?1 5 或 ? 1 5 ? a ? 1或1 ? a ? 0 ? a ? 或a ? ? ? 2 ?2 2 2 ? 1 5 ? ? a ?1 或 a ? 2 2 ?1 ? ? 5 ? ∴实数 a 的取值范围是 ? ,1? ? ? , ?? ? ?2 ? ? 2 ?
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???8 分

???11 分 ???12 分

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16、 (本小题满分 12 分) 解: (1) ? BA? BC ?| BA || BC | cos B = ac ? cos B ?

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? ac ? 35
3 , 且B ? (0, ? ), 5 4 ? sin B ? 1 ? cos 2 B ? , 5 1 1 4 ? S ?ABC ? ac ? sin B ? ? 35 ? ? 14 2 2 5
又? cos B ?

3 ac ? 21, 5
???2 分

???4 分 ???6 分 ∴c ? 5

(2)由(1)知? ac
2

? 35 ,又 a ? 7 ,

又余弦定理得 b ? 49 ? 25 ? 2 ? 7 ? 5 ?

3 ? 32, 5 b c 4 2 5 ? ,即 ? , 由正弦定理得 4 sin B sin C sin C 5 2 ? sin C ? 2
又? a ? c,? C ? (0,

?b ? 4 2

???8 分

???10 分 ???12 分

?

2

)

?C ?

?

4

17、 (本小题满分 14 分) 解 : 设 该 企 业 每 周 应 生 产 空 调 机 x 台 、 彩 电 y 台 , 则 应 生 产 冰 箱 120 ? x ? y 台 , 产 值 为 z ? 4 x ?3 y ? 2 (1 2 0 ? x ? y )? x 2 ? y ? (千元) 240 , ????2 分 所以 x , y 满足约束条件

120 ? x ? y ? 20 ? ?1 1 1 ? ? x ? y ? (120 ? x ? y ) ? 40 ,即 3 4 ?2 ? x?0 ? y?0 ? ? ? x ? y ? 100 ?3 x ? y ? 120 ? ????6 分 ? x ? 0 ? ? ? y?0
可行域如右图 联立方程组 ?????9 分

? x ? y ? 100 ? x ? 10 ,解得 ? ???11 分 ? ?3x ? y ? 120 ? y ? 90 将 l0 : 2 x ? y ? 0 平移到过点 A(10,90) 时, z 取最大值, ???13 分 zmax ? 350 (千元)
答: 每周应生产空调机 10 台, 彩电 90 台, 冰箱 20 台, 才能使产值最高, 最高产值是 350 千元。 ???? 14 分

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18、 (本小题满分 14 分) 解: (1) (法一)矩形 ABCD 中过 C 作 CH ? DE 于 H,连结 C1H

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? CC1 ? 面 ABCD,CH 为 C1H 在面 ABCD 上的射影 ? C1H ? DE ? ? C1HC 为二面角 C—DE—C1 的平面角
?

????3 分

矩形 ABCD 中得 ? EDC= 45 ,? ? DCH 中得 CH= 2 2 , 又 CC1=2,

? Rt? C1HC 中, C1 H ? 2 3 ,
cos ? C1HC ?

2 2 2 3

?

6 3

? 二面角 C—DE—C1 的余弦值为

6 3

????7 分

(2)以 D 为原点, DA, DC, DD1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系, 则有 A(3,0,0)、D1(0,0,2)、B(3,4,0) ,E(3,3,0)、F(2,4,0)、C1(0,4,2) ?10 分 设 EC1 与 FD1 所成角为β ,则 EC1 ? (?3,1,2), FD1 ? (?2,?4,2)

? cos ? ?| cos ? EC1 , FD1 ?|?|

EC1 ? FD1

| EC1 | ? | FD1 | 21 故 EC1 与 FD1 所成角的余弦值为 14

|

?|

6?4?4 14 ? 24

|?

21 14
??14 分

(法二) (1) 以 D 为原点, y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系, 则有 A(3,0,0)、 DA, DC, DD1 分别为 x 轴, D1(0,0,2)、B(3,4,0) ,E(3,3,0)、F(2,4,0)、C1(0,4,2) 于是, DE ? (3,3,0) , DC1 ? (0,4,2) , EC1 ? (?3,1,2) 设向量 n ? ( x, y, z) 与平面 C1DE 垂直,则有

令 y ? ?1 ,则 x ? 1, z ? 2

? ?3x ? 3 y ? 0 ?n ? DE ? 0 ?? , ? 2y ? z ? 0 ? ? n ? DC ? 0 1 ?

