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福利彩票中的数学问题



研究课题:福利彩票中的数学问题
中国福利彩票始于 1987 年,以“团结各界热心社会福利事业的人士,发扬 社会主义人道主义精神,筹集社会福利资金,兴办残疾人、老年人、孤儿福利事 业和帮助有困难的人”、即“扶老、助残、救孤、济困、赈灾”为宗旨。目前中 国福利彩票的种类有:刮刮乐、双色球、3D、地方福彩、七乐彩、35 选 7、29 选 7、25 选 4、东方 6+1、华东

15 选 5、新 3D。按彩票特征分类可分为以下四种: (1)传统型彩票。这是一种被动型彩票,它由发行部门事先印制号码(一般 是 5 至 7 位数字)、中奖形式、奖金等级和得奖金额,彩民购买后要等待公开摇 奖的结果才能知道自己是否中奖。 设奖等级?般根据彩票号码中有多少个首位数 或尾数与中奖号码相符来确定。 (2)乐透型彩票。最初是一种纸牌游戏,所以乐透型彩票具有传统型彩票所 没有的灵活性和娱乐性。 (3)数字型彩票。数字型彩票是由彩民选取三位数(000-999)或四位数 (oooo-9999)或五位数(00000-99999)的玩法,通常是每天开奖,购买者选取一个 三位或四位数或五位数的组合。 组合方式不同决定资金的多少,最基本的是排列 和组合两种。前者要求所预测的号码必须与开奖的号码在顺序和数字上完全一 致;而后者则无顺序要求,只要数字相符即可。 (4)透透型彩票。透透型彩票实际是一种体育运动竞猜型彩票。它是体育比 赛与彩票的结合,要求彩民预测体育比赛的结果,通常是预测足球比赛的结果, 故含有智力因素,其彩金的支付一般按固定比例分配。 1. 彩票中的概率问题: 彩票玩法比较简单,2 元买一注,每一注填写一张彩票.每张彩票由一个 6 位数字和一个特别号码组成.每位数字均可填写 0、1、?、9 这 10 个数字中的 一个;特别号码为 0、1、2、3、4 中的一个. 每期设六个奖项, 投注者随机开出一个奖号──一个 6 位数号码,另加一个 特别号码即 0~4 中的某个数字.中奖号码规定如下:彩票上填写的 6 位数与开 出的 6 位数完全相同,而且特别号码也相同──特等奖;6 位数完全相同──一 等奖;有 5 个连续数字相同──二等奖;有 4 个连续数字相同──三等奖;有 3 个连续数字相同──四等奖;有 2 个连续数字相同──五等奖. 每一期彩票以收入的 50%作为奖金.三、四、五等奖的奖金固定,特、一、 二等奖的奖金浮动.例如,如果一等奖号码是 123456,特别号为 0,以一注为单 位,计算每一注彩票的中奖概率. 等 级 基 本 号 码 特别号 说 明 基 本 号 码/特别号 说 明 一等奖 码 码 选 7 中(6+1) 二等奖 ●●●●●●● 选 7 中(7) ●●●●●●★ 选 7 中(6) 三等奖 ●●●●●●○ ★ 选 7 中(6+1)●●●●●● 选 7 中(5+1) 四等奖 ●●●●●●○ 选 7 中(6) ●●●●●○★ 选 7 中(5) 五等奖 ●●●●●○○ ★ 选 7 中(5+1)●●●●●○ 选 7 中(4+1) 六等奖 ●●●●●○○ 选 7 中(5) ●●●●○○★ 选 7 中(4) ●●●●○○○ ★ 选 7 中(4+1)●●●●○○ 七等奖 选 7 中(3+1) ●●●●○○○ 选 7 中(4) ●●●○○○★
1

