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奥赛培训讲义---第六部分---《热学》



奥赛培训讲义《热学》

第六部分 热学
热学知识在奥赛中的要求不以深度见长, 但知识点却非常地多 (考纲中罗列的知识点几乎和整 个力学——前五部分——的知识点数目相等) 。而且,由于高考要求对热学的要求逐年降低(本届 尤其低得“离谱” ,连理想气体状态方程都没有了) ,这就客观上给奥赛培训增加了负担。因此, 本部分只能采新授课的培训模式,将知识点和例

题讲解及时地结合,争取让学员学一点,就领会 一点、巩固一点,然后再层叠式地往前推进。

一、分子动理论
1、物质是由大量分子组成的(注意分子体积和分子所占据空间的区别) 对于分子(单原子分子)间距的计算,气体和液体可直接用 3 分子占据的空间 ,对固体,则与 分子的空间排列(晶体的点阵)有关。 【例题 1】如图 6-1 所示,食盐(NaCl)的晶体是由钠离子(图 中的白色圆点表示)和氯离子(图中的黑色圆点表示)组成的,离 - 子键两两垂直且键长相等。已知食盐的摩尔质量为 58.5 × 10 3 3 3 23 -1 kg/mol, 密度为 2.2×10 kg/m , 阿伏加德罗常数为 6.0×10 mol , 求食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心之间的距离。 【解说】题意所求即图中任意一个小立方块的变长(设为 a) 的 2 倍,所以求 a 成为本题的焦点。 由于一摩尔的氯化钠含有 NA 个氯化钠分子,事实上也含有 2NA 个钠离子(或氯离子) ,所以每个钠离子占据空间为 v =
Vmol 2NA
3

而由图不难看出,一个离子占据的空间就是小立方体的体积 a , 即 a =
3

Vmol 2NA

=

M mol / ? ,最后,邻近钠离子之间的距离 l = 2NA
-10

2 a

【答案】3.97×10 m 。 〖思考〗本题还有没有其它思路? 〖答案〗每个离子都被八个小立方体均分,故一个小立方体含有 ×8 个离子 = 以…(此法普遍适用于空间点阵比较复杂的晶体结构。 ) 2、物质内的分子永不停息地作无规则运动 固体分子在平衡位置附近做微小振动(振幅数量级为 0.1 A ) ,少数可以脱离平衡位置运动。 液体分子的运动则可以用“长时间的定居(振动)和短时间的迁移”来概括,这是由于液体分子 2 间距较固体大的结果。气体分子基本“居无定所” ,不停地迁移(常温下,速率数量级为 10 m/s) 。 无论是振动还是迁移,都具备两个特点:a、偶然无序(杂乱无章)和统计有序(分子数比
1
0

1 8

1 分子,所 2

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率和速率对应一定的规律——如麦克斯韦速率分布函数,如 图 6-2 所示) ;b、剧烈程度和温度相关。 气体分子的三种速率。 最可几速率 vP : f(v) =
?N (其 N

中 Δ N 表示 v 到 v +Δ v 内分子数,N 表示分子总数)极大时 的速率,vP =
2 RT = ?

2kT m

;平均速率 v :所有分子速率的

算术平均值, v =

8 RT 8kT = ;方均根速率 v 2 :与分子平 ?? ?m 3RT 3kT = 〔其中 R 为普适气体恒量,R = 8.31J/(mol.K)。 ? m
-23

均动能密切相关的一个速率, v 2 = k 为玻耳兹曼常量,k =
R NA

= 1.38×10

J/K 〕

【例题 2】证明理想气体的压强 P =

2 n ?K ,其中 n 为分子数密度, ?K 为气体分子平均动能。 3

【证明】气体的压强即单位面积容器壁所承受的分子的 撞击力, 这里可以设理想气体被封闭在一个边长为 a 的立方 体容器中,如图 6-3 所示。 考查 yoz 平面的一个容器壁,P =
F a2



设想在Δ t 时间内,有 Nx 个分子(设质量为 m)沿 x 方 向以恒定的速率 vx 碰撞该容器壁, 且碰后原速率弹回, 则根 据动量定理,容器壁承受的压力 F =
?p N x ? 2mvx = ?t ?t



在气体的实际状况中,如何寻求 Nx 和 vx 呢? 考查某一个分子的运动,设它的速度为 v ,它沿 x、y、z 三个方向分解后,满足
2 v = v2 + v2 x y + vz

2

分子运动虽然是杂乱无章的,但仍具有“偶然无序和统计有序”的规律,即
v 2 = v2 x

+ v2 + v2 = 3 v2 z y x



这就解决了 vx 的问题。另外,从速度的分解不难理解,每一个分子都有机会均等的碰撞 3 个 容器壁的可能。设Δ t = Nx =
a ,则 vx

1 1 3 ·3N 总 = na 6 2 1 6



注意,这里的 是指有 6 个容器壁需要碰撞,而它们被碰的几率是均等的。
2

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结合①②③④式不难证明题设结论。 〖思考〗此题有没有更简便的处理方法? 〖答案〗有。 “命令”所有分子以相同的速率 v 沿+x、?x、+y、 ?y、 +z、 ?z 这 6 个方向运动 (这样造成的宏观效果和 “杂乱无章” 地运动时是一样的) ,则 Nx = N 总 =
1 6 1 3 na ;而且 vx = v 6

