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2014石家庄高三质检一试卷及答案(文科)


2014 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一) 高三数学(文科)
(时间 120 分钟,满分 150 分)

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注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 5.考虑到各校的复习进度,本试卷考试内容不包含选修系列 4. 第 I 卷 (选择题 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? (1 ? i) ? i 的共轭复数是
3

A. ? 1 ? i

B. 1 ? i
2

C. ? 1 ? i

D. 1 ? i

2.集合 A ? {?1,0,1 }, B ? { y | y ? x ? 1, x ? A} ,则 A ? B = A. ?0? B. ?1? C. ?0,1? D. ??1,0,1?

3.设 a 表示 直线, ?,?,? 表示不同的平面,在下列命题中正确的是

A .若 a ? ? 且 a ? b ,则 b // ?

B .若 ? ? ? 且 ? ? ? ,则 ? // ?

C. 若 a // ? 且 a // ? ,则 ? // ?

D. 若 ? // ? 且 ? // ? ,则 ? // ?

4. 若抛物线 y 2 ? 2 px 上一点 P(2 , y 0 ) 到其准线的距离为 4 ,则抛物线的标准方程为 A. y 2 ? 4 x B. y 2 ? 6 x C. y 2 ? 8x D. y 2 ? 10x

开始

k=1

S=1

S <100?




S=S+S2
输出 k

k=k+1
结束

5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是

A.4

B.5

C.6

D .7

6.把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,连结 AC , 得到三棱锥 C ? ABD , 其正视图、 俯视图均为全等的等腰直角三角 形(如图所示) ,则其侧视图的面积为 A.
正视图

3 2

B.

1 2

C. 1

D.

2 2

俯视图

? y ≥ x, ? 7.设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值 ? x ≥ ?2. ? A. ? 2 B. ?4 C. ? 6 D. ?8
8.若双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0 , b ? 0) 右顶点为 A ,过其左焦点 F 作 x 轴的垂线交双 a2 b2

曲线于 M,N 两点,且 MA ? NA ? 0 ,则该双曲线离心率的取值范围为

A. ( 2 , ? ? )

B. (1 , 2)

C. ( , ? ?)

3 2

D. (1 , )

3 2

9.函数 f ( x) ? sin x ? ln x 的部分图象为

y x
A

y x
B

y x
C

y x
D

、B、C 三点的截面到 O 的距离是球半径的一半,且 10 .已知球 O ,过其球面上 A

AB ? BC ? 2,?B ? 120? ,则球 O 的表面积为
A.

64? 3

B.

8? 3

C. 4?

D.

16? 9

11. 已知各项均为正数的等比数列 {an } 中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2 , 则 2a7 ? a11 的 最小值为 A. 16 B. 8 C. 2 2 D. 4

?1 ? x ? 1 ? x ? 1? 12.已知函数 f ( x) ? ? 4 ,则方程 f ? x ? ? ax 恰有两个不同的实根时,实数 ?ln x ? x ? 1? ?

a 的取值范围是( 1 A. (0, ) e

) (注: e 为自然对数的底数)

1 1 B .[ , ) 4 e

1 C (0, ) 4
共 90 分)

1 D [ , e) 4

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某学校共有师生 3200 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 160 的样本,已知从学生中抽取的人数为 150,那么该学校的教师人数是 . 14 . 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,若

(a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab ,则角 C 的大小为____.
? 15 . 边 长 为 l 的 菱 形 A B C D中 , ? DAB ? 60 , CM ? MD, ND ? 2 BN , 则

AM ? AN ?

.

16.如图,一个类似杨辉三角的数阵,则第 n ? n ? 2? 行的第 2 个数为_____. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 ( 本小题满分 10 分) 已知函数

f ( x) ? sin(4 x ? ) ? cos(4 x ? ) . 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数

f ( x) 的最大值 y ? f ( x) 的对称轴,求实数 m 的值.

(Ⅱ)若直线 x ? m 是函数
18. ( 本小题满分 12 分)

已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S3 = a4 + 6 ,且 a1 , a4 , a13 成等比数 列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an

? 1,求数列 {bn } 的前 n 项和.

19. ( 本小题满分 12 分)

2013 年 12 月 21 日上午 10 时, 依据石家庄市大气污染Ⅱ级预警应急响应, 石家庄市正式 实施机动车尾号限行,当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 人, 将调查情况进行了整理,制成下表: 年龄(岁) 频数 赞成人数

?15,25?
5 4

?25,35?
10 6

?35,45?
15 9

?45,55?
10 8

?55,65?
5 3

?65,75?
5 4

(Ⅰ)完成被调查人员的频率分布直方图; (Ⅱ) 若从年龄 在 ?55,65? ?65,75? 的被调查者中各随机选取 1 人进行追踪调查, 求两人 中至少有一人赞成“车辆限行”的概率.

