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新疆乌鲁木齐2015年高三年级第一次诊断性测验理科数学试卷



新疆乌鲁木齐 2015 年高三年级第一次诊断性测验 理科数学试卷
第Ⅰ卷 (选择题
一、 1. 已知集合 M ? {x | x ? 0}, N ? {?2, 0,1} ,则 M

共 60 分)

选择题:共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

N?

r />
A. {x | x ? 0}
2.在复平面内复数 z ?

B. {?2, 0}
1 ? 2i 对应的点在 1? i B. 第二象限

C. {x | ?2 ? x ? 0}

D. {0,1}

A. 第一象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3.设函数 f ( x) 满足 f (sin ? ? cos ? ) ? sin ? cos ? ,则 f (0) ?

A. ?

1 2
x

B. 0

C.

1 2

D.

4. " ?x ? R, e ? 2 ? m " 是 "log 2 m 2 ? 1" 的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件 C. 充要条件
? ?

D. 既不充分也不必要条件

5.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ), ? ? ?

??

? 的图像向左平移 个单位后的图像关于原点对称,则函数 f ( x) 在 6 2?

?

[0, ] 上的最小值为 2
A

?

A.
3 2

3 2

B.

1 2

C.

1 ? 2

D.
2 2

?

C

1 主视图

B

1 侧视图

6.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,侧视图为等腰三角形,俯视图为 正方形,则这个几何体的体积为

A.

1 3

B.

2 3

C.

D.

7.已知 x, y 分别是区间 [0,

?
2

4 3

1 俯视图

] 内随机取得实数,则使得 y ? sin x 的概率是 2

A.

4

?

2

B.

?

C.

1 2

D.

2

?2

8.设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, a2 ? 2 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ?

A.

n2 7n ? 4 4

B.

n 2 3n ? 2 2

C.

n 2 3n ? 4 4

D.

n2 n ? 2 2

9.执行如图程序在平面直角坐标系上打印一系列点,则打印出的点在圆 x ? y ? 10 内的个数是
2 2

A. 2
10.若双曲线

B. 3

C. 4

D. 5

x2 y 2 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 相离,则其离心率 e 的取值范围是 2 a b

A. e ? 1
2

B. e ?

1? 5 2

C. e ?

2 3 3

D. e ?

5 2

11.过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线 A, B ,交其准线与点 C ,若 , | AF |? 3 ,则抛物线的 方程为

A. y 2 ? 12 x

B.

y2 ? 9x

C. y 2 ? 6 x

D. y 2 ? 3 x

12.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 an ? S n ? 1 ,则 S n 的取值范围是

A. (0,1)

B.

(0, ?? )

1 C. [ ,1) 2

1 D. [ , ??) 2

第Ⅱ卷 (非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生

都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
?2 x ? y ? 4 ? 13.已知 x, y 满足条件 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? 2 y ? 2 ?
14.正三角形 ABC 的边长为 2

3 ,将它沿高 AD 翻折,使二面角 B ? AD ? C 的大小为

?
3

,则四面体 ABCD

的外接球的体积为 15.在 ?PQR 中,若 ,则 ?PQR 面积的最大值为 16.已知函数 f ( x) ? x ? 3a x ? 6a ? 3a (a ? 0) 有且仅有一个零点 x0 ,若 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是
3 2 2

三.解答题:第 17~21 题每题 12 分,解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证 明过程或演算步骤。
17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a cos B ? b cos A ? (1)求证 tan A ? 3 tan B 。 (2)若 B ? 45 , b ? 5 ,求 ?ABC 的面积。 18.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BCA ? 90 , AC ? BC ? AA1 ? 2 , E , F 分别是 CC1 , A1 B1 的中点。

1 c。 2

(1)求证 AE ? 平面BCF ; (2)求二面角 A ? CF ? B 的平面角的余弦值。 19.某市现有居民 300 万人,每天有 1% 的人选择乘出租车出行,记每个人的乘车里程为 x(km) ,1 ? x ? 21 。由 调查数据得到 x 的频率分布直方图(如图) 。在直方图的乘车里程分组中,可以用各组的区间中点值代表该组的 各个值, 乘车里程落人该区间的频率作为乘车里程取区间中点值得概率。 现规定乘车里程 x ? 3 时, 乘车费用为10 元;当 x ? 3 时,每超出 1km (不足 1km 时按 1km 计算) ,乘车费用增加 1.3 元。

(Ⅰ)求从乘客中任选 2 人乘车里程相差超过 10km 的概率; (Ⅱ)试估计出租车公司一天的总收入是多小?(精确到 0.01 万元) 20.已知椭圆

x2 y2 2 , F1 , F2 是其焦点,点 P 在椭圆上。 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的,离心率为 2 a b 2
?