? n ? (1,?1,2)

又面 CDE 的法向量为 DD1 ? (0,0,1)

cos ? n, DD1 ??

n ? DD1 | n | ? | DD1 |

?

2 6

?

6 3

??7 分

由图,二面角 C—DE—C1 为锐角,故二面角 C—DE—C1 的余弦值为 (2)设 EC1 与 FD1 所成角为β ,则 EC1 ? (?3,1,2), FD1 ? (?2,?4,2)

6 3

??8 分

? cos ? ?| cos ? EC1 , FD1 ?|?|

EC1 ? FD1 | EC1 | ? | FD1 |

|

?|

6?4?4 14 ? 24

|?

21 14
8

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故 EC1 与 FD1 所成角的余弦值为 19、 (本小题满分 14 分) 解: (1)? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ),

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??14 分

21 14

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??3 分

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.


an ? 22 ?1(n ? N * ).

??6 分

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, (2)证明:? 1 ak ?1 2 ? 1 2(2k ? ) 2 2

??8 分

?

a a1 a2 n ? ? ... ? n ? . a2 a3 an?1 2

??9 分

?

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2
a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3
??14 分

?

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
20、 (本小题满分 14 分) 解: (1)法一:依题意,设椭圆方程为

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 a 2 b2

??1 分 ????2 分

2c ? 2 3 , c ? 3
因为椭圆两个焦点为 F 1 (0, ? 3), F 2 (0, 3) ,所以

2a ?| MF1 | ? | MF2 |? (?

13 2 3 13 2 3 ) ?( ? 3)2 ? (? ) ?( ? 3) 2 =4 ??4 分 4 2 4 2

? a ? 2 ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 y2 ? 椭圆 C 的方程为 ? x 2 ? 1 4
法二:依题意,设椭圆方程为

????5 分 ???6 分

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 a 2 b2

???????1 分

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? 2c ? 2 3 ? a 2 ? b2 ? 3 ? ?a ? 2 ? ? 3 ,即 ? 3 ,解之得 ? ??????5 分 ? ( ) 2 (? 13 ) 2 13 b ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? 4 ?1 ? 4a 2 16b 2 ? b2 ? a2 y2 ? x2 ? 1 椭圆 C 的方程为 ??????6 分 ? 4 x ? x2 1 y1 ? y2 ? , ?1 (2)法一:设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,则 1 2 2 2
????7 分

y ? x12 ? 1 ??????① 4 y2 2 ? x2 2 ? 1 ??????② 4 y 2 ? y2 2 ? x12 ? x2 2 ? 0 ①-②,得 1 4 y1 ? y2 ?( x1 ? x2 ) ?1 ? k AB ? ? ? ? ?2 y1 ? y2 2 x1 ? x2 4 4
设与直线 AB 平行且与椭圆相切的直线方程为 l ? : 2 x ? y ? m ? 0
2

2 1

??9 分

2 2 y y 联立方程组 ? ? x 2 ? 1 ,消去 整理得 8x ? 4mx ? m ? 4 ? 0 ?

? 4 ?2 x ? y ? m ? 0 ? 由判别式 ? ? 16m2 ? 32(m2 ? 4) ? 0 得 m ? ?2 2

????????????????12 分 由图知,当 m ? 2 2 时, l ? 与椭圆的切点为 D,此时 △ABD 的面积最大

? m ? 2 2 ? xD ? ?

m 2 ?? ? yD ? ? 2 4 2 2 所以 D 点的坐标为 (? , ? 2) ??????14 分 2
? y2 ? x2 ? 1 ? ? 1 ? 4 法二:设直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? ) ,联立方程组 ? , 2 ? y ? 1 ? k(x ? 1 ) ? ? 2

消去 y 整理得 (k 2 ? 4) x 2 ? (k 2 ? 2k ) x ?

1 2 k ?k ?3 ? 0 4

设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

k 2 ? 2k ? 1,? k ? ?2 k2 ? 4

所以直线 AB 的方程为 y ? 1 ? ?2( x ? ) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 ????????9 分 (以下同法一)

1 2

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