特等奖──前 6 位数有 106 种可能,特别号码有 5 种可能,共有 106×5= 5000000 种选择,而特等奖号码只有一个,因此,一注中特等奖的概率为: P0=1/5000000=2×10-7=0.0000002; 一等奖──前 6 位数相同的,只有一种可能,故中一等奖的概率为: P1=1/1000000=10-6=0.000001; 二等奖──有 20 个号码可以选择,故中二等奖的概率为: P2=20/1000000=0.00002; 三等奖──有 300 个号码可以选择,故中三等奖的概率为: P3=300/1000000=0.0003; 四等奖──有 4000 个号码可以选择,故中四等奖的概率为: P4=4000/1000000=0.004; 五等奖──有 50000 个号码可以选择,故中五等奖的概率为: P5=50000/1000000=0.05. 合起来,每一注总的中奖率为: P=P0+P1+P2+P3+P4+P5=0.0543212≈5.4%, 这就是说,每 1000 注彩票,约有 54 注中奖(包括五等奖到特等奖). 中奖概率=该等奖中奖号码个数/所有可能的号码个数 由该公式,推出 n 选 m 、 n 选 m ? 1 、 10 选 6 ? 1 、 n 选 m (无特别号)四类 抽奖方案各奖项的中奖概率计算公式: 概率

n选m
m 1 / Cn
m?1 m Cm / Cn

n选m ?1
m?1 1 / Cn

10 选 6+1
2 ? 10?7
8 ? 10?7 1.8 ? 10?5 2.61? 10?4 3.42? 10-3 4.2039 ? 10-2

无特别号
m 1 / Cn
m?1 1 m Cm Cn?m / Cn

p1

p2

1 m?1 Cn ?( m?1) / Cn m?1 1 m?1 Cm Cn?( m?1) / Cn m?1 2 m?1 Cm Cn?( m?1) / Cn m?2 2 m?1 Cm Cn?(m?1) / Cn m?2 3 m?1 Cm Cn?(m?1) / Cn m?3 3 m?1 Cm Cn?(m?1) / Cn

p3
p4

m?1 1 m Cm ? Cn ?( m?1) / Cn m? 2 1 m Cm ? Cn ?( m?1) / Cn m? 2 2 m Cm ? Cn ?( m?1) / Cn m?3 2 m Cm ? Cn ?( m?1) / Cn m?3 3 m Cm ? Cn ?( m?1) / Cn

m? 2 2 m Cm Cn?m / Cn
m?3 3 m Cm Cn?m / Cn

p5 p6 p7

m? 4 4 m Cm Cn?m / Cn
m?5 5 m Cm Cn ? m / Cn

具体地对于给定的 29 种方案各奖项的中奖概率见下表。 方案

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7
0

6+1/10 2.0000e-7 8.0000e-7 1.8000e-5 2.6100e-4 3.4200e-3 4.2039e-2 7/29 7/30 7/31

6.4071e-7 4.4849e-6 9.4184e-5 2.8255e-4 2.8255e-3 4.7092e-3 2.9800e-2 4.9121e-7 3.4385e-6 7.5646e-5 2.2694e-4 2.3828e-3 3.9714e-3 2.6476e-2 3.8029e-7 2.6620e-6 6.1227e-5 1.8368e-4 2.0205e-3 3.3675e-3 2.3572e-2
2

6+1/29 6.4071e-7 1.4096e-5 8.4573e-5 8.8802e-4 2.2200e-3 1.4800e-2 1.9700e-2

7/32 7/33 7/34 7/35 7/35 7/36 7/37 6/40 5/60

2.9710e-7 2.0797e-6 4.9913e-5 1.4974e-4 1.7220e-3 2.8700e-3 2.1000e-2 2.3408e-7 1.6386e-6 4.0964e-5 1.2289e-4 1.4747e-3 2.4578e-3 1.8843e-2 1.8589e-7 1.3012e-6 3.3831e-5 1.0149e-4 1.2687e-3 2.1145e-3 1.6916e-2 1.4871e-7 1.0410e-6 2.8106e-5 8.4318e-5 1.0961e-3 1.8269e-3 1.5224e-2 1.4871e-7 2.9147e-5 1.1805e-3 1.7051e-2 1.0657e-1 0 0