(Ⅰ)若 ?F1 PF2 ? 90 ,且 ?PF1 F2 的面积等于。求椭圆的方程; (Ⅱ)直线 PF1 交椭圆于另一点 Q ,分别过点 P, Q 作直线 PQ 的垂线,交 x 轴于点 M , N , 当 | MN | 取最小值时,求直线 PQ 的斜率。 21.已知函数 f ( x) ? ln(a ? x) ? ln(a ? x)(a ? 0) (1)曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 2 x ,求 a 的值; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ?

2 x3 ,试求 a 的取值范围。 3

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2 B 铅笔 在答题卡上把所选题目的题号涂黑
22.(本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 过以 AB 为直径的圆上 C 点作直线交圆于 E 点, 交 AB 挺长线于 D 点, 过 C 点作圆的切线交 AD 于 F 点, 交 AE 挺长线于 G 点,且 GA ? GF 。

(Ⅰ)求证 CA ? CD ; (Ⅱ)设 H 为 AD 的中点,求证 BH ? BA ? BF ? BD 23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中, P 是直线 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的一点, Q 是射线 OP 上的一点,满足 | OP | ? | OQ |? 1 。 (Ⅰ)求 Q 点的轨迹;

(Ⅱ)设点 M ( x, y ) 是(Ⅰ)中轨迹上任意一点,求 x ? 7 y 的最大值。 24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | , a ? 0 (Ⅰ)证明 f ( x) ? f (? ) ? 2 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? f (2 x) ?

1 x

1 的解 2 集非空,求 a 的取值范围。 2

乌鲁木齐地区 2015 年高三年级第一次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 B 2 B 3 A 4 A 5 D 6 A 7 A 8 D 9 B 10 C 11 D 12 C

1.选 B.【解析】∵ M ? x x ? 0 , N ? ??2, 0,1? ,∴ M 2.选 B.【解析】∵ z ?

?

?

N ? ??2, 0? ,故选 B.

1 ? 2i ?1 ? 2i ??1 ? i ? 1 3 ? 1 3? ? ? ? ? i ,对应的点为 ? ? , ? 在第二象限,故选 B. 1? i 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ? ? 2 2?

3.选 A.【解析】依题意,令 sin ? ? cos ? ? 0 ,∴ sin 2 ? ? cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? 0 , ∴ 1 ? 2sin ? cos ? ? 0 ,故 sin ? cos ? ? ?

1 1 ,∴ f ? 0 ? ? ? ,故选 A. 2 2

2 x 4.选 A.【解析】∵ e x ? 0 ,∴ e - 2 > - 2 ,又 ?x ? R, e ? 2 ? m ,∴ m ? ?2 ;由 log 2 m 2 ? 1 ,得 m ? ? 2 ,

或m ?

2 ;∵ “ m ?

2 ”? “ m < -

2 ,或 m >

2 ”故选 A.
P

5.选 D.【解析】 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 的图象向左平移

?
6

个单位得

? ? ? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? , 它 的 图 象 关 于 原 点 对 称 , ∴ 3 ? ?
即 ? ? k? ?

?
D

3
C

? ? ? k? ? k ? Z ? ,

?
3

, 又

? ?

?
2

, ∴ ? ??

?
3

, ∴

A B

?? ? ? ? 2? ? ? ? ?? ? ?? f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ∵ x ? ?0, ? , ∴ 2 x ? ? ? ? , ? , ∴ f ? x ? 在 ?0, ? 上 的 最 小 值 为 3? 3 ? 3 3 ? ? ? 2? ? 2?
f ? 0? ? ? 3 ,故选 D. 2

6.选 A.【解析】该几何体的直观图如图所示:为一四棱锥,其底 面 ABCD 是正方形, PC ^ 平面 AC , AC = 1 , PC = 2 .