F 所以,P = 2 a

1 3 na ? 2m vx N x ? 2mvx 6 1 2 = = = nm v 2 = n ?K x 2 a 3 ?t ? a 3 2 ?a vx

3、 分子间存在相互作用力 (注意分子斥力和气体分子碰撞作用力 的区别) , 而且引力和斥力同时存在, 宏观上感受到的是其合效果。 分子力是保守力,分子间距改变时,分子力做的功可以用 分子势能的变化表示,分子势能 EP 随分子间距的变化关系如图 6-4 所示。 分子势能和动能的总和称为物体的内能。

二、热现象和基本热力学定律
1、平衡态、状态参量 a、凡是与温度有关的现象均称为热现象,热学是研究热现象的科学。热学研究的对象都是 有大量分子组成的宏观物体,通称为热力学系统(简称系统) 。当系统的宏观性质不再随时间变化 时,这样的状态称为平衡态。 b、系统处于平衡态时,所有宏观量都具有确定的值,这些确定的值称为状态参量(描述气 体的状态参量就是 P、V 和 T) 。 c、热力学第零定律(温度存在定律) :若两个热力学系统中的任何一个系统都和第三个热力 学系统处于热平衡状态,那么,这两个热力学系统也必定处于热平衡。这个定律反映出:处在同 一热平衡状态的所有的热力学系统都具有一个共同的宏观特征,这一特征是由这些互为热平衡系 统的状态所决定的一个数值相等的状态函数,这个状态函数被定义为温度。 2、温度 a、温度即物体的冷热程度,温度的数值表示法称为温标。典型的温标有摄氏温标 t、华氏 温标 F(F =
9 t + 32)和热力学温标 T(T = t + 273.15) 。 5

b、 (理想)气体温度的微观解释: ?K =

i kT (i 为分子的自由度 = 平动自由度 t + 转动 2

自由度 r + 振动自由度 s 。对单原子分子 i = 3 , “刚性” 〈忽略振动,s = 0,但 r = 2〉双原 子分子 i = 5 。对于三个或三个以上的多原子分子,i = 6 。能量按自由度是均分的) ,所以说温 度是物质分子平均动能的标志。 c、热力学第三定律:热力学零度不可能达到。 (结合分子动理论的观点 2 和温度的微观解释
3

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很好理解。 ) 3、热力学过程 a、热传递。热传递有三种方式:传导(对长 L、横截面积 S 的柱体,Q = K
4

T1 ? T2 SΔ t) 、对 L

流和辐射(黑体表面辐射功率 J = α T ) b、热膨胀。线膨胀 Δ l = α l0Δ t 【例题 3】如图 6-5 所示,温度为 0℃时,两根长度均为 L 的、均匀的不同金属棒,密度分别 为 ρ 1 和 ρ 2 ,现膨胀系数分别为 α 1 和 α 2 ,它们的一端粘合在一起并从 A 点悬挂在天花板上, 恰好能水平静止。若温度升高到 t℃,仍需它们水平静止平衡,则悬点应该如何调整? 【解说】设 A 点距离粘合端 x ,则 ρ 1(
L 2

? x)=ρ 2(

L 2

+ x) ,得:x =

L(?1 ? ?2 ) 2(?1 ? ?2 )

设膨胀后的长度分别为 L1 和 L2 ,而且密度近似处理为不变, 则同理有 ρ 1(
L1 L ? x′)=ρ 2( 2 2 2

+ x′) ,得:x′=

L1?1 ? L2?2 2(?1 ? ?2 )

另有线膨胀公式,有 L1 = L(1 + α 1t) ,L2 = L(1 + α 2t) 最后,设调整后的悬点为 B ,则 AB = x′? x 【答案】新悬点和原来的悬点之间相距
?1?1 ? ?2?2 Lt 。 2 (?1 ? ?2 ) L L ρ1 、 ρ2′= ρ2 , 此题仍然是可解的, L2 L1

〖说明〗 如果考虑到密度变化的实际情况ρ1′=

但最后的结果却复杂得多… c、系统由一个平衡态变化到另一个平衡态,即构成一个热力学过程。特殊的热力学过程有 等压过程、等温过程、等容过程、绝热过程和自由膨胀等。 准静态过程:如果变化过程相对缓慢,则过程的每一个状态可视为平衡态,这样的过程也称 为准静态过程。 循环:如果系统经过一系列的变化后,又回到原来的平衡态,我们成这个过程为循环。 d、热力学第一定律:外界对系统所做的功 W 和系统从外界吸收热量 Q 之和,等于系统内能 的增量Δ E ,即 Δ E = Q + W 。热力学第一定律是能量守恒定律在热力学过程中的具体体现。 e、热力学第二定律:克劳修斯表述(克劳修斯在 1850 年提出) :热量总是自动的从高温物 体传到低温物体, 不可能自动地由低温物体向高温物体传递。 开尔文表述 (开尔文在 1851 年提出) : 不存在这样一种循环过程,系统从单一热源吸取热量,使之完全变为有用功而不产生其他影响。 违背热力学第二定律并不违背能量守恒, 它所展示的是热力学过程的不可逆性——即自发的 热力学过程只会朝着混乱程度(熵)增大的方向发展。

