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广东省深圳高级中学等三校2012-2013学年高一上学期期末联考数学试题



广东省深圳高级中学等三校 2012-2013 学年高一上学期期末联考

高一数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,第Ⅰ卷为 1-8 题,共 40 分,第Ⅱ卷为 9-20 题,共 110 分. 全卷共计 150 分. 考试时间为 120 分钟.

注意事项:
1、答第一卷前,考生务必将自己

的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2、每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动用橡皮擦干净 后,再涂其它答案,不能答在试题卷上. 3、考试结束,监考人员将答题卡收回.

参考公式:
锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3

第I卷
只有一项是符合题目要求的)

(本卷共计 40 分)

一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,

1. 直线 x+y+1=0 的倾斜角和在 y 轴上的截距分别为( A. 135?,-1 B. 135?,1 C. 45?,-1

) D. 45?,1 )

2. 已知 A, B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},A∩(CUB) ={9},则 A=( A. {1,3} B. {3,7,9} C. {3,5,9} D. {3,9} )

3. 下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+?)上单调递增的函数是( A. y =x3 B. y =|x|+1 C. y = -x2+1 D. y =2-|x|

4. 给定下列四个命题: ① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ② 若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④ 若两平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( )
·1·

A. ①和②

B. ②和③

C. ③和④

D. ②和④

5. 如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下列结论中不正确的是( ... A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 6. 某四面体的三视图如右图所示,该四面体四个面的面积中, 最大的是( A.8 ) B. 6 2 C.10 D. 8 2



7. 已知点 A(-5, 4)、B(3, 2), 过点 C(-1, 2), 且与点 A、B 的 距离相等的直线方程是( A. x+4y-7=0 C. x+4y-7=0 或 x+1=0 ) B. 4x-y+7=0 D. x+4y-7=0 或 4x-y+7=0

8. 设 a>1,若对任意的 x?[a, 2a],都有 y?[a, a2] 满足方程 logax+logay =3, 这时 a 的取值的集合为( A.{a|1<a?2} ) C.{a|2?a?3} D.{2,3}

B.{a|a?2}

第 II 卷
注意事项:

(本卷共计 110 分)

请用黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. ...

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)
9. 函数 y =lg(1-x)的定义域为___________. 10. 函数 f(x)=ex+x-2 的零点个数为___________. 11. 正方体的八个顶点中,有四个顶点恰好是正四面体的顶点,则正四面体的体积与正方体 的体积之比是_________. 12. 已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C: (x-1)2+(y-1)2=2,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为______.

1 13. 若函数 f(x)=logax(a>0, a?1)在区间 [ , ] 上的最大值为 1,最小值为 m, 2 4
且函数 g(x)=(m+1)x2 在区间[0, +?)上是增函数,则 a =_________.

·2·

14. 据气象台预报:在我市正南方 400km 的海面 A 处有一台风中心,正以每小时 40km 的 速度向西北方向移动,在距台风中心 300km 以内的地区将受其影响. 从现在起经过约 __________小时,台风将影响我市.(结果精确到 0.1 小时)

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 12 分) 已知?ABC 的顶点为 A(1, 3),B(3, 1),C(-1, 0). (I)求 AB 边所在直线的方程; (II)求?ABC 的面积.

16.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,A1A=AC=BC=1,AB= 2 , 点 D 是 AB 的中点. (I)求证:AC 1//平面 CDB1; (II)求三棱锥 A1-ABC1 的体积.

17.(本小题满分 14 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上不同于 A、B 的一点,VA?平面 ABC,VA=AB. (I)证明:平面 VAC?平面 VBC; (II)当三棱锥 A-VBC 的体积最大值时,求 VB 与平面 VAC 所成角的大小. V
·3·

18.(本小题满分 14 分) 已知圆 C 的半径为 2,圆心 C 在 x 轴的正半轴上,直线 3x-4y+4=0 与圆 C 相切. (I)求圆 C 的方程; (II)是否存在过点 P(0, -3)的直线 l 与圆 C 交于不同两点 A、B,且弦 AB 的垂直平分线 m 过点 Q(3, -3),若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

19.(本小题满分 14 分) 如图,长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速度为 v(v>0), 物体 E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分: .... ① P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,设其值与|v-4|?S 成正比,比例系数为
1 ② 其它面的淋雨量之和,其值为 , 2 1 ; 10

3 记 y 为物体 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距离 d=100,面积 S= 时. 2

(Ⅰ)写出 y 的表达式; (Ⅱ)设 0<v≤10,试确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少.