1 ,∴正方形 2 1 1 1 1 1 ABCD 的面积 S = ,∴V = Sh = 创 2 = .故选 A. 2 3 3 2 3
AD 2 + DC 2 = AC 2 ,又 AD = DC ,∴ AD 2 =

7. 选 A. 【 解 析 】 已 知 x, y 都 是 区 间 ? 0,

? ?? 内 任 取 的 一 个 实 数 , 则 x, y 满 足 的 区 域 面 积 是 由 ? 2? ?

x ? 0, x ?
?

?
2

, y ? 0, y ?
?
2 0

?
2

围成的正方形,其面积是

? ?
2 ? 2

?

?2
4

, 而 满 足 y ? sin x 的 区 域 面 积 为

?

2 0

sin xdx ? ? cos x

? 1∴ P ?

1

?

2

?

4

?2

.故选 A.

4
2 8.选 D. 【解析】 设 ?an ? 的公差为 d , ∴ a1 ? 2 ? d , a3 ? 2 ? d , a9 ? 2 ? 7 d , 又 a1 , a3 , a9 成等比数列, ∴ a3 ? a1a9 ,

即 ? 2 ? d ? ? ? 2 ? d ?? 2 ? 7 d ? , d ? 0 ,故 d ? 1 , a1 ? a2 ? d ? 1 ,∴ S n ? na1 ?
2

n ? n ? 1? n2 n d ? ? ,故选 2 2 2

D.

骣 1÷ 2, ÷, i = 4 ;执行第 3 次运算 9.选 B.【解析】执行第 1 次运算打印点 (1,1) , i = 5 ;执行第 2 次运算打印点 ? ? ? ÷ 桫2 骣 1÷ 骣 1÷ 骣 1÷ ? ? 打印点 ? ?3, ÷ ÷, i = 3 ;执行第 4 次运算打印点 ?4, ÷ ÷, i = 2 ;执行第 5 次运算打印点 ?5, ÷ ÷, i = 1 ;执行第 6 ? 桫3 ? 桫4 ? 桫5 骣 1÷ 骣 1 ÷ 骣 1÷ 2 2 ? ? 次运算打印点 ? ?6, ÷ ÷, i = 0 ;结束循环,其中在圆 x ? y ? 10 内的点有 (1,1) , ?2, ÷ ÷, ?3, ÷ ÷共 3 个,故选 ? 桫6 ? 桫2 ? 桫3
B.

x2 y2 10.选 C.【解析】双曲线 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? 的渐近线是 y = a b

b x ,圆 a

? x ? 2?
化简得

2

? y ? 1 的圆心是 (2,0) ,半径是,依题意,有
2

2b a2 + b 2

> 1 ,即

4(c 2 - a 2 ) c2

>1

2 3 c2 4 .故选 C. > ,即 e ? 2 a 3 3

11.选 D.【解析】分别过 A,B 点作准线的垂线,垂足分别为 A1,B1 , ∴ BF ? BB1 , AA1 ? AF . 又 ∵ BC ? 2 BF , ∴ BC ? 2 BB1 , ∴ ?CBB 1 ? 60 ∴

? AFD
故选 D.

? CFO

60 ,又 AF = 3 ,∴ FD ?

3 3 3 , ∴ AA1 ? p ? ? 3 , ∴p? , ∴抛物线方程为 y 2 ? 3 x . 2 2 2
1 ; 当 n ? 2 时 , an ?1 ? S n ?1 ? 1 , 两 式 相 减 , 得 2

12. 选 C. 【 解 析 】 已 知 an ? S n ? 1 , 当 n = 1 时 , 得 a1 =

an - an - 1 + an = 0 , 2an = an - 1 ,由题意知, an - 1 ? 0 ,∴

an 1 1 = (n ? 2) ,∴数列 ?an ? 是首项为 ,公 an - 1 2 2

1 比为 的等比数列,∴ S n = 2

1轾 犏 12犏 犏 臌 1-

骣 1÷ ? ÷ ? ? 桫 2÷ 1 2

n

骣 1÷ = 1- ? ÷, ? ? 桫 2÷
2x+y=4 y

n

∴ S n ? ? ,1? .故选 C. ?2 ? 二、填空题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.填 2 .【解析】如图可知 z ? x ? 2 y 的最小值是 2 . 14.填
o

