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南京外国语学校2012—2013学年度第二学期高一数学期末试卷(word版含答案)


南京外国语学校 2012—2013 学年度第二学期高一数学期末试卷
2013.6 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. cos96 cos 24 ? sin96 cos56 =
0 0 0 0 2 2 2



. ▲ .

2. 过点 P(?3,1) 且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 垂直的直线方程为 3. 在 ?ABC 中,若 b ? c ? a ? bc ,则 A ? 4. 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 在两坐标轴上的截距之和为 ▲ ▲ . .

5. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于 6. 若 x ? y ? 1 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为 7. 若数列 {an } 满足 a1 ? 1, ▲ . ▲ .





an ?1 n ,则 a8 ? ? an n ?1

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 8. 若实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?
( 9. 若 sin





?

1 +?) = ,则 sin 2? ? 4 3
▲ .

▲ .
2 2

10. 光线从 A(1,0)出发经 y 轴反射后到达圆 x ? y ? 6 x ? 6 y ? 17 ? 0 所走过的最短路程 为

11. 函数 y ? 2sin x ? sin(

? x) 的最小值是 ▲ . 3 12. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,给出下列结论:
① 若 A ? B ? C ,则 sin A ? sin B ? sin C ;

?

sin A cos B cos C ? ? ,则 ?ABC 为等边三角形; a b c ③ 必存在 A, B, C ,使 tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C 成立;
② 若 ④ 若 a ? 40, b ? 20, B ? 25? ,则 ?ABC 必有两解. 其中,结论正确的编号为 ▲ (写出所有正确结论的编号) . ▲
n ?1

13. 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,M 是直线 l : x ? 3 上的动点,过点 F (1, 0) 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆 D 交于点 P(m, n) .则 m, n 满足的关系式为 14. 已知等比数列 {an } 中 a1 ? 1 , a4 ? 8 ,在 an 与 an ?1 两项之间依次插入 2 列 {bn } 的前 2013 项之和 S2013 ? .

个正整数,

得到数列 {bn } ,即: a1 ,1, a2 , 2,3, a3 , 4,5,6,7, a4 ,8,9,10,11,12,13,14,15, a5 , ??? .则数 ▲ (用数字作答).

二、解答题(本大题共 6 题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1
2

(1) 若 f ( x) ? 0 的解集是 ?x | x ? 3 或x ? 4? ,求实数 a , b 的值. (2) 若 f (?1) ? 1 且 f ( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

16. (本题满分 14 分) 已知 cos ? ? ? ,sin(? ? ? ) ? (1)求 cos 2 ? 的值; (2)求 sin ? 的值.

1 3

7 ? ? , ? ? (0, ), ? ? ( , ? ) . 9 2 2

17. (本题满分 15 分) 若等比数列 {an } 的前 n 项和 S n ? a ? (1)求实数 a 的值; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Rn .

1 . 2n

18. (本题满分 15 分) 如图,某海域内的岛屿上有一直立信号塔 AB ,设 AB 延长线与海平面交于点 O.测量 船在点 O 的正东方向点 C 处,测得塔顶 A 的仰角为

30 ? ,然后测量船沿 CO 方向航行至 D 处,当

A

CD ? 100( 3 ?1) 米时,测得塔顶 A 的仰角为 45 .
(1)求信号塔顶 A 到海平面的距离 AO ; (2)已知 AB ? 52 米,测量船在沿 CO 方向航行的过 程中,设 DO ? x ,则当 x 为何值时,使得在点 D 处观 测信号塔 AB 的视角 ? ADB 最大.

B O D C

19. (本题满分 16 分) 已知圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 与直线 x ? y ? 2 2 ? 0 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)过点 (1,

y B x A O C

3 ) 的直线 l 截圆所得弦长为 2 3 , 3

求直线 l 的方程; (3)设圆 O 与 x 轴的负半轴的交点为 A ,过点 A 作两条斜率 分别为 k1 , k 2 的直线交圆 O 于 B, C 两点,且 k1k2 ? ?2 , 试证明直线 BC 恒过一个定点,并求出该定点坐标.

20. (本题满分 16 分)

? a ?1 ? 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N 都有 Sn ? ? n ? 成立. ? 2 ? (1)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ;
*

2

(2)记数列 bn ? an ? ?, n ? N * , ? ? R ,其前 n 项和为 Tn . ① 若数列 {Tn } 的最小值为 T6 ,求实数 ? 的取值范围; ② 若数列 {bn } 中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项, 则称该数列是“封闭数列”. 试 问 : 是 否 存 在 这 样 的 “ 封 闭 数 列 ” {bn } , 使 得 对 任 意 n ? N * , 都 有 Tn ? 0 , 且

1 1 1 1 ? ? ? ? 12 T1 T2 T3
理由.