三、理想气体
1、气体实验三定律
4

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在压强不太大,温度不太低的条件下,气体的状态变化遵从以下三个实验定律 a、玻意耳-马略特定律:一定质量气体温度不变时,P1V1 = P2V2 或 PV = 恒量 b、查理定律:一定质量气体体积不变时,
P1 T1

=

P2 P 或 T T2 V1 T1

= 恒量
V2 V 或 = 恒量 T T2

c、盖·吕萨克定律:一定质量气体压强不变时,

=

【例题 4】如图 6-6 所示,一端封闭、内径均匀的玻璃管 长 L = 100cm ,其中有一段长 L′= 15cm 的水银柱把一部分 空气封闭在管中。当管水平放置时,封闭气柱 A 长 LA = 40cm。 现把管缓慢旋转至竖直后,在把开口端向下插入水银槽中, 直至 A 端气柱长 LA? = 37.5cm 为止, 这时系统处于静止平衡。 已知大气压强 P0 = 75cmHg,过程温度不变,试求槽内水银进 入管内的水银柱的长度 h 。 【解说】在全过程中,只有 A 部分的气体质量是不变的, B 部分气体则只在管子竖直后质量才不变。 所以有必要分过程 解本题。 过程一:玻管旋转至竖直 A 部分气体,LA′=
75 PA LA = ×40 = 50cm ? 75 ? 15 PA

此时 B 端气柱长 LB′= L ? LA′? L′= 100 ? 50 ? 15 = 35cm 过程二:玻管出入水银槽 A 部分气体(可针对全程,也可针对过程二) , PA? =
? 50 LA ? ×60 = 80cmHg P = ? A 37 .5 LA

B 部分气体, LB? =

? P0 PB 75 ? ? ×35 ≈ 27.6cm L = LB = ? ? B 80 ? 15 PA ? PL? PB

最后,h = L - LA? ? L′? LB? 【答案】19.9cm 。 2、理想气体 宏观定义:严格遵守气体实验定律的气体。 微观特征:a、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略,分子不计重力势能;b、除了短暂 的碰撞过程外,分子间的相互作用可以忽略——意味着不计分子势能;c、分子间的碰撞完全是弹 性的。 *理想气体是一种理想模型,是实际气体在某些条件约束下的近似,如果这些条件不满足, 我们称之为实际气体,如果条件满足不是很好,我们还可以用其它的模型去归纳,如范德瓦尔斯 气体、昂尼斯气体等。
5

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理想气体压强的微观解释:P =

N 2 n ?K ,其中 n 为分子数密度(n = ) 。 3 V

3、理想气体状态方程:一定质量的理想气体,

P1 V1 T1

=

P2 V2 PV 或 = 恒量 T T2

理想气体状态方程可以由三个试验定律推出, 也可以由理想气体的压强微观解释和温度微观 解释推导得出。 【例题 5】如图 6-7 所示,在标准大气压下,一端封闭的玻璃管长 96cm ,内有 一段长 20cm 的水银柱,当温度为 27℃且管口向上竖直放置时,被封闭的气柱长为 60cm。试问:当温度至少升高到多少度,水银柱才会从玻璃管中全部溢出? 【解说】 首先应该明确的是, 这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论 的问题。 如果是前一种可能, 似乎应该这样解:
( 76 ? 20 ) ? 60 PL 76 ? 96 P1L1 = 2 2, 即 = , 300 T2 T2 T1

得:T2 = 380K 但是,仔细研究一下升温气体膨胀的全过程,就会发现,在某些区域,准静态过 程是不可能达成的,因此状态方程的应用失去意义。 为了研究准静态过程是否可能达成, 我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静 态膨胀的, 这样,气柱的压强只受玻马定律制约 (而与外界大气压、 水银柱长没有关系) ,设为 P 。 而对于一般的末状态,水银柱在管中剩下的长度设为 x 。从初态到这个一般的末态
( 76 ? 20 ) ? 60 PL P(96 ? x ) 19.2T P1L1 = ,即 = ,得 P = T 96 ? x T 300 T1

隔离水银柱下面的液面分析, 可知 P ≤ 76 + x 时准静态过程能够达成 (P 可以随升温而增大, 直至不等式取等号) ,而 P > 76 + x 时准静态过程无法达成(T 升高时,P 增大而 x 减小) ,水银 自动溢出。 所以,自动溢出的条件是:T > 考查函数 y =
1 2 (-x + 20x + 7296) 19.2

1 2 (-x + 20x + 7296)发现,当 x = 10cm 19.2

时,ymax = 385.2K 而前面求出的 x = 0 时,T 只有 380K,说明后阶段无须升 ...... 温,即是自动溢出过程 (参照图 6-8 理解) 。而 T > ymax 即是 .......... 题意所求。 【答案】385.2K 。 a、推论 1:
P1 P2 = ,此结论成功地突破了“质量一定”的条件约束,对解某些特殊问 ? 2 T2 ?1T1

题非常有效。 b、克拉珀龙方程:原方程中,将“恒量”定量表达出来就成为 PV = ? RT ,其中 ? 为气体 的摩尔数,这个结论被成为克拉珀龙方程。它的优点是能使本来针对过程适用的方程可以应用到
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某个单一的状态。 c、推论 2:气体混合(或分开)时,
P1 V1 T1

+

P2 V2 T2

+ ? +

Pn Vn Tn

?