?1 ?

x-y=1 x-2y=2 x x+2y=z

13 13p .【解析】由题意得四面体 ABCD 是底面边长 6



3 的正三角

形,侧棱 AD 垂直底面,且 AD ? 3 , AB ? AC ? 2 3 , BD ? BC ? DC ?
2

3 ,则外接球球心在过底
13 2

面中心垂直于底面的垂线上,且到底面的距离等于 AD 的一半,∴ R =

骣 3 2 ? ÷ +1 = ? ÷ ? 桫 2÷

4 4 骣 ? 13 ÷ ÷ ∴V 球 = p R 3 = p ? ÷ ? 3 3 ? 桫2 ÷

3

13 13p . 6

15.填 12 .【解析】在 D PQR 中设 行 P , Q , R 所对的边分别为 p , q , r 由题意知: qr cos ? P

cos P + q 2 = 36 7 , (PQ - PR ) = 36 ,即 r 2 - 2qr 仔

2

可知 r + q = 50 又 sin ? P

2

2

1 - cos ? P

2

骣 7 ÷ 1- ? ? ÷ ÷ ? qr ÷ 桫

2

∴ S D PQR = 而 2qr ? r 2

1 rq sin ? P 2

1 49 1 2 rq 1 = (qr ) - 49 2 2 (qr ) 2

q 2 = 50 ,当且仅当 q = r = 5 时等号成立
1

2 所以,当且仅当 q = r = 5 时 ( S D PQR )max = 2 25 - 49 = 12

16.填

32

3

< a<

3+ 3 .【解析】已知 f (x ) = x 3 - 3a 2 x - 6a 2 + 3a (a > 0) 2

( x) = 3x 2 - 3a 2 则 f? ( x) ? 0 恒成立,则 a = 0 ,这与 a > 0 矛盾. ① f? ( x) ? 0 恒成立,显然不可能. ②若 f ?
③ f? ( x) = 0 有两个根 a , - a ,而 a > 0 ,则 f (x ) 在区间 (- ? , a ) 单调递增,在区间 (- a , a ) 单调递减,在区 间 (a , + 解得:

) 单调递增.故 f (- a ) < 0 ,即 2a 2 - 6a + 3 < 0 ,
33 < a<

3+ 3 . 2 2 三、解答题:共 6 小题,共 70 分. 17. (12 分) 1 (Ⅰ)∵ a cos B - b cos A = c 由正弦定理得 2 1 1 1 sin A cos B - sin B cos A = sin C = sin 轾 p - (A + B ) = sin (A + B ) 臌 2 2 2 1 ∴ sin A cos B - sin B cos A = (sin A cos B + cos A sin B ) 2 1 3 即 sin A cos B = sin B cos A ,易知 A 拱90 ,且 B 拱90 , 2 2 1 上式两边除以 cos A cos B ,得 tan A = 3tan B ?????????????? 6 分 2
(Ⅱ)∵ tan A = 3 ,∴ sin A = 由

3 10 10 , , cos A = 10 10

a b = ,又 b = sin A sin B

5 , B = 45 ,得 a = 3
3 10 2 ? 10 2 10 2 ? 10 2 2 5 5

而 sin C = sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B =

∴ S D ABC = 18. (12 分)

1 1 ab sin C = 创3 2 2

5?

2 5 5

3

?12 分
B

z
C A

(Ⅰ)根据题意,建立如图空间直角坐标系 C 1 - xyz : 则 A (0, 2, 2), B (2,0, 2),C (0,0, 2), E (0,0,1), F (1,1,0)

E

C1 F

A1

y

AE = (0, - 2, - 1), BC = (- 2,0,0), BF = (- 1,1, - 2)
x

B1

∵ AE ?BC

0

AE ?BF

0 ∴ AE ^ BC , AE ^ BF
B

即 AE ^ BC , AE ^ BF ,又 BC ? 平面 BCF ,且 BC ? BF ∴ AE ^ 平面BCF ?? ??6 分 (Ⅱ)设平面 ACF 的法向量 n1 = ( x, y, z ) ∵ CA = (0, 2,0),CF = (1,1, - 2)