?

1 11 ? .若存在,求实数 ? 的所有取值;若不存在,请说明 T 18 n

参考答案
一、填空题 1. ? 5. 2 9. ?

1 2

2. 3x ? 2 y ? 11 ? 0 6.

3. 7.

? 3
1 8

4. ? 8.

1 2

1 2

3 2

7 9
2 2

10. 4 14. 2007050

11. ? 3

12. ① ④

13. m ? n ? 3 二、解答题

2 15:解 (1) 由题意得: a ? 0 且 3, 4 是方程 ax ? bx ? 1 ? 0 的两个根. ………………3 分

所以, ?

?9a ? 3b ? 1 ? 0 1 7 ,b?? ,解得 a ? 12 12 ?16a ? 4b ? 1 ? 0

………………7 分

⑵ 由 f (?1) ? 1 ? a ? b ? 0 , 而 f ( x) ? 2 恒成立 , 即: ax ? bx ? 1 ? 0 恒成立.
2

………………9 分 ………………11 分 ………………14 分

所以 a ? 0 且 ? ? b ? 4a ? 0,
2

?a ? 0 ,解得 ?4 ? a ? 0 ,此为所求的 a 的取值范围 ?? 2 a ? 4 a ? 0 ?

16 解:⑴ 由条件: cos ? ? ? , ? ? ( ⑵ 因为 cos ? ? ? , ? ? ( 因为 ? ? (0,

1 3

?

7 , ? ) 得 cos 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? ; ………6 分 2 9

1 3

?
2

, ? ) ,所以 sin ? ?

2 2 , 3

………8 分 ………9 分

?

? ? 3? ), ? ? ( , ? ) ,所以 ? ? ? ? ( , ) , 2 2 2 2
7 4 2 ,所以 cos(? ? ? ) ? ? , 9 9

又 sin(? ? ? ) ?

………11 分

所以 sin ? ? sin((? ? ? ) ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? ) sin ? ?

1 . ………14 分 3

17:解⑴ 当 n=1 时, a1 ? S1 ? a ?

1 2
1 1 1 ) ? (a ? n ?1 ) ? n n 2 2 2

………2 分 ………5 分 ………7 分 ① ② ………10 分 ………11 分 ………15 分 ………2 分 ………5 分 ………7 分

当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? (a ? 则 a1 ?

1 1 ? a ? ? a ?1; 2 2 n 1 2 3 n ⑵n ? an ? n ,则 Rn ? ? 2 ? 3 ? ? n 2 2 2 2 2 2 3 n 2 Rn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 2 2 2 n?2 ② -① 得: Rn ? 2 ? n . 2

18⑴ 由题意知,在 ?ACD 中, ?ACD ? 30 , ?DAC ? 15 , 所以

CD AD ? ,得 AD ? 100 2 , sin15 sin 30

在直角 ?AOD 中, ?ADO ? 45 ,所以 AO ? 100 (米) ;

⑵ 设 ?ADO ? ? , ?BDO ? ? ,由⑴ 知, BO ? 48 米, 则 tan ? ?

100 48 , tan ? ? , x x

………9 分

100 48 ? tan ? ? tan ? x ? 52 x , ………11 分 tan ?ADB ? tan(? ? ? ) ? ? x 1 ? tan ? ? tan ? 1 ? 100 ? 48 x 2 ? 4800 x x
所以 tan ?ADB ?

52 52 13 3 , ? ? 4800 60 4800 x? 2 x? x x

………13 分

当且仅当 x ?

4800 即 x ? 40 3 亦即 DO ? 40 3 时, x
………14 分 ………15 分

tan ?ADB 取得最大值,
此时点 D 处观测信号塔 AB 的视角 ? ADB 最大.

19⑴ 由题意知, d ?

2 2 1 ? ( ?1)
2 2

? 2 ? r ,所以圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ;

………4 分

⑵ 若直线 l 的斜率不存在,直线 l 为 x ? 1 , 此时直线 l 截圆所得弦长为 2 3 ,符合题意, 若直线 l 的斜率存在,设直线为 y ? ………5 分

3 ? k ( x ? 1) ,即 3kx ? 3 y ? 3 ? 3k ? 0 , 3

由题意知,圆心到直线的距离为 d ? 则直线 l 为 x ? 3 y ? 2 ? 0 .

| 3 ? 3k | 9k 2 ? 9

? 1 ,所以 k ? ?