·4·

20.(本小题满分 14 分)
2 已知函数 f(x)=ax +bx+1(a?0)对于任意 x?R 都有 f(1+x)=f(1-x),且函数 y=f(x)+2x 为偶函数;

函数 g(x)=1-2 . (I) 求函数 f(x)的表达式; (II) 求证:方程 f(x)+g(x)=0 在区间[0, 1]上有唯一实数根; (III) 若有 f(m)=g(n),求实数 n 的取值范围.

x

2012-2013 学年第一学期期末三校联考

高一数学答案及评分标准
说明: 1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 2、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解 答有较严重的错误,就不再给分. 3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题5分,满分40分. 1 A 9. (-?, 1) 2 D 3 B 4 D 5 D
1 4

6 C

7 C

8 B

二、填空题:本大题每小题5分,满分30分. 10. 1 11. 1:3 12.

2

13.

14. 4.6

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 解: (I)AB 边所在直线的方程为 即 x+y-4=0.
2 2

y ? 3 x ?1 ? , 1 ? 3 3 ?1

…………2 分 …………4 分

…………6 分 (II) | AB |? (3 ?1) ? (1? 3) ? 2 2 , | ?1 ? 0 ? 4 | 5 ? 点 C 到直线 AB 的距离 d ? ,就是 AB 边上的高 h, …………10 分 2 2 1 1 5 ? 5. …………12 分 所以, S ?ABC ? | AB | ?h ? ? 2 2 ? 2 2 2 16.(本小题满分 12 分)
·5·

证: (I) 设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴ DE//AC1, …………3 分 ∵ DE?平面 CDB1, AC1?平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1. …………5 分 (II)底面三边长 AC=BC=1,AB= 2 , ∴ AC⊥BC, …………7 分 ∵A1A⊥底面 ABC,∴ A1A⊥BC; 而 A1A ?AC=C, ∴ BC⊥面 AA1C1C, 则 BC 为三棱锥 B-A1AC1 的高; ……9 分 ∴ V A1 ? ABC1 ? V B ? A1 AC1 ?

1 1 1? 1 1 S ?A1 AC1 ? BC ? ? ?1 ? . 3 3 2 6

…………12 分

(注:若用其他求得,相同标准给分) 17.(本小题满分 14 分) (I)证明:∵AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的一点,∴BC?AC, 由 VA?平面 ABC, ∴BC?VA, 而 AC ?VA=A, ∴ BC⊥面 VAC, 由 BC?平面 VBC, ∴平面 VAC?平面 VBC. (II)方法 1: ∵VA?平面 ABC,∴VA 为三棱锥 V-ABC 的高, 则 VA ? VBC ? VV ? ABC ? 1 S ?ABC ? VA ? 2a S ?ABC , 3 3 当?ABC 的面积最大时, VA ?VBC 最大. 设 AB=2a,