ì ? n1 ?CA 由? í ? ? ? n1 ?CF

0

ì 2y = 0 ? 得? ,令 z = 1 ,得 x = 2 ,∴ n1 = (2,0,1) í 0 ? ? ? x + y - 2z = 0

同理可得平面 BCF 的一个法向量 n2 = (0, 2,1) ,∴ cos n1 , n2 =

n1 ×n2 1 = n1 n2 5

由图判断二面角 A - CF - B 的平面角为钝角,∴其余弦值为 -

1 .???12 分 5

19. (12 分) 根据题意得到 x 取的各组中点值依次为 3, 7,11,15,19 ; x 取这些中点值的概率依次为 0.25, 0.4, 0.2, 0.1, 0.05

3 km 和 15 km; 3 km 和 19 km; 7 km 和 19 km. (Ⅰ) 从乘客中任选 2 人, 其乘车里程相差超过 10 km 有 3 种情况: ∴ 从 乘 客 中 任 选 2 人 , 其 乘 车 里 程 相 差 超 过 10km 的 概 率 为 : P ? 0.25 ? 0.1 ? 0.25 ? 0.05 ? 0.4 ? 0.05 ? 0.0575 ?????????? 5 分 (Ⅱ)答案一: 依题意乘客被简化为只有五类,其乘车里程依次为 3km,7km,11km,15km,19km. 乘车里程为 3km 的乘客其打车总费用 300 ? 1% ? 0.25 ?10=7.5 (万元)
乘车里程为 7km 的乘客其打车总费用 300 ? 1% ? 0.4 ? ?10+1.3 ? 4 ? =18.24 (万元) 乘车里程为 11km 的乘客其打车总费用 300 ? 1% ? 0.2 ? ?10+1.3 ? 8 ? =12.24 (万元) 乘车里程为 15km 的乘客其打车总费用 300 ? 1% ? 0.1? ?10+1.3 ?12 ? =7.68 (万元) 乘车里程为 19km 的乘客其打车总费用 300 ? 1% ? 0.05 ? ?10+1.3 ? 16 ? =4.62 (万元) ∴出租车公司一天的总收入为 7.5+18.24+12.24+7.68+4.62=50.28 (万元)?12 分

答案二: 依题意,将乘客按其乘车里程分为五组,分别计算每一组乘客的乘车总费用为: 第一组:

300 ?1% ? ? ?10 ? 2 ? 0.0625+ ?10+1?1.3? ?1? 0.0625+ ?10+2 ?1.3 ? ?1? 0.0625? ?
1% 0.0625创轾 40+ (1+2) 1.3 =8.23125 = 300 创 臌
第二组:

8.23 (万元)

300 创 1% 轾 1.3) 1创0.1+ (10+4 1.3)创 1 0.1+ (10+5创 1.3) 1创0.1+ (10+6 1.3)创 1 0.1 (10+3创 臌 300 创 1% 0.1创轾 40+ (3+4+5+6) 1.3 =19.02 (万元) 臌
第三组:

=

300 创 1% 轾 1.3) 1创0.05+ (10+8 1.3)创 1 0.05+ (10+9 创 1.3) 1创0.05+ (10+10 1.3)创 1 0.05 (10+7 创 臌

1% 0.05创轾 40+ (7+8+9+10) 1.3 =12.63 (万元) = 300 创 臌
第四组:

300 创 1% 轾 1.3) 1创0.025+ (10+12 1.3)创 1 0.025+ (10+13创 1.3) 1创0.025+ (10+14 1.3)创 1 0.025 (10+11创 臌

1% 0.025创轾 40+ (11+12+13+14) 1.3 =7.875 = 300 创 臌
第五组:

7.88 (万元)

300 创 1% 轾 1.3) 1创0.0125+ (10+16 1.3)创 1 0.0125+ (10+17 创 1.3) 1创0.0125+ (10+18 1.3)创 1 0.0125 (10+15创 臌

1% 0.0125创轾 40+ (15+16+17+18) 1.3 =4.7175 = 300 创 臌

4.72 (万元)

