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函数单调性课件



函数的单调性

观察第一组函数图象,指出其变化趋势.

y
y=x+1
1

y
1

y
1
1

O 1

x

O

x

O

1

x

上升 趋势. 从左至右图象呈______

观察第二组函数图象,指出其变化趋势.

y=-x+1

y
1

y
1 1

y
1

O

x

O 1

x

O

1

x

下降 趋势. 从左至右图象呈______

观察第三组函数图象,指出其变化趋势.

y
O
-1 -1 1 1

y
1

y=x2

y
1

x

O

1

x

O

1

x

从左至右图象呈局部上升或下降 ______________趋势. 在定义域内的某个区间上
图像从左到右逐渐上升 图像从左到右逐渐下降 自变量x增大, 因变量y也增大 自变量x增大, 因变量y反而减小

动 脑 思 考

探 索 新 知 减函数
如果函数f(x)在给定区间上

增函数
如果函数f(x)在给定区间上

随着x的增大而增大,
则f(x)在这个区间上增函数。

图 像 法 判 断 单 调 性

随着x的增大而减少,
则f(x)在这个区间上减函数。

通过图像很容易判断函数的单调性,
但是给出f(x)的解析式时如何确定函数的单调性?

思考
问题1:对于一个函数f(x),如果-1<2时,有 f(-1)<f(2),能否说函数f(x)在区间[-1,2] 上递增?

问题2:函数f(x),对于[0,+∞)上的无数个自变量 X1,X2 , x3 …..当0<x1<x2<x3<……时,有0<y1<y2<y3<… 能否能否说函数f(x)在区间[0,+∞)上递增? 请画图说明。

问题3:在函数y=x2的图像位于y轴右边的部分 随便(任意)取两点,横坐标分别是x1,x2,即 当0<x1<x2时,是否有y1<y2呢?
问题4:在函数y=x2的图像位于y轴左边的部分 随便(任意)取两点,横坐标分别是x1,x2,即 当x1<x2<0时,是否有y1>y2呢? 问题5:你能否举一个函数的具体例子,使得它 在区间(-∞,+∞)上对任意的x1<x2,总有y1<y2。 在区间[0,+∞)呢?

如何对具体的函数f(x)=x2单调性的定义:

问题6:怎样定义函数y=f(x)的单调性?

y
f(x2) f(x1)

y
f(x1) f(x2) x1 x2

O

x

O

x1

x2

x

设函数y=f(x)的定义域为A,区间I ? A. 如果对于属于定义域 如果对于属于定义域 A A 内某个区间 内某个区间 II 上 上 的任意两个自变量的值 的任意两个自变量的值 x x ,, x x , , 11 22

当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ),
那么就说在f(x)这个区间上是 增 函数, I称为f(x)的单调 增 区间. 单调区间 减

>


(1)函数单调性是针对定义域A内的某个子区间I而言的,是 一个局部性质,在整个定义域上不一定具有单调性;

x2 在区间I内取任意值,不能用特殊值来代替. (2)x1 、
判断1:函数 f (x)= x2 在

? ??, ?? ? 是单调增函数;(× )
×)
y
f(2)

判断2:函数 f (x)在区间[1,2]上满足 f (1)<f(2),则函数

f (x)在[1,2]上是增函数.(
y

y ? x2
o

f(1) O 1 2 x

x

例题1:根据图像指出y ? f ( x) 单调增区间和单调减区间

单调增区间是:

[?2,1] ,[3,5]

单调减区间是: [?5, ?2] ,[1,3]

例2. 指出下列函数的单调区间:

(2) y ? ?2x ? 4 y 解:(1) y ? 7 x ? 2的单调增区间是 (??,??) 2
无单调减区间

(1) y ? 7 x ? 2

(2) y ? ?2 x ? 4的单调减区间是 (??,??)
4

y?2 7

o

x

无单调增区间

归纳:函数

y ? kx ? b(k ? 0) 的单调性
单调增区间 单调减区间

o 2

x

y ? kx ? b
K>0

(??,??) (??,??)

K<0

例3.指出下列函数的单调区间:

(1) y ? ? x ? 2.
2

(2) y ? x ? 2.
2

y
2 1

y=-x2+2
x

解:
2

y ? ? x +2的单调增区间是 _______;

(??, 0]

[0, ??) y ? ? x2 +2的单调减区间是_______.

-2 -1 O -1 -2

1

2

思考1:函数 y ? ( x ? 1)2 ? 2 的单调区间呢? 思考2:函数 y ? ?x2 ? 2x ? 3 的单调区间呢? 归纳: 函数

y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0)

的单调性

y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

y ? ax2 ? bx ? c
a>0
a<0

b 的对称轴为 x ? ? 2a 单调增区间 单调减区间
? b ? ? , ?? ? ? ? 2a ?

b? ? ? ??, ? ? 2a ? ?
? b ? ? , ?? ? ? 2 a ? ?

b? ? ? ??, ? ? 2a ? ?

例4. 指出下列函数的单调区间:

y

1 y? x
O

1 x 1 (??, 0), (0, ??) y ? 的单调减区间是_____________ 解: x y?

没有单调增区间 x 1 思考1: 能不能说y ? x 在定义域(??,0) ? (0, ??)上
是单调减函数?
?1 的单调区间是什么? x

思考2:函数 y ?
y?

?1 x 的单调增区间是

(??,0), (0,??)

k 归纳: y ? (k ? 0) 在 ? ??,0? 和 ? 0, ??? 上的单调性? x

k y ? (k ? 0) x k y? x

的单调区间
单调增区间 单调减区间
(??, 0) (??, 0)
, ,

k ?0

(0, ??)

k ?0

(0, ??)

1.指出下列函数的单调区间?
(1) (2) f (3)

f ( x) ? 3 ? 2 x

( x) ? 2x2 ? 3x ? 1

3 f ?x ? ? ? x

(1)单调减区间

?? ?,???
?3 ? , ?? ? 单调增区间 ? 4 ? ?

3? ? ? ? , ? (2)单调减区间? 4 ? ?

(3)单调增区间

(??, 0)



(0, ??)

(三)运用定义

动脑思考

探索新知

例题2:画出函数f (x)=3x +2的图像,判断它的单调性, 并加以证明。 作差法证明函数单调性的步骤: 1.取值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2 2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形; 3.确定差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负; 4.下结论:由定义得出函数的单调性.

例1: 画出函数f (x)=3x +2的图像,判断它的单调性, 并加以证明。
f(x)=3x+2
2

y

取值 作差 变形 定号

证明:设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2,
x

-1

0 -1

则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1- x2) 由x1<x2 ,得 x1- x2 <0 即 f(x1)<f(x2)

于是 f(x1)-f(x2)<0 所以,函数f(x)=3x+2在R上是增函数。

下结论

1.函数单调性的定义. 2.判断函数单调性的一般方法及证明方法. 3.一次函数、二次函数、反比例函数的单调性.



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