PV ,这个推论很容易 T

由克拉珀龙方程导出。 【例题 6】图 6-9 是一种测量低温用的气体温度计,它的下端是测温泡 A , 上端是压力计 B ,两者通过绝热毛细管相连,毛细管容积不计。操作时先把测温 计在室温 T0 下充气至大气压 P0 ,然后加以密封,再将 A 浸入待测液体中,当 A 和待测液体达到热平衡后,B 的读数为 P ,已知 A 和 B 的容积分别为 VA 和 VB , 试求待测液体的温度。 【解说】本题是“推论 2”的直接应用
P0 (VA ? VB ) PVA = T0 TA

+

PVB T0

【答案】TA =

PVAT0 P0 (VA ? VB ) ? PVB

【例题 7】图 6-10 所示是一定质量理想气体状态变化所经历的 P-T 图线,该 图线是以 C 点为圆心的圆。P 轴则 C 点的纵坐标 PC 为单位(T 轴以 TC 为单位) 。若已知在此过程中 气体所经历的最低温度为 T0 ,则在此过程中,气体密度的最大值 ρ 1 和最小值 ρ 2 之比 ρ 1/ρ 2 应 等于多少? 【解说】本题物理知识甚简,应用“推论 1”即可。
P1 P2 = ? 2 T2 ?1T1

?

?1 ?2

=

P1T2 P /T = 1 1 P2 T1 P2 / T2

此式表明,

P P 越大时,ρ 就越大。故本题归结为求 的极大 T T

值和极小值。 方法一:P 与 T 的关系服从圆的方程(参数方程为佳) T = Tc + rcosθ P = PC + rsinθ 引入 y =
P T

=

PC ? r sin ? ,然后求这个函数的极值? TC ? r cos ?
P P 的几何意义可知, 等于状态点到原点的连线与 T 轴夹角的正切值, T T

方法二:见图 6-11,从 求

P 的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小——很显 T

然,当直线与圆周的两处相切时,出现了这样的极大和极小值。 θ max = α + β ,θ min =α ? β 而 tgα = sinβ =
PC TC
r
2 2 TC ? PC

? tgβ =

TC ? T0 2TCT0
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(注意:依题意,r = TC ? T0 ) 所以 tgθ
max

=

P 2TCT0 ? TC (TC ? T0 ) tg? ? tg? = C 1 ? tg?tg? TC 2TCT0 ? PC (TC ? T0 ) P 2TCT0 ? TC (TC ? T0 ) tg? ? tg? = C 1 ? tg?tg? TC 2TCT0 ? PC (TC ? T0 ) PC 2TCT0 ? TC (TC ? T0 ) TC 2TCT0 ? PC (TC ? T0 )

tgθ

min

=

【答案】 〔

PC 2TCT0 ? TC (TC ? T0 ) TC 2TCT0 ? PC (TC ? T0 )

〕/〔

〕 。

d、道尔顿分压定律:当有 n 种混合气体混合在一个容器中时,它们产生的压强等于每一种 气体单独充在这个容器中时所产生的压强之和。即 P = P1 + P2 + P3 + ? + Pn 4、理想气体的内能、做功与吸放热计算 a、理想气体的内能计算 由于不计分子势能,故 E = N· ?K = N kT = N
i 2 i R i T = ? RT ,其中 N 为分子总数, ? 2 NA 2

为气体的摩尔数。由于(对一定量的气体)内能是温度的单值函数,故内能的变化与过程完全没 有关系。 b、理想气体的做功计算 气体在状态变化时, 其压强完全可以是变化的, 所以气体压力的功从定义角度寻求比较困难。 但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功(☆无限分割→代数累计?) ,并最终得出这样一 个非常实用的结论:准静态过程理想气体的功 W 总是对应 P-V 图象中的“面积” 。这个面积的理解 分三层意思—— ①如果体积是缩小的,外界对气体做功,面积计为正;②如果体积是增大的,气体对外界做 功,面积计为负;③如果体积参量变化不是单调的(例如循环过程) ,则面积应计相应的差值。如 图 6-3 所示。

(☆学员思考:气体膨胀是不是一定对外做功?…) c、吸放热的计算 初中所学的通式 Q = cmΔ T 仍适用,但值得注意的是,对固体和液体而言,比热容 c 基本恒 定(和材料相关) ,但对气体而言,c 会随着过程的不同而不同。
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对理想气体,我们一般引进“摩尔热容”C(从克拉珀龙方程知,我们关心气体的摩尔数更 甚于关心气体的质量) ,物理意义:1 摩尔物质温度每升高 1K 所吸收的热量。摩尔热容和比热容的 关系 C =
cm 。 ?