∴出租车公司一天的总收入为 8.23+19.02+12.63+7.88+4.72=52.48 (万元)???? 12 分 以上两种答案均视为正确. 20. (12 分) (Ⅰ)已知椭圆

x2 y2 2 c 2 ,即 = ,又∵ c 2 = a 2 - b 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 2 a b 2 a 2 1 ∵ ? F1 PF2 90 ,∴ SD F1PF2 = PF1 ? PF2 1 , 2
由 点 P 在 椭 圆 上 , ∴

∴ a 2 = 2b 2



PF1 + PF2 = 2a , 在 Rt D F1PF2 中 ,
x2 + y 2 = 1 ?????????? 5 分 2

PF1 + PF

2

2 2

= 4c 2

2 2 可得 b = 1 , a = 2 ∴椭圆的标准方程为

(Ⅱ)不妨设 F1 是左焦点, P (x 1 , y 1 ) , Q (x 2 , y 2 ) 依题意知 PQ ^ PM , PQ ^ QN ,点 M , N 分别在 x 轴上,∴ 直线 PQ 的倾斜角不等于 90° . 设直线 PQ 的斜率为 k ,倾斜角为 q ,则直线 PQ 的方程为: y = k (x + c )

ì y = k ( x + c) ? ? 解方程组 ? ,得: (b 2 + a 2 k 2 )x 2 + 2a 2ck 2 x + a 2c 2 k 2 - a 2b 2 = 0 í x2 y 2 ? + 2 =1 ? 2 ? b ? ?a
设此方程的两个根为 x 1 , x 2 ,由韦达定理得 x1 + x2 = 且 y 1 = k (x 1 + c ) , y 2 = k (x 2 + c ) 可得 PQ =

- 2a 2 ck 2 a 2 c 2 k 2 - a 2b 2 , x1 x2 = 2 2 2 b +a k b2 + a 2 k 2

( x 1 - x 2 ) + ( y 1 - y 2 ) = 1 + k 2 ? (x 1 x 2 ) - 4 x 1 x 2
2

2

2

2

骣 2a 2 k 2c ÷ 2ab 2 (1 + k 2 ) a 2 k 2c 2 - a 2b 2 ÷ = 1+ k 2 ? ? 4 = ? 2 2 2÷ ? b 2 + a2k 2 b 2 + a 2k 2 桫b + a k ÷

故 MN = 又∵ e = ∴ MN
2

PQ cos q

=

2ab 2 (1 + k 2 ) 1 + k 2 b 2 + a2k 2



c 2 , a 2 = b 2 + c 2 ∴ a 2 = 2b 2 = a 2

=

4a 2 (1 + k 2 )3 ,令 t = 1 + k 2 (t (1 + 2k 2 ) 2

1) , f (t ) =

t3 (2t - 1) 2

则 f? (t ) =

3t 2 (2t - 1) 2 - 4(2t - 1)t 3 t 2 (2t - 1)(2t - 3) = (2t - 1) 4 (2t - 1) 4

(t ) = 0 ,得 t = 0 ,或 t = ∴ f?
当 1 #t

3 1 ,或 t = 2 2

轾3 3 1, 上为减函数, (t ) ? 0 ,故函数 f (t ) 在 犏 时, f ? 犏 2 臌2 ÷ ÷ ÷上为增函数,



骣 3 3 ,+ < t 时, f ? (t ) > 0 ,故函数 f (t ) 在 ? ? ? 桫 2 2

骣 3 ÷ 27 ∴ f (t ) 有最小值 f ? , ÷= ? ? 桫 2 ÷ 32
∴ MN 取最小值

3 3 6a 时, 1 + k 2 = ,即 k = 2 4

2 .?????????? 12 分 2

21. (12 分) (Ⅰ)已知 f (x ) = ln(a + x ) - ln(a - x ) (a > 0) 则 f ' (x ) =

1 1 2a + = 2 , a+ x a- x a - x 2
∴a = 1 ????? 4 分

f ' (0) =

2a 2 2 = ,由题意知 f ' (0) = 2 ,∴ = 2 2 a a a

(II)令 g (x ) = f (x ) - 2x -

2x 3 (x 3

0)

? 骣 2 x3 ÷ 2a ÷ 则 gⅱ ( x) = ? f ( x ) 2 x = f ( x) - 2 - 2 x 2 = 2 - 2 - 2x2 ? ÷ ? 3 ÷ a - x2 桫