频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

20. ( 本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长 为 1 的正方形, CD ? 平面 PAD , PA ? AD ,

PA ? 2 , E 为 PC 的中点, F 在棱 PA 上
(Ⅰ)求证: AC ? DE ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? BDF 的体积.
21. ( 本小题满分 12 分)





a?R







f ( x) ? 2x3 ? 3? a ?1? x2 ? 6ax
(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区 间; (Ⅱ) 若 a ? 0 ,函数 y ? f ( x) 在闭区间 [0, a ? 1] 上的最大值为 f (a ? 1) ,求 a 的 取值范围。

22.(本小题满分 12 分) 已知 F1 (?1 , 0) 、 F2 (1 , 0) 为椭圆 C 的左、右焦点,且点 P (1 , (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,则△ F2 AB 的内切圆的面积是否存在最大 值?若存在求其最大值及此时直线方程;若不存在,请说明理由.

2 3 ) 在椭圆 C 上. 3

2014 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(一) 高三数学(文科答案)
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1-5 DBDCB 6-10 BDBAA 11-12 BB

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 . 200 __ 14.

2? 3
2

15.

13 12

16. n ? 2n ? 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17 .解: (Ⅰ)

f ( x) ? sin(4 x ? ) ? cos( ? 4 x) 4 4 ? sin(4 x ? ) ? sin( ? 4 x) 4 4

?

?

?

?

? 2sin(4 x ? ) ,………………………3 分 4
所以

?

f ( x) 的最大值是 2.………………………5 分

(Ⅰ)令 4 x ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z) ,…………………7 分

则x

?

k? ? ? (k ? z ) ,………………9 分 4 16

而直线 x ? m 是函 18.

y ? f ( x) 的对称轴,所以 m ?

k? ? ? (k ? Z) ………10 分 4 16

解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ? 0 . 因为 S3 = a4 + 6 ,所以 3a1 ?

3 ? 2d ? a1 ? 3d ? 6 . 2

① ② ??2 分

因为 a1 , a4 , a13 成等比数列,所以 a1 (a1 + 12d ) = (a1 + 3d )2 . 由①,②可得: a1 = 3, d = 2 . 所以 an = 2n + 1 .

??????????????4 分 ??????????????5 分

(Ⅱ)由题意 bn ? 2 2n?1 ? 1 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn , cn ? 2 2n?1 ,

cn?1 2 2( n?1)?1 ? 2 n?1 ? 4 (n ? N * ) ,所以数列 {cn } 为以 8 为首项,以 4 为公比的等比数 cn 2
列??7 分

8(1 ? 4n ) 4n?1 ? 8 ?n? ? n. ??????????????10 分 所以 Tn ? 1? 4 3
19. 答案: (1)各组的频率分别是 0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1 所以图中各组的纵坐标分别是 0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01

频率 组距

0.03 0.02 0.01 15 25 35 45 55 65 75 年龄

????????5 分 (2) 设 A 表示事件:年龄在 ?55,65? ?65,75? 的被调查者中各随机选取 1 人进行追踪调查, 两人中至少有一人赞成“车辆限行”. 则 A 表示事件:年龄在 ?55,65? ?65,75? 的被调查者中各随机选取 1 人进行追踪调查,两 人都不赞成“车辆限行” 。 从年龄 在 ?55,65? ?65,75? 的被调查者中各随机选取 1 人,所有可能的结果数为 25 ???????7 分 记年龄在 ?55,65? 内的不赞成的人为 a,b,年龄在 ?65,75? 内的不赞成的人为 c. 两人都不赞成“车辆限行”的所有可能结果为:ac,bc. ??????10 分

\ P( A) = 1 - P( A) = 1 20.

2 23 = ?????12 分 25 25

P

F E

A
解: (Ⅰ)连接 EO , E 为 PC 的中点, EO / / AP ,

D
O

B

C

因为 CD ? 平面 PAD , CD ? 平面 ABCD , 所以平面 ABCD ? 平面 PAD , 且平面 ABCD ? 平面 PAD ? AD , PA ? AD , PA ? 平面 ABCD 所以 EO ? 平面 ABCD ,??????4 分 EO ? AC ,又 AC ? BD , AC ? 平面 BED , ED ? 平面 BED , 所以 AC ? DE .???????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EO / / AP , EO ? 平面 BED ,所以 AP / / 平面 BED , 又 AC ? 平 面 BED , 所 以 AO 即 为 点 F 与 平 面 BED 的 距 离 , AO ?

