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高二同步学讲义 高中数学立体几何常考证明题汇总



线面位置关系及角度的求证问题
1、已知四边形 ABCD 是空间四边形, E , F , G, H 分别是边 AB, BC, CD, DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形 (2) 若 BD= 2 3 ,AC=2,EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。 A E B F C (考点:证平行(利用三角形中位线) ,异面直线所成的角) 2、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC , AD ? BD , E 是 AB 的中点。 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC 。 证明: E A G

H D

B

C

D (考点:线面垂直,面面垂直的判定 3、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 AA1 的中点, 求证: A1C // 平面 BDE 。 B1 E A
1

D1

C
1

A

D

B

C

(考点:线面平行的判定)

4、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90? , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC . 证明:

S

D A
(考点:线面垂直的判定) 5、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2) AC ? 面 AB1D1 . 1 证明:

B C

D1 A1 D O A B B1

C1

C

【考点:线面平行的判定(利用平行四边形) ,线面垂直的判定】 6、正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求证: (1) AC ? 平面B ' D ' DB ; (2) BD ' ? 平面ACB ' .

(考点:线面垂直的判定) 7、正方体 ABCD—A1B1C1D1 中.(1)求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C; (2)若 E、F 分别是 AA1,CC1 的中点,求证:平面 EB1D1∥平面 FBD. 证明: A1 E D A 【考点:线面平行的判定(利用平行四边形) 】 D1 B1 F G B C C1

8、四面体 ABCD 中, AC ? BD, E, F 分别为 AD, BC 的中点, 且 EF ?

2 AC , 2

?BDC ? 90? ,求证: BD ? 平面 ACD
证明:

【考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形】 9、如图 P 是 ?ABC 所在平面外一点, PA ? PB, CB ? 平面 PAB , M 是 PC 的中点, N 是 AB 上的点,

AN ? 3NB ? (1)求证: MN ? AB ; (2)当 ?APB ? 90 , AB ? 2BC ? 4 时,求 MN 的长。
证明:
M

P

C

A N

B

(考点:三垂线定理) 10、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 、 F 、 G 分别是 AB 、 AD 、 C1 D1 的中点.求证:平面 D1 EF ∥ 平面 BDG . 证明:

【考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) 】 11、如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 AA1 的中点. (1)求证: A1C // 平面 BDE ; (2)求证:平面 A1 AC ? 平面 BDE . 证明:

【考点:线面平行的判定(利用三角形中位线) ,面面垂直的判定】

12、已知 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , AB ? 2 , PA ? AD ? 4 , E 为 BC 的中点. (1)求证: DE ? 平面 PAE ; (2)求直线 DP 与平面 PAE 所成的角. 证明:

(考点:线面垂直的判定,构造直角三角形) 13、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,
0

且平面 PAD 垂直于底面 ABCD . (1)若 G 为 AD 的中点,求证: BG ? 平面 PAD ; (2)求证: AD ? PB ; (3)求二面角 A ? BC ? P 的大小. 证明:

【考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法) 】 14、如图 1,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 CC1 的中点,AC 交 BD 于点 O,求证: A1O ? 平面 MBD. 证明:

【考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直】 15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC=AC,AD=BD, 作 BE⊥CD,E为垂足,作 AH⊥BE 于H.求证:AH⊥平面 BCD. 证明:

(考点:线面垂直的判定)

16、证明:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1C⊥平面 BC1D
D1 A1 B1 C1

D A B

C

(考点:线面垂直的判定,三垂线定理) 17、如图,过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证: 平面 ABC⊥平面 BSC. 证明:

【考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角) 】



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