①等容过程的摩尔热容称为“定容摩尔热容” ,用 CV 表示,所以 Q = ? CVΔ T ②等压过程的摩尔热容称为“定压摩尔热容” ,用 CP 表示,所以 Q = ? CPΔ T 对于其它的复杂过程而言,摩尔热容的表达比较困难,因此,用直接的途径求热量不可取, 这时,我们改用间接途径:即求得Δ E 和 W 后,再用热力学第一定律求 Q 。 (☆从这个途径不难推 导出:① CV =
i i R ,CP = R + R ,即 CP = CV + R … ;② E = ? CVT ) 2 2

【例题 8】0.1mol 的单原子分子理想气体,经历如图 6-13 所示的 A→B→C→A 循环,已知的状 态途中已经标示。试问: (1)此循环过程中,气体所能达到的最高温度状态在何处,最高温度是多少? (2)C→A 过程中,气体的内能增量、做功情况、吸 放热情况怎样? 【解说】 (1)介绍玻马定律的 P-V 图象,定性预计 Tmax 的大概位置(直线 BC 上的某一点) 。定量计算 PV 的极大 值步骤如下—— BC 的直线方程为 P = - V + 2 y = PV = - V + 2V 显然,当 V = 2 时,y 极大,此时,P = 1 5 -3 代入克拉珀龙方程:1×10 ×2×10 = 0.1×8.31Tmax ,解得 Tmax = 240.7K (2)由克拉珀龙方程可以求得 TC = 180.5K = TB ,TA = 60.2K ΔE = ?
i 3 RΔ T = 0.1× ×8.31×(60.2-180.5) = -150.0J 2 2
5 -3

1 2

1 2

2

根据“面积”定式,W = 0.5×10 ×2×10

= 100J
2

5 计算 Q 有两种选择:a、Q = ? CPΔ T = 0.1× ×8.31×(60.2-180.5) = -250.0J

b、Q = Δ E - W = -250.0J -3 【答案】 (1)V = 2×10 时,Tmax 为 240.7K; (2)内能减少 150.0J,外界对气体做功 100J, 气体向外界放热 250J 。 〖思考一〗B→C 过程气体吸放热的情况又怎样? 〖解〗由于 B→C 过程一直是气体对外界做功,但内能却是先增后减,所以过程的吸放热情况 会复杂一些。 由ΔE = Q + W 不难看出,TB 到 Tmax 阶段肯定是吸热,但在 Tmax 到 TC 阶段则无法定性判断。所 以这里启用定量方法—— 在 Tmax 到 TC 阶段取一个极短过程 V →(V +ΔV) ,在此过程中
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ΔE = ?

i 3 3 RΔT = Δ(PV)≈ (PΔV + VΔP) 2 2 2 1 2 1 2

由于 P = - V + 2 ,有ΔP = - ΔV 故ΔE =
1 2 3 (2-V)ΔV 2 1 2 1 2

又 W = - ΔV(P +〈P-ΔP〉 )= -PΔV + ΔPΔV ≈ -PΔV =( V-2)ΔV ( “过程 极短”的缘故…) 所以 Q = ΔE-W =(5-2V)ΔV -3 3 Q < 0 时,气体开始放热,即 V > 2.5 时开始吸热(转变体积 V′= 2.5×10 m ,对应 5 转变压强 P′= 0.75×10 Pa ,转变温度 T′= 225.6K) 。 a、吸热阶段:ΔE = 0.1× ×8.31×(225.6-180.5)= 56.2J W = - (1.5 + 0.75)×10 ×(2.5-1)×10 Q = ΔE-W = 225.0J b、放热阶段:ΔE = 0.1× ×8.31×(180.5-225.6)= -56.2J W = - (0.5 + 0.75)×10 ×(3-2.5)×10
1 2
5 -3

3 2

1 2

5

-3

= -168.8J

3 2

= -31.3J

Q = ΔE-W = -24.9J (说明:如果针对 B→C 全程计算,不难得出 Q = 200.0J 。那么,分出吸热、放热的细节是 不是没有必要呢?不能这样认为。因为热传递的过程具有不可逆性,所以这里的热量“总帐”对 气体可能是与“细帐”没有区别,但对外界而言,吸热必然是来自高温热源,而放热却是针对低 温热源,它们就象同一个公司的两个不同贸易伙伴,算清具体往来显然是必要的。 ) 〖答〗从高温热源吸收 225.0J 的热量,向低温热源放出 24.9J 的热量。 〖思考二〗B→C 过程吸热过程和放热过程的摩尔热容分别是多少? 〖解答〗解略。吸热过程 C1 = 49.9J/(mol〃K),放热过程 C2 = 5.54 J/(mol〃K)。 〖思考三〗整个循环的效率是多少?
3 〖解答〗A→B 过程吸热 Q = ? CVΔT = 0.1× ×8.31×(180.5-60.2)= 150.0J ,B→C 过 2