=
i)当 0 < a 当0? x

2 ( x 4 - (a 2 - 1) x 2 + a - a 2 ) 2 a - x
2

1 时, a 2 - 1 0 , a - a 2

0

a 时, x 4 - (a 2 - 1)x 2 + a - a 2

0 ,即 g ? ? x ? ? 0

∴函数 g (x ) 在 [0, a ) 上为增函数 ∴ g (x ) ? g (0)

0 ,即当 0 < a

1 时, f (x ) ? 2x

2x 3 3

ii)当 a > 1 时, a 2 - 1 > 0 , a - a 2 < 0 ∴0< x <

x 2 - (a 2 - 1) < 0 a 2 - 1 < a 时, x 2 - (a 2 - 1) < 0 , x 2 轾 犏 臌

从而 x 4 - (a 2 - 1)x 2 + a - a 2 < 0 ,即 g ? ? x ? ? 0 从而函数 g (x ) 在 0, a 2 - 1 上为减函数 ∴当 0 < x <

(

)

a 2 - 1 时 g (x ) < g (0) = 0 ,这与题意不符
2x 3 , a 的取值范围为 0 < a 3

综上所述当 x ? 0 时, f (x ) ? 2x

1

????? 12 分

22. (10 分) (Ⅰ)∵ GA = GF ∴ ? GAF GFA , ∵ GC 与圆相切于 C ∴ ? EAC ∵ ? GAF ? EAC 行 CAD, GFA = ? FCD CDA ,∴ ? CAD

? GCE CDA

FCD

∴ CA = CD . ???????????????????????? 5 分 (Ⅱ)∵ H 为 AD 的中点, CA = CD ,∴ CH ^ AB ,连结 BC , ∵ AB 是直径, C 点在圆上∴ ? ACB 90 , ∴ BH ?BA BC 2 , CAB, CAB = CDA ,∴ ? BCF ∵ ? BCF 行 DBC , D ,又∵ ? CBF ∴ D CBF ∽ D DBC ,∴ 故 BH ?BA 23. (10 分) (Ⅰ)以 O 为极点, Ox 为极轴,建立极坐标系,设点 Q , P 的极坐标分别为 (r , q) , (r 1 , q) , 由题意 r ?r 1

CB BF = DB BC

∴ BC 2 = DB BF , ????? 10 分

BF BD .

1 , r ? 0 ,得 r 1 =

骣 1 cos q sin q ÷ ÷ ,∴点 P 的直角坐标为 ? , ? ÷, ? r r ÷ 桫r

P 在直线 2x + 2 y - 1 = 0 上,∴

2cos q 2sin q + - 1 = 0 , r = 2cos q + 2sin q , r r
0) ,

化成直角坐标方程得 (x - 1) 2 + ( y - 1) 2 = 2 (x 构0, 且y

∴ Q 点的轨迹是以 (1,1) 为圆心, 2 为半径的圆(原点除外) . ???????5 分

ì ? x = 1 + 2 cos j (Ⅱ) Q 点轨迹的参数方程为 ? í ? ? ? y = 1 + 2 sin j

(j 为参数,j ?

5p ) 4

则 x + 7 y =1+ 2 cos q + 7 + 7 2 sin q = 8 + 10sin(j + a ) ,其中 tan a = ∴ x + 7 y 的最大值是 18. 24. (10 分) (Ⅰ) f ( x) + f (-

1 7 ???????????????10 分

1 1 ) = x - a + - - a ? (x x x
= x+ 1 1 = x+ x x 2

a ) - (-

1 - a) x

??????????????5 分

ì ? ? ? ? 2a - 3x ? ? ? ? (Ⅱ)函数 y = f (x ) + f (2x ) = x - a + 2x - a = ? í- x ? ? ? ? ? ? 3x - 2a ? ? ? ?
函数的图象为:
y

(x
骣 ? a< x ? ? 桫

a) a÷ ÷ 2÷

骣 a÷ ? x> ÷ ? ? 桫 2÷

a

a 2

o

x

a a a 1 时, y min = - ,依题意, - < ,则 a > - 1 2 2 2 2 ∴ a 的取值范围是 - 1 < a < 0 ??????????????????????10 分
当x =

以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.



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