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高中数学公式总结全面版


高中数学公式总结
一、 集合与函数 1、若集合 A 中有 n (n ? N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 n ,所有非空真子集的个数是

2 n ? 2 。 A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B;
2 、 二 次 函 数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?
? b 4ac ? b 2 ? ? ? 2a , 4a ? ?。 ? ? ?

b 2 4ac ? b 2 的图象的对称轴方程是 ) ? 2a 4a

x??

b 2a

,顶点坐标是

3、 (1) log a 1 ? 0,log a a ? 1 (a>0,a≠1,); (2) l og a M -l og a N ? log a

(3) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 ); 二、 三角函数 1、 以角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 ? 的终边上任取一个异于原 点的点 P( x, y ) ,点 P 到原点的距离记为 r ,则 sin ? = 2、

M l og a M +l og a N ? log a MN ; N

x y y ,cos ? = ,tan ? = , r r x 2 2 同角三角函数的关系中,平方关系是: sin ? ? cos ? ? 1 , 倒数关系是: tg? ? ctg? ? 1 ,相除
sin ? , cos?

关系是: tg? ?

3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。 (其中A ? 0,? ? 0) 4、 函数 y ? A sin( 的最大值是 A ? B ,最小值是 B ? A ,周期是 ?x ? ? ) ? B

T?

2?

?

, 频率是 f ?

? ? , 相位是 ?x ? ? , 初相是 ? ; 其图象的对称轴是直线 ?x ? ? ? k? ? (k ? Z ) , 2? 2

凡是该图象与直线 y ? B 的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间:
3? ? (k ? Z ) ; y ? cos x ? ? (k ? Z ) , 递减区间是 ?2k? ? ? , y ? s in x 的递增区间是 ?2k? ? ? , 2k? ? 2k? ?
? ? 2 2? ?

的递增区间是 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) ,递减区间是 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) , 6、 和角、 差角公式: sin(? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

? ?

2

2? ?

cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ?

t a n? (?? ? )

tan ? ? t a?n 1? t a ? n? ta ?n

7、二倍角公式是:sin2 ? = 2 sin? ? cos?

cos2 ? = cos ? ? sin ? = 2 cos ? ? 1= 1 ? 2 sin ?
2 2 2 2

? 2 ? tan2 ? = 2 tan ? 。9、升幂公式是: 1 ? cos? ? 2 cos 1 ? cos? ? 2 sin 2 。
1 ? tan 2 ?

2

2

10、降幂公式是: sin ? ?
2

?
sin ? cos ? tan ?

0 0 1

? 6 1 2
3 2 3 3

1 ? cos 2? 2

co2 s? ?

? 4

? 3
3 2 1 2
3

? 2
1 0 不 存 在

2 2 2 2
1

0

1? c o s 2? 。11.特殊角的三角函数值: 2 2? 3? 5? 3? ? 3 4 6 2 1 2 3 0 ?1 2 2 2 1 2 3 ? 0 ?1 ? ? 2 2 2 不 3 ? ? 1 0 存 ? 3 3


a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 2 2 2 14、余弦定理:第一形式, b = a ? c ? 2ac cos B a2 ? c2 ? b2 第二形式,cosB= 2ac 1 1 15、△ABC 的面积用 S 表示,① S ? a ? ha ? ? ;② S ? bc sin A ? ? ; 2 2
13、正弦定理(其中 R 为三角形的外接圆半径) : 三、 不等式 1、两个正数的均值不等式是:

a?b ? ab 2
2 1 1 ? a b ? ab ? a?b ? 2 a2 ? b2 2

2、两个正数 a、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

四、

数列

n(a1 ? a n ) 1 = na1 ? n(n ? 1)d 。 2 2 ? na1 (q ? 1) ? n n ?1 2、等比数列的通项公式是 a n ? a1 q ,前 n 项和公式是: S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? ? 1? q
1、 等差数列的通项公式是 a n ? a1 ? (n ? 1)d , 前 n 项和公式是:S n ? 3、 若 m、 n、 p、 q∈N, 且 m ?n ?p ?q ? r 2 , 那么: 当数列 ?a n ?是等差数列时, 有 am ? an ? a p ? aq ? 2ar ; 当数列 ?a n ?是等比数列时,有 am ? an ? a p ? aq ? ar 五、 1、 2、 3、 4、 5、 λ = 解析几何 同一坐标轴上两点距离公式: AB ? x B ? x A 数轴上两点间距离公式: AB ? x B ? x A 直角坐标平面内的两点间距离公式: P1 P2 ? 若点 P 分有向线段 P1 P2 成定比λ ,则λ =
2

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

P1 P PP2

若点 P 1 P2 成定比λ ,则: 1 ( x1 , y1 ),P 2 ( x 2 , y 2 ),P( x, y ) ,点 P 分有向线段 P

x ? x1 y ? y1 x ? ?x 2 y ? ?y 2 = ; x= 1 , y= 1 x2 ? x y 2 ? y 1? ? 1? ?
? 3 3 ?

x ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y 3 ? 。 若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ),C ( x3 , y3 ) ,则△ABC 的重心 G 的坐标是 ? , ? 1 ?