程吸热 225J ,C→A 过程只放热,所以全过程(从高温热源)的吸热总量为 375J。 整个循环对外做的功就是△ABC 的面积,绝对值为 ×1.0×10 ×2×10? = 100J
5 3

1 2

所以,效率 η =

W Q吸

=

100 = 26.7% 。 (从这个计算我们可以进一步领会区分吸热和放热的 375

重要性。 ) 【例题 9】如图 6-14 所示,A 和 B 是两个圆筒形绝热容器,中间用细而短的管子连接,管中有
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奥赛培训讲义《热学》

导热性能良好的阀门 K ,而管子和阀门对外界却是绝热的。F 是带柄的绝热活塞,与容器 A 的内 表面紧密接触,不漏气,且不计摩擦。 开始时,K 关闭,F 处于 A 的左端。A 中有 ? 摩尔、温度为 T0 的理想气体,B 中则为真空。现向 右推动 F ,直到 A 中气体的体积与 B 的容积相等。在这个过程中,已知 F 对气体做功为 W ,气体 温度升为 T1 ,然后将 K 稍稍打开一点,使 A 中的气体缓慢向 B 扩散,同时让活塞 F 缓慢前进,并 保持 A 中活塞 F 附近气体的压强近似不变。不计活塞、阀门、容器的热容量,试问:在此过程中, 气体最后的温度 T2 是多少? 【解说】为求温度,可以依据能量关系或状态 方程。但事实证明,仅用状态方程还不够,而要 用能量关系,摩尔热容、做功的寻求是必不可少 的。 过程一:K 打开前,过程绝热,据热力学第一 定律,Δ E = W 又由 E = ? CVT 知 Δ E = ? CV(T1 ? T0) 因此,CV =
W ?(T1 ? T0 ) ?RT1 V1

① ②

而且在末态,P1 =

过程二:K 打开后,过程仍然绝热,而且等压。所以, W′= P1(V1 ? V1′) ,其中 V1′为 A 容器最终的稳定容积。 〖学员思考〗 此处求功时ΔV 只取 A 容器中气体体积改变而不取整个气体的体积改变, 为什么? ——因为 B 容器中气体为自由膨胀 的缘故… .... 为求 V1′,引进盖·吕萨克定律 从这两式可得 W′= P1V1 2T1 ? T2
T1
? V ? V1 V1 = 1 T2 T1



而此过程的 Δ E′= ? CVΔ T = ? CV(T2 ? T1) ④ (注意:这里是寻求内能增量而非热量,所以,虽然是等压过程,却仍然用 CV 而非 CP) 最后,结合①②③④式对后过程用热力学第一定律即可。 【答案】T2 =
2?R (T1 ? T0 ) ? W T1 。 ?R (T1 ? T0 ) ? W

四、相变
相: 热学系统中物理性质均匀的部分。 系统按化学成分的多少和相的种类多少可以成为一元二 相系(如冰水混合物)和二元单相系(如水和酒精的混合液体) 。相变分气液相变、固液相变和固 气相变三大类,每一类中又有一些具体的分支。相变的共同热学特征是:相变伴随相变潜热。 1、气液相变,分气化和液化。气化又有两种方式:蒸发和沸腾,涉及的知识点有饱和气压、沸点、 汽化热、临界温度等。
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a、蒸发。蒸发是液体表面进行的缓慢平和的气化现象(任何温度下都能进行) 。影响蒸发的因 素主要有①液体的表面积、②液体的温度、③通风条件。从分子动理论的角度不难理解,蒸发和 液化必然总是同时进行着,当两者形成动态平衡时,液体上方的气体称为—— 饱和气,饱和气的压强称为饱和气压 PW 。①同一温度下,不同液体的 PW 不同(挥发性大的 液体 PW 大) ,但同种液体的 PW 有唯一值(与气、液的体积比无关,与液体上方是否存在其它气体无 关) ;②同一种液体,在不同的温度下 PW 不同(温度升高,PW 增大,函数 PW = P0 e
? L RT