3 , 3
………7 分 ………8 分

所以所求的直线为 x ? 1 或 x ? 3 y ? 2 ? 0 . ⑶ 由题意知, A(?2, 0) ,设直线 AB : y ? k1 ( x ? 2) , 则?

? y ? k1 ( x ? 2) 4k12 ? 4 2 2 2 2 ,得 ,所以 , x ? x ? (1 ? k ) x ? 4 k x ? (4 k ? 4) ? 0 A B 1 1 1 2 2 1 ? k12 ? x ? y ? 4???
4k1 2 ? 2k12 2 ? 2k12 4k1 , ,即 y ? B ( , ) B 1 ? k12 1 ? k12 1 ? k12 1 ? k12
………11 分

所以 xB ?

?2 2k12 ? 8 ?8k1 因为 k1k2 ? ?2 ,用 代替 k1 ,得 C ( , ), k1 4 ? k12 4 ? k12
4k1 ?8k1 ? 2 ?8k1 1 ? k1 4 ? k12 2k12 ? 8 ? ( x ? ) 所以直线 BC 为 y ? 4 ? k12 2 ? 2k12 2k12 ? 8 4 ? k12 ? 1 ? k12 4 ? k12

………12 分

………14 分

即 y?

3k1 2k1 3k1 2 ?8k1 3k1 2k12 ? 8 x? ? (x ? ) , ? ( x ? ) ,得 y ? 2 2 2 2 2 2 2 ? k1 2 ? k1 2 ? k1 3 4 ? k1 2 ? k1 4 ? k1
2 , 0) . 3
………16 分

所以直线 BC 恒过定点 ( ?

20⑴ 法一:由 Sn ? ?

? an ? 1 ? 2 2 ? 得: 4Sn ? an ? 2an ?1 ①, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ? 1 ②, ? 2 ?

2

② -① 得 4an?1 ? an?12 ? an 2 ? 2an?1 ? 2an ? 2(an?1 ? an ) ? (an?1 ? an )(an?1 ? an ) 由题知 an?1 ? an ? 0 得 an?1 ? an ? 2 , 又 S1 ? a1 ? ( 得 a1 ? 1
2

………2 分

a1 ? 1 2 ) ? 4a1 ? a12 ? 2a1 ?1 2

an ? 2n ?1

Sn ? n2 ;

………4 分

法二:由 Sn ? ?

a1 ? 1 2 ? an ? 1 ? ? 得: S1 ? a1 ? ( 2 ) 得 a1 ? 1 ? S1 ? 2 ?

2 n ? 2 时 2 Sn ? an ? 1 ? Sn ? Sn?1 ? 1 得 ( Sn -1) ? Sn?1 即 Sn ? Sn?1 ? 1

所以

Sn ? n

? Sn ? n 2 ;
?Tn ? n2 ? ?n 最小值为 T6 即

………4 分

⑵ ① 由 bn ? 2n ?1 ? ?

Tn ? T6 ? n2 ? ?n ? T6 ? 36 ? 6? 则

11 ? 13 ? ? ? ? ? ? [?13, ?11] ;………8 分 2 2 2

② 因为 {bn } 是“封闭数列”,设 bp ? bq ? bm ( p, q, m ? Z * ,且任意两个不相等 )得

2 p ? 1 ?? ? 2 q ?1 ? ?
*

?2 m

?1 ? ?

? ?

? 2 m (

? 为奇数………9 分 p? q ?) ? , 则1
? 1 11 ? Tn 18
………11 分

由任意 n ? N ,都有 Tn ? 0 ,且

1 1 1 1 ? ? ? ? 12 T1 T2 T3



1 1 11 7 ? ? ? ? ? ? 11 ,即 ? 的可能值为 1,3,5,7,9, 12 T1 18 11

又 Tn ? n2 ? ?n >0, 因为

1 1 1 1 ?( ? ) n( n ? ? ) n n?? ?

………12 分 ………15 分

检验得满足条件的 ? =3,5,7,9, 即存在这样的“封闭数列” {bn } ,使得对任意 n ? N * ,都有 Tn ? 0 , 且

1 1 1 1 ? ? ? ? 12 T1 T2 T3

?

1 11 ? , Tn 18
………16 分

所以实数 ? 的所有取值集合为 {3,5,7,9} .


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