y 2 ? y1 。 x 2 ? x1 7、直线方程的几种形式:点斜式: y ? y 0 ? k ( x ? x0 ) , 斜截式: y ? kx ? b
6、求直线斜率的定义式为 k= tan ? ,两点式为 k= 两点式:

y ? y1 x ? x1 x y ? , 截距式: ? ? 1 ,一般式: Ax ? By ? C ? 0 y 2 ? y1 x 2 ? x1 a b 经过两条直线 l1:A1 x ? B1 y ? C1 ? 0和l 2:A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 的交点的直线系方程是: A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0
点 P( x0 , y 0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

8、

Ax0 ? By 0 ? C

A2 ? B 2 C1 ? C 2 10、两平行直线 l1:Ax ? By ? C1 ? 0,l 2:Ax ? By ? C2 ? 0 距离 d ? A2 ? B 2

11、圆的标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2

2 2 2

圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4 F ? 0)

D 2 ? E 2 ? 4F E? ? D ,圆心坐标是 ? ? , ? ? 2 2? ? 2 ? x ? a ? r cos? (?是参数) 。 圆心在点 C (a,b) ,半径为 r 的圆的参数方程是: ? ? y ? b ? r sin ? 2 2 2 2 13、圆 x ? y ? r 的以P( x0 , y 0 ) 为切点的切线方程是: x0 x ? y 0 y ? r
其中,半径是 r ? 14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种: ①代数法(判别式法) :Δ >0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离; ②几何法(圆心到直线的距离与半径的大小关系) :距离大于半径、等于半径、小于半径,等价 于直线与圆相离、相切、相交。

15 、 椭 圆

的 离 心 率





;双曲线 实轴的弦长为: (1 若双曲线方程为 (2)若渐近线方程为 (3)若双曲线与 轴上. . 渐近线方程: ,

的离心率

,过焦点且垂直于

. 双曲线可设为 . ,焦点在 x 轴上, ,焦点在 y

有公共渐近线,可设为

(4) 焦点到渐近线的距离总是 。 抛物线 的焦半径公式:抛物线 , .

(其中 θ 为 x 轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转到 FC 的角) 过焦点弦长 16、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 . 或

六、立体几何
1、体积公式: 柱体: V ? S ? h ,圆柱体: V ? ? r ? h 。
2

斜棱柱体积: V ? S ? ? l (其中, S ? 是直 台体:

截面面积, l 是侧棱长) ;

V ?
锥体:

1 1 S ?h V ? ? r2 ?h 3 3 ,圆锥体: 。

1 ? h( S ? S ? S ? ? S ?) 3 , 1 4 V ? ?h( R 2 ? R ? r ? r 2 ) V ? ? r3 3 3 圆台体: 球体: 。 侧面积:直棱柱侧面积: S ? c ? h ,斜棱柱侧面积: S ? c? ? l ; V?

1 1 c ? h? S ? (c ? c ?)h? 2 2 正棱锥侧面积: ,正棱台侧面积: ;圆柱侧面积: S ? c ? h ? 2?rh ,圆锥侧面 1 1 S ? c ? l ? ?rl S ? (c ? c ?)l ? ? ( R ? r )l 2 2 2 积: ,圆台侧面积: ,球的表面积: S ? 4? r 。 5、几个基本公式: 弧长公式: l ? ? ? r ( ? 是圆心角的弧度数, ? >0) ; 1 S ? l ?r 2 扇形面积公式: ; S?

七、平面向量
?

1.运算性质: a ? b ? b ? a, a ? b ? c ? a ? b ? c , a ? 0 ? 0 ? a ? a

? ?
?

? ?
?

a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? 2.坐标运算:设 AB ? ? x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? . 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) ,则
3.实数与向量的积的运算律:
?

?

? ? ? ?? ? ? a ? ? ??? ? a , ?? ? ? ? a ? ? a ? ? a , ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

a ? ? x, y ? ,则λ a ? ? ? x, y ? ? ??x, ?y ? , 设

?

?

4.平面向量的数量积: ? ? ? ? ?? ? ? ? ? a? b ? a ? b cos? ? a ? 0 , b ? 0 ,0 0 ? ? ? 180 0 ? ? ?, 定义:
? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?? a? b ? b ? a , ? ? a ? ? b ? a? ? ? b ? ? ? ? a? b ? ? ? ? ? ? ? , 运算律: ? ?

? ?

0? a ? 0 .

?? ?? ? ? ? ? ? ? a ? b ? ? c ? a? c ? b? c ? ?

a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? 坐标运算:设
5.重要定理、公式:平面向量的基本定理

?

?

? ?

,则

a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2
?

e 如果 1

?

e 和 2
?

?

是同一平面内的两个不共线向量 , 那么对该平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数
? ?

?1 , ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ? 2 e2
? ?

?

两个向量平行的充要条件
? ?

a// b ? a ? ? b (? ? R)

?

?

?



a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a// b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0
? ? ? ?
? ?

a ? ? x1 , y1 ?, b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 两个非零向量垂直的充要条件 a ? b ? a ? b ? 0 a ? b ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 八、导数
1、 2. 函数 函数 在 的导数: 在点 在点 处的导数的几何意义 在 处的切线的斜率 ,相应的切线方程 .
? ?

处的导数是曲线 .

是 3.几种常见函数的导数 (1) (5) C 为常数.(2) ;

.(3) .(6) .2 ; .3

.(4) . .

.

4.导数的运算法则 1



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