…………2 分 …………4 分 …………6 分

…………8 分

设 BC=x (0<x<2a),则 AC ? 4a 2 ? x 2 , 则 S ?ABC ? 1 x ? 4a 2 ? x 2 ? 1 x 2 (4a 2 ? x 2 ) ? 1 ? ( x 2 ? 2a 2 ) ? 4a 4 2 2 2 ∴当 x2=2a2 时,即 x ? 2a ? (0,2a) 时,?ABC 的面积最大, VA ?VBC 最大. …10 分 由(1)知:BC⊥面 VAC,则?BVC 为 VB 与平面 VAC 所成角, …………12 分 BC 1 , 在 Rt?VBC 中, BC ? 2a , VB ? 2 2a , sin ?BVC ? ? VB 2 ∴?BVC=30?, 故直线 VB 与平面 VAC 所成角为 30?. …………14 分 方法 2: ∵VA?平面 ABC,∴VA 为三棱锥 V-ABC 的高, 则 VA ? VBC ? VV ? ABC ? 1 S ?ABC ? VA ? 2a S ?ABC , 3 3 当?ABC 的面积最大时, VA ?VBC 最大. …………8 分 设 AB=2a, 过点 C 做 CM?AB,垂足为 M, 则 S ?ABC ? 1 AB ? CM ? a ? CM 2 ∴当 M 与 O 重合时,CM 最大,此时 BC ? 2a , ∴当 BC ? 2a ,?ABC 的面积最大, VA ?VBC 最大. …10 分 (下同方法 1) 18.(本小题满分 14 分) 解: (I)设圆心为 C(a, 0)(a>0),则圆 C 的方程为(x-a)2+y2=4, | 3a ? 4 | 因为圆 C 与 3x-4y+4=0 相切,所以 ? 2, 即| 3a ? 4 |? 10 , 32 ? 4 2
·6·

…………1 分 …………4 分

解得 a=2 或 a ? ? 14 (舍去) , …………5 分 3 所以圆 C 的方程为(x-2)2+y2=4. …………6 分 (II)假设符合条件的直线 l 存在,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx-3, ∵直线 l 与圆相交于不同两点,则圆心 C 到直线 l 的距离

d?

| 2k ? 3 | k ?1
2

? r ? 2 ,解得 k ?

5 , 12

…………9 分

直线 m 的方程为 y ? 3 ? ? 1 ( x ? 3) , 即 x+ky+3k-3=0. k 由于直线 m 垂直平分弦 AB,故圆心 C(2,0)必在直线 m 上, 解得 k ?
1 5 而 ? ( ,?? ) , 3 12

1 . 3

……12 分

故不存在直线 l,使得过点 Q(3, -3)的直线 m 垂直平分弦 AB. 19.(本小题满分 14 分) 3 1 解: (I)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 | v ? 4 | ? , 20 2 100 3 1 5 ( | v ? 4 | ? ) ? (3 | v ? 4 | ?10) . 故y? v 20 2 v 5 110 ? 15 (II)由(I)知,当 0<v?4 时, y ? (22 ? 3v) ? v v 5 10 当 4<v?10 时, y ? (3v ? 2) ? ? ? 15 v v
? 110 ? v ? 15, 0 ? v ? 4 . 故 y ? ? 10 ?? ? 15, 4 ? v ? 10 ? v

…………14 分 …………3 分 …………6 分

…………10 分

在(0,4]上,y 是关于 v 的减函数;在(4,10]上,y 是关于 v 的增函数; …………12 分 25 y min ? 2 . 则当 v=4 时, 故移动速度 v=4 时,使总淋雨量 y 最少. 20.(本小题满分 14 分) 解:(I)∵对于任意 x?R 都有 f(1+x)=f(1-x), ∴函数 f(x)的对称轴为 x=1,得 b=-2a. ……2 分 2 又函数 y=f(x)+2x= ax +(b+2)x+1 为偶函数, ∴b= -2.a=1. 2 2 ∴f(x)= x -2x+1= (x-1) . 2 x (II)设 h(x)= f(x)+g(x)= (x-1) +1-2 , 0 ∵ h(0)=2-2 = 1>0,h(1)= -1<0,∴ h(0)h(1)<0. 2 x 又∵(x-1) , -2 在区间[0,1]上均单调递减, 所以 h(x)在区间[0,1]上单调递减, ∴ h(x)在区间[0,1]上存在唯一零点. 故方程 f(x)+g(x)=0 在区间[0, 1]上有唯一实数根. (注:若用图象说明,视说理情况酌情给部分分数) 2 x (III)由题可知∴f(x)=(x-1) ?0.g(x)= 1-2 <1,
·7·

…………14 分

…………4 分 …………6 分 ……………8 分 …………9 分 …………11 分

若有 f(m)=g(n),则 g(n)?[0, 1), n 则 1-2 ?0,解得 n?0. 故 n 的取值范围是 n?0.

…………13 分 …………14 分

·8·



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