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平面向量练习题四



平面向量练习题四
一、 选择题

? ? ? ? ? ? ? ? 1.(04 文)已知向量 a 、 b 满足: | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2 ,则 | a ? b |? ()
A. 1 B. 2 C. 5 D. 6

? 2.(05 文理)点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v ?

(4, ?3)(即点 P 的运动方向与 v 相 ? 同,且每秒移动的距离为 | v | 个单位) .设开始时点 P 的坐标为 (?10,10) ,则5秒后点 P 的坐
标为() A. (?2, 4) B. (?30, 25) C. (10, ?5) D. (5, ?10) ? ? ? ? 3.(06 文)已知向量 a ? (4, 2) ,向量 b ? ( x,3) ,且 a / / b ,则 x ? ( A. 9 B. 6 C. 5 D. 3

)

? ? ? ? ? ? 4.(09 文理)已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? ()
A. 5 B.

10 C. 5 D. 25
则 CD ?

? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 5. (10 理)?ABC 中, 点 D 在 AB 上,CD 平分 ?ACB . 若C B ? aC ,A b ? a,| | ? 1 ,|b | 2 ?
1 2 A. a ? b 3 3 2 1 B. a ? b 3 3 3 4 C. a ? b 5 5 4 3 D. a ? b 5 5

6.(05 理)已知点 A( 3,1) , B(0, 0) , C ( 3,0) .设 ?BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E ,那 ??? ? ??? ? 么有 BC ? ? CE ,其中 ? 等于() A. 2 B.
1 2

C. ?3 D. ?

1 3

? ? ? ? ? ? ? ? 7.(11 文)设向量 a, b 满足 a ? b ,且 | a |?| b |? 1 ,则 | a ? 2b |? ()
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 8. 在平行四边形 ABCD 中, OA ? a, OB ? b, OC ? c, OD ? d ,则下列运算正确的是 ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a ? b ? c ? d ? 0 B. a ? b ? c ? d ? 0 C. a ? b ? c ? d ? 0 D. a ? b ? c ? d ? 0
9. 下面给出的关系式中正确的个数是 ( ) ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ① 0 ? a ? 0 ; ② a ? b ? b ? a ; ③ a ?| a |2 ; ④ (a ? b)c ? a(b ? c) ; ⑤ | a ? b |? a ? b . A. 0 B. 1C. 2 D. 3 ?? b ,下列命题中正确的是( ) 10. 对于非零向量 a、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a ? b ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 B. a / /b ? a 在 b 方向上的投影为 | a |
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)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. a ? b ? a ? b ? (a ? b)2 D. a ? b ? b ? c ? a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? 11. 已知 a ? (5, ?2), b ? (?4, ?3), c ? ( x, y) ,若 a ? 2b ? 3c ? 0 ,则 c ? (
8 13 8 13 4 13 4 A. (1, ) B. ( , ) C. ( , ) D. ( ? , ? ) 3 3 3 3 3 3 3

)

??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 12. 若 AP ? PB, AB ? ? BP ,则 ? 的值为( 3

)

A.

1 3 4 4 B. C. D. ? 4 4 3 3

13. 已知 ?ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P , 若 PA ? PB ? PC ? AB , 则点 P 与
?ABC 的位置关系是

(

)

A. P 在 AC 边上 B. P 在 AB 边上或其延长线上 C. P 在 ?ABC 的外部 D. P 在 ?ABC 的内部 14.(2014 年福州质检)已知向量 a ? (m2 ,4),b ? (1,1) ,则“ m ? ?2 ”是“ a // b ”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.如图,在平行四边形 ABCD 中, E 为 DC 边 的中点,且 AB ? a, AD ? b ,则 BE ? (
1 1 A. b ? a B. b ? a 2 2 1 C. a ? b 2

)

)
1 D. a ? b 2

16.(2014 年北京东城模拟)若向量 a, b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1,则 a ? b 的值为( A. ?
1 2

)

B.

1 2

C. ? 1

D. 1 )

17.已知 a, b 满足 | a |? 1, | b |? 6, a ? (b ? a) ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为( A.

? ? ? B. C. 6 4 3

D.