2 ,而 2

S?BDE ?

1 2 ,??????10 分 BD ? EO ? 2 2

1 2 2 1 VE ? BDF ? VF ? EDB ? ? ? ? ??????12 分 3 2 2 6
解法二 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 EO / / AP , EO ? 平面 BED ,所以 AP / / 平面 BED , 所以 AO 即为点 F 与平面 BED 的距离

1 1 1 VE ? BDF ? VF ? EDB ? VA? EDB ? VE ? ADB ? ? ? 1 ? . 3 2 6
21. 解:f/(x)=6x2-6(a+1)x+6a =6(x-1)(x-a)?????2 分 (1)当 a=2 时,f/(x)=6(x-1)(x-a)= 6(x-1)(x-2) 当 x<1 或 x>2 时,f/(x)>0, 当 1<x<2,f/(x)<0, 所以 f(x)的单调增区间分别为(-∞,1), (2,+∞),??????5 分 f(x)的单调减区间为(1,2) (2) (Ⅰ)当 a=1 时,f/(x)=6(x-1)2≥0,f(x)在 [0,a+1]上单调递增,最大值为 f(a+1) (Ⅱ)当 0<a<1 时,列表如下: x f (x) f(x)
/

0

(0,a) + 增

a 0 极大值 f(a)

(a,1) 减

1 0

(1,1+a) + 增

a+1

由表知 f(x)在[0,a+1]上的最大值,只有可能是 f(a)或 f(a+1) 所以只需 f(a+1) -f(a)=(-a3+3a2+3a-1)-(-a3+3a2)=3a-1≥0 解得 a≥

1 1 ,此时 ≤a<1 3 3

(Ⅲ)当 a>1 时,列表如下:

x f (x) f(x)
/

0

(0,1) + 增

1 0 极大值 f(1)

(1 ,a) 减

a 0

(a,1+a) + 增

a+1

由表知 f(x)在[0,a+1]上的最大值,只有可能是 f(1)或 f(a+1) 所以只需 f(a+1) -f(1)=(-a3+3a2+3a-1)-(3a-1)=- a 3+3a2=-a2(a-3)≥0 解得 a≤3,此时 1<a≤3.??????11 分 由(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)得

1 ≤a≤3 3 1 ,3]. ??????12 分 3

所以满足条件的 a 的取值范围是[

22.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

因为 | PF 1 | ? | PF2 |?

(1 ? 1) 2 ? (

2 3 2 2 3 2 ) ? (1 ? 1) 2 ? ( ) ? 2 3 ? 2a ,所以 3 3

a 2 ? 3 , b2 ? 2 ,
所以,椭圆 C 的方程为

x 2 y2 ? ?1 3 2

(也可用待定系数法 ??????4 分

1 12 b2 a2 ?1 2 3 ,或用 ) ? ? ? ? 1 a a 3 a 2 9(a 2 ? 1)

? x2 y 2 ?1 ? ? ( 2 ) 当 直 线 l 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 l : y ? k ( x ? 1) , 由 ? 3 得 2 ? y ? k ( x ? 1) ?

(2 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , x1 x2 ?

3k 2 ? 6 ?6k 2 x ? x ? , ?????6 分 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

所以 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?
2

4 3(k 2 ? 1) , 2 ? 3k 2

设内切圆半径为 r ,因为 ?ABF2 的周长为 4a ? 4 3 (定值) ,

S

ABF2

?

1 ? 4a ? r ? 2 3r ,所以当 ?ABF2 的面积最大时,内切圆面积最大,又 2

S# ABF2

4 3k 2 (k 2 ? 1) 1 ? | F1 F2 || y1 ? y2 |?| y1 ? y2 | ?| k || x1 ? x2 | ? ,????8 分 2 2 ? 3k 2
2

2 令 t ? 2 ? 3k ? 2 ,则 k ?

t ?2 ,所以 3

S

ABF2

?

4 3k 2 (k 2 ? 1) 4 (t ? 2)(t ? 1) 4 2 1 ????10 分 ?4 ? ? 2 ? ?1 ? 2 2 2 ? 3k 3t t t 3 3
4 4 S 2 ,此时 r ? ? , S圆 = ? 9 3 2 3 3 4 ? ,此时直线方程为 x ? ?1 . 9

又当 k 不存在时, | y1 ? y2 | ?

故当 k 不存在时圆面积最大, S圆 = ………………12 分


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