,式中 L 为

汽化热,P0 为常量) 。 汽化热 L :单位质量的液体变为同温度的饱和气时所吸收的热量,它是相变潜热的一种。 汽化热与内能改变的关系 L = Δ E + PW(V 气 ? V 液)≈ Δ E + PWV 气 b、沸腾。一种剧烈的汽化,指液体温度升高到一定程度时,液体的汽化将不仅仅出现在表面, 它的现象是液体内部或容器壁出现大量气泡,这些气泡又升到液体表面并破裂。液体沸腾时,液 体种类不变和外界压强不变时,温度不再改变。 (从气泡的动力学分析可知)液体沸腾的条件是液体的饱和气压等于外界压强。 (如在 1 标 准大气压下,水在 100℃沸腾,就是因为在 100℃时水的饱和气压时 760cmHg。 ) 沸点,液体沸腾时的温度。①同一外界气压下,不同液体的沸点不同;②同一种液体,在不 同的外界气压下,沸点不同(压强升高,沸点增大) 。 c、液化。气体凝结成液体的现象。对饱和气,体积减小或温度降低时可实现液化;对非饱和 气,则须先使它变成饱和气,然后液化。 常用的液化方法:①保持温度不变,通过增大压强来减小气体的体积;②保持体积不变,降 低温度。 【例题 10】有一体积为 22.4L 的密闭容器,充有温度 T1 、压强 3atm 的空气和饱和水汽,并 有少量的水。今保持温度 T1 不变,将体积加倍、压强变为 2atm ,这时容器底部的水恰好消失。 将空气、饱和水汽都看成理想气体,试问: (1)T1 的值是多少?(2)若保持温度 T1 不变,体积增 为原来的 4 倍,容器内的压强又是多少?(3)容器中水和空气的摩尔数各为多少? 【解说】容器中的气体分水汽和空气两部分。容器中压强与空气压强、水汽压强的关系服从道 尔顿分压定律。对水汽而言,第二过程已不再饱和。 (1)在 T1 、3atm 状态,3 = P1 + PW (P1 为空气压强) 在 T1 、2atm 状态,2 = P2 + PW (P2 为空气压强) 而对空气,P1V = P22V 解以上三式得 P1 = 2atm ,P2 = 1atm ,PW = 1atm ,可得 T1 = 100℃ = 373K (2)此过程的空气和水汽质量都不再改变,故可整体用玻-马定律:2×2V = P′4V (这里忽略了“少量的”水所占据的体积?) (3)在一过程的末态用克拉珀龙方程即可。 【答案】 (1)373K ; (2)1atm ; (3)均为 1.46mol 。 【例题 11】如图 6-15 所示,在一个横截面积为 S 的封闭容器中,有一质量 M 的活塞把容器隔 成Ⅰ、Ⅱ两室,Ⅰ室中为饱和水蒸气,Ⅱ室中有质量为 m 的氮气,活塞可以在容器中无摩擦地滑 动。开始时,容器被水平地放置在地面上,活塞处于平衡,Ⅰ、Ⅱ两室的温度均为 T0 = 373K,压 强为 P0 。现将整个容器缓慢地转到竖直位置,两室的温度仍为 T0 ,但Ⅰ室中有少量水蒸气液化
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成水。已知水的汽化热为 L ,水蒸气和氮气的摩尔质量分别为μ 1 和μ 室内系统与外界交换的热量。

2

,试求在整个过程中,Ⅰ

【解说】容器水平放置时,设水蒸气的体积为 V1 ,氮气的体积为 V2 ;直立时,设有体积为Δ V 的水蒸气液化成水。 直立后水的饱和气在同温度下压强不变,故氮气的压强 P = P0- 在直立过程,对氮气用玻-马定律 P0V2 = P(V2 + Δ V) 结合以上两式可得Δ V =
Mg V2 P0S ? Mg m RT0 ?2
Mg S

为解决 V2 ,对初态的氮气用克拉珀龙方程 P0V2 = 这样,Δ V =
Mg mRT0 · P0S ? Mg P0? 2

所以,水蒸汽液化的质量(用克拉珀龙方程)为 Δ m = 这部分水蒸气液化应放出热量 Q =Δ m·L = 【答案】向外界放热
?1 mMgL · 。 ?2 P0S ? Mg

? mMg ?1P0 ΔV = 1 · ?2 P0S ? Mg RT0

?1 mMgL · ?2 P0S ? Mg

〖思考〗解本题时,为什么没有考虑活塞对Ⅰ室做的功? 〖答〗注意汽化热 L 的物理意义——它其中已经包含了气体膨胀(汽化)或收缩(液化)所引 起的做功因素,若再算做功,就属于重复计量了。 〖*再思考〗Ⅱ中氮气与“外界”交换的热量是多少? 〖 * 答 〗 氮气没有相变,就可直接用热力学第一定律。Δ E = 0 , W = ? ?
m V ? ?V RT0ln 2 = ?2 V2

m Mg m Mg RT0ln(1 + ) ,所以 Q =ΔE – W = RT0ln(1 + ) ,吸热。 ?2 P0S ? Mg ?2 P0S ? Mg

2、湿度与露点
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a、空气的湿度。表示空气干湿程度的物理量,有两种定义方式。①绝对湿度:空气中含有水 蒸气的压强; ②相对湿度 B : 空气中含有水蒸气的压强跟该温度下水的饱和蒸气压的比值, 即 B=
P ×100%(相对湿度反映了空气中水蒸气离开饱和的程度,人体感知的正是相对湿度而非绝对湿 PW