? 2
)

18.(2014 年大同模拟)已知向量 a ? (1,2),b ? (?2, m) ,若 a // b ,则 | 2a ? 3b |? ( A. 70 B. 4 5 C. 3 5 D. 2 5

B C 中,a, b, c 分别是三个内角 A, B, C 的对边, 19. 在 ?A 设向量 p ? (b ? c, a ? c), q ? (c ? a, b) ,

若 p // q ,则角 A 的大小是( A. 30 ? B. 45 ? C. 60 ?

) D. 90 ? )

20.已知向量 a ? ( x ?1,1),b ? (1, y ? 2) ,且 a ? b ,则 x 2 ? y 2 的最小值为(
第 2 页 共 2 页

1 2 1 A. B. C. 3 3 2

D. 1

21.(2014 年北京东城区综合练习)已知向量 a ? (2,3),b ? (?1,2) ,若 ma ? nb 与 a ? 2b 共线, 则
m ?( n

)
1 2

A. ? 2 B. 2 C. ?

D.

1 2

22.在 ?ABC 中, AB ? ( 3,?1), BC ? (1,? 3) ,则 cos B ? ( A. ?
3 3 3 B. C. 2 2 4

)

D. 0

二、填空题 1. 若 a ? (6,?8) ,则与 a 平行的单位向量是 . 2. 已知 | a |? 3, b ? (1,2) ,且 a ? b ,则 a 的坐标是 . 3. 设 e1 , e2 为两个不共线的向量,若 a ? e1 ? ?e2 与 b ? ?(2e1 ? 3e2 ) 共线,则 ? ? . 4. 若 | a |? 1, | b |? 2, (a ? b) ? a ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为 . ??? ? ??? ? ??? ? 5.(05 理)已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10), 且 A, B, C 三点共线,则 k ? . ? ? ? ? ? 6. (08 文理)设向量 a ? (1 ,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线,则 ? ? . 7 . (2014 年衡阳六校联考 ) 已知向量 a ? (2,?1),b ? (?1, m), c ? (?1,2) , 若 (a ? b) // c , 则 m ? ________. 8. (2014 年南昌模拟)已知向量 e1 ? (cos

?
4

, sin

?
6

), e 2 ? (2 sin

?
4

,4 cos

?
3

), 则 e1 ? e2 ? ________.

9.已知两个单位向量 a, b 的夹角为 60 ? , c ? t a ? (1 ? t )b .若 b ? c ? 0 ,则 t ? ________.
B C 中, 10. 在 ?A 点 P 在 BC 上, 且 BP ? 2PC , 点 Q 是 AC 的中点, 若 PA ? (4,3), PQ ? (1,5) ,

则 BC ? ________. 三.解答题
? ? ? ? 1.(06 理)已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? ? ? ? . 2 2 ? ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; ? ? (Ⅱ)求 | a ? b | 的最大值.

2.

( 11

B 文 ) ?ABC 的 内 角 A、 、

C 的 对 边 分 别 为 a、b、c . 己 知

第 3 页 共 3 页

a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B .
(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 A ? 75? , b ? 2, 求 a,c . 3. 已知 a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 4e1 ? e2 ,其中 e1 ? (1,0), e2 ? (0,1) .求: (Ⅰ) a ? b ; | a ? b | ; (Ⅱ) a 与 b 的夹角的余弦值.

4.已知 A(?2,4), B(3,?1), C (?3,?4) .设 AB ? a, BC ? b, CA ? c ,且 CM ? 3c, CN ? ?2b . (1)求 3a ? b ? 3c ;(2)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m, n ; (3)求 M , N 的坐标及向量 MN 的坐标.

? 5.(2013 年高考辽宁卷)设向量 a ? ( 3 sin x, sin x), b ? (cos x, sin x), x ? [0, ] . 2
(1)若 | a |?| b | ,求 x 的值;(2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x) 的最大值. 6.已知 a ? (1,0),b ? (2,1) .(1)求 | a ? 3b | ; (2)当 k 为何实数时, k a ? b 与 a ? 3b 平行,平行时它们是同向还是反向?
1 7 . (2013 年 高 考 陕 西 卷 ) 已 知 向 量 a ? (cos x,? ), b ? ( 3 sin x, cos 2 x), x ? R , 设 函 数 2

f ( x) ? a ? b .

? (1)求 f ( x) 的最小正周期;(2)求 f ( x) 在 [ 0, ] 上的最大值和最小值. 2
8. 如图, | BC |? 2 | AB |?| OA |? 2a, ?OAB ? ?ABC ?
2? , 求点 B 与点 C 的坐标. 3

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