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高中数学(人教新课标理) 洞察高考43个热点《热点十二 考查三角函数的图象和性质 》


专题一 高考中选择题、

填空题解题能力大突破

考查三角函数的图象和性质
【例 27】? (排除法)(2010· 新课标全国)如图, 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1, 那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象 大致为 ( ).

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解析 法一 (排除法)当 t=0 时,P 点到 x 轴的距离为 2,排 除 A、 又∵d 表示点 P 到 x 轴距离, D, ∴图象开始应为下降的, ∴排除 B,故选 C. 法二 由题意知
? ? ? π? π?? P?2cos?t-4?,2sin?t-4??, ? ? ? ? ?? ? ? π ?? d=|y0|=2?sin?t-4??, ? ? ??

∴P 点到 x 轴的距离为

π 当 t=0 时,d= 2;当 t=4时,d=0.故选 C. 答案 C

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【例 28】? (2011· 全国)设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y=f(x) π 的图象向右平移3 个单位长度后,所得的图象与原图象重 合,则 ω 的最小值等于 1 A.3 B.3 C.6 D.9 ( ).

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解析

π 将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到 y= 3
? π ? cos?ωx-3ω?=cos ? ?

? ? π ?? cos?ω?x-3??,所得图象与原图象重合,所以 ? ? ??

π ωx,则- ω=2kπ,得 ω=-6k(k∈Z).又 ω>0,所以 ω 的最 3 小值为 6,故选 C. 答案 C

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【例 29】 (2012· ? 新课标全国)已知 ω>0, 函数
?π ? 在?2,π?上单调递减,则 ? ? ?1 5? A.?2,4? ? ? ? 1? C.?0,2? ? ?

? π? f(x)=sin?ωx+4? ? ?

ω 的取值范围是

(

).

?1 3? B.?2,4? ? ?

D.(0,2]

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解析

? π? 函数f(x)=sin?ωx+4?的图象可看作是由函数f(x)=sin ? ?

x的

? π? π 图象先向左平移 4 个单位得f(x)=sin ?x+4? 的图象,再将图象上 ? ? 1 所有点的横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标不变得到的,而函 ω ? ?π 5π? π? 数f(x)=sin?x+4?的减区间是?4, 4 ?, ? ? ? ?

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所以要使函数f(x)=sin ?π 1 π ?4×ω≤2, ? ?5π× 1 ≥π, ?4 ω 答案 A

? π? ?ωx+ ? 4? ?



?π ? ? ,π? ?2 ?

上是减函数,需满足

1 5 解得2≤ω≤4.

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命题研究:求函数的最小正周期,单调区间、奇偶性、定义域、

值域以及复合函数的有关性质是命题的方向,多以图象变换考
题为主.

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[押题 21] 已知函数 f(x)=2cos(ωx+φ)+b 对任意实数 x 有
? ?π ? π ? ?π ? f?x+8?=f?8-x?成立,且 f?8?=1,则实数 ? ? ? ? ? ?

b 的值为

(

). B.3 D.-3

A.-1 C.-1 或 3

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答案:

C

? π? ?π ? [f?x+8?=f?8-x?, 即函数 ? ? ? ?

f(x)=2cos(ωx+φ)+b 关于

?π? ?π ? ?π ? π 直线 x= 对称,则 f?8?=2+b 或 f?8?=b-2.又 f?8?=1,所以 b 8 ? ? ? ? ? ?

+2=1 或 b-2=1,即 b=-1 或 3.]

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[押题 22] 函数 f(x)=3

? π? sin?2x-3?的图象为 ? ?

C,如下结论中正确

的是________(写出所有正确结论的编号). 11 ①图象 C 关于直线 x= π 对称; 12 ②图象 C ③函数
?2π ? 关于点? 3 ,0?对称; ? ?

? π 5π? f(x)在区间?-12,12?内是增函数; ? ?

π ④由 y=3 sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到 3 图象 C.
答案: ①②③
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