度,以 B 值为 60~70%比较适宜。在绝对湿度一定的情况下,气温升高,B 值减小——因此,夏天 尽管绝对湿度较大,但白天仍感到空气比晚上干燥) 。 b、 露点: 使空气中的水蒸气刚好达到饱和的温度。 露点的高低与空气中含有水蒸气的压强 (即 绝对湿度)密切相关,根据克拉珀龙方程,也就是与空气中水蒸气的量有关:夏天,空气中水蒸 气的量大,绝对湿度大(水蒸气的压强大) ,对应露点高;反之,冬天的露点低。 3、固液相变,分熔解和凝固。 a、熔解。物质从故态变成液态。晶体有一定的熔解温度——熔点(严格地说,只有晶体才称 得上是固体) ,非晶体则没有。大多数物质熔解时体积会膨胀,熔点会随压强的增大而升高,但也 有少数物质例外(如水、灰铸铁、锑、铋等,规律正好相反) 。 (压强对熔点的影响比较微弱,如 冰的熔点是每增加一个大气压熔点降低 0.0075℃。 ) 熔解热 λ :单位质量的晶体在溶解时所吸收的热量。从微观角度看,熔解热用于破坏晶体 的空间点阵,并最终转化为分子势能的增加,也就是内能的增加,至于体积改变所引起的做功, 一般可以忽略不计。 b、凝固。熔解的逆过程,熔解的规律逆过来都适用与凝固。 4、固气相变,分升华和凝华。 a、升华。物质从固态直接变为气态的过程。在常温常压下,碘化钾、樟脑、硫磷、干冰等都 有显著的升华现象。 升华热:单位质量的物质在升华时所吸收的热量。 (从微观角度不难解释)升华热等于同种 物质的汽化热和熔解热之和。 b、凝华。升华的逆过程。如打霜就是地面附近的水蒸气遇冷(0℃以下)凝华的结果。凝华热 等于升华热。 5、三相点和三相图 亦称“三态点”。一般指各种稳定的纯物质处于固态、液态、气态三个相(态)平衡共存时的 状态,叫做该物质的“三相点”。该点具有确定的温度和压强(清注意:两相点,如冰点和汽点 并不具备这样的特征)。所以三相点这个固定温度适于作为温标的基点,现在都以水的三相点的 温度作为确定温标的固定点。 附:几种物质的三相点数据 温度(K) 氢 氘 氖 氮 二氧化碳 13.84 18.63 24.57 63.18 216.55 压强(Pa) 7038.2 17062.4 43189.2 12530.2 517204
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273.16

610.5

怎样理解三相点的存在呢?将相变的气化曲线 OK(即饱和气压随温度变化的曲线——对应函数 PW = P0 e
? L RT

) 、 溶解曲线 OL (压强随熔点变化的曲线) 、

升华曲线 OS(压强随升华点变化的曲线)描绘在同 一个 P-t 坐标中,就构成“三相图” 。三条曲线的 交点就是三相点,如图 6-16 所示。 在图中, 为了表示三相点的精确位置, 坐标的标 度并不是均匀的,所以坐标轴用虚线表示。OK、OL 和 OS 事实上分别是水汽两相点、 冰水两相点和冰汽 两相点“运动”的结果——也就是相应两相的分界 线。

五、固体和液体
1、固体——晶体和非晶体 a、晶体和非晶体的根本区别是:是否具有固定的熔点。晶体又分为单晶体和多晶体,单晶体 (如石英、云母、明矾、冰等)还具有规则的几何形状、物理性质上表现为各向异性;多晶体(如 岩石、金属等)则和非晶体一样,无规则几何形状、各向同性。 b、空间点阵:组成晶体的微观粒子所形成的规则排列(非晶体没有空间点阵) 。晶体之所以具 有固定的熔点,是因为发生相变时,吸收的热量全部用来破坏空间点阵结构——分子间距的改变 导致分子势能增大,而分子的平均动能则不变。 2、液体的表面张力 a、表面张力:存在于液体表面的使表面收缩的力。表面张力的微观解释是:蒸发使表面分子 间距大于 r0 ,因此分子力体现为引力。 表面张力系数α :设想在液面作长为 L 的线段,则线段两边表面张力必垂直于这条线段,且 于液面相切,各自的大小均为 f = α L ,其中α 称表面张力系数。 b、浸润现象:液体与固体接触时,若接触角θ (见图 6-17)为锐角,称为浸润现象;反之,接触角为钝角,称为 不浸润。 液体相对固体是否浸润取决于液体和固体的组合关 系,如水能浸润玻璃却不能浸润石蜡,水银能浸润锌版却不 能浸润玻璃。 当θ = 0 时,称为“完全浸润” ;当θ =π 时,称为“完 全不浸润” 。 从微观角度看,液体能否浸润固体取决于液体与固体 接触的“附着层”分子受液体分子力(内聚力)更大还是受固体分子力(附着力)更大。 c、毛细现象:浸润管壁的液体在毛细管中液面升高,不浸润管壁的液体在毛细管中液面降低 的现象。毛细现象的形成事实上是液体表面张力的合效果。
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奥赛培训讲义《热学》

☆如果毛细管的为 r ,液体的表面张力系数为α,对管壁的浸润角为θ,不难求出毛细现象 导致的液面上升(或下降)量 h =
2 cos ? 。 ?gr

【例题 12】如图 6-18 所示,在一个两端开口的、半径为 1mm 的长毛细管中 装满水,然后把它竖直地放在空间,认为水完全浸润毛细管,且水的表面张力 -2 系数为 7.3×10 N/m ,则留在管中的水柱应有多长? 【解说】由于有两个曲面,故曲面边缘的表面张力合力为 F = 2·α 2π rcosθ 2 液柱的重力 G =ρ π r hg 解它们的平衡方程即可(θ = 0) -2 【答案】h = 2.94×10 m 。

(第六部分《热学》完)

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