6+1/36 1.1979e-7 3.4740e-6 2.0844e-5 2.9182e-4 7.2954e-4 6.5659e-3 8.7545e-3 1.1979e-7 8.3856e-7 2.3480e-5 7.0439e-5 9.5092e-4 1.5849e-3 1.3736e-2 9.7130e-8 6.7991e-7 1.9717e-5 5.9152e-5 8.2813e-4 1.3802e-3 2.4000e-2 2.6053e-7 1.5632e-6 5.1584e-5 1.2896e-4 2.0634e-3 2.7512e-3 1.8310e-7 9.1550e-7 4.9437e-5 9.8874e-5 2.6202e-3 0 0 0

2. 彩票中奖的期望值 因为福利彩票和体育彩票一样, 奖金的返还率为 50%, 所以, 从总体上来说, 每一注彩票的期望值应该是 1 元.现在,我们来实际计算一下,看是否如此. 彩票的期望值依赖两个因素,一是各个奖级的中奖概率,一是各个奖级的奖 金数额.中奖概率已经计算出,体彩的三、四、五等奖,已经知道;但前三个奖 级的奖金是浮动的,需要进行估计. 根据规定,这三种奖级的奖金与三个因素有关,一是当期奖金总额,即销售 的彩票总注数; 二是上期“奖池”中的累积奖金; 三是滞留下期“奖池”的奖金. 综合这几种因素,再结合对历年获奖情况统计的平均值,可以作如下假定: 第一,每一期售出 100 万注,奖金总额为 100 万;第二,每期前三个奖级奖金取 平均值;第三,奖池的累积奖金以平均值计算.结果如下: 从而,算得期望值 E=0.0000002×2000000+0.000001×50000+0.00002×5000+0.0003 ×300+0.004×20+0.05×5 =0.4+0.05+0.1+0.09+0.08+0.25 =0.97(元), 即每一注体育彩票的中奖的期望值约为 0.97 元.这与理论值(1 元)非常接 近. 3 中奖号码的随机性 随着彩票市场的发展,“彩民”们越来越关注每一期的中奖号码,各地晚报 上也不时发表谈论彩票的文章. 有的说中奖号码没有规律,有的则振振有词地说 有“规律”.那么中奖号码到底有没有“规律”可循? 3.1 就每一期的中奖号码来说,是没有规律的 我们知道,每一期开奖,都是用号码机公开摇奖.这样摇出来的中奖号码, 应该相信是随机的,即 0、1、??、9 这 10 个数字,出现在中奖号码的每一个 数位上的可能性,都是相等的.因此,就每一个中奖号码来说,它的出现是毫无 规律可言的, 因此是事先猜不到的.现在甚至有所谓“预测”彩票中奖号码的电 脑软件,不过是假借此偶然性来推测偶然性的游戏,是不足为信的. 3.2 从总体上来说,中奖号码又服从某些统计规律
3

从概率统计的观点来说, 对于多次开奖开出的中奖号码,又具有某些统计规 律.例如,体育彩票是由 6 个中奖号码和一个特别号码组成的,每一个中奖号码 上出现 0、1、?、9 的可能性相等,即其出现的概率都是 0.1,因此它的数学期 望是:(0+1+?+9)×0.1=4.5.所以 6 个基本号码的和的数学期望是 4.5×6 =27.这就是说,尽管每一个中奖号码是随机的,但是,它的 6 个数字之和,其 平均值为 27.又可以算得其均方差为 17. 4. 奖金额的计算 对某一种方案的 j ( j ? 1,2,3) 等奖的奖金金额 s j 为:

sj ?

(1 ? ? si ? pi ) ? c j
i ?4

7

pj

?????????????(1)

式中 si ?i ? 4,5,6,7? 为四至七等奖的奖金金额,pi 为四至七等奖的中奖概率,p j 为 一至三等奖的中奖概率, c j 为一至三等奖的奖金比例。对于给定的 29 种方案各 奖项的奖金金额见下表: 方案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 一等奖 金 额 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 金 额 金 额 金 额 金 额 金 额 金 额 16449 7146 7146 5359 1714 1249 1521 1754 1401 2058 2116 3247 3247 2435 4018 2732 5312 4912
4

2467375 246738 1929315 160776 2090091 120582 2250868 120582 755658 659268 761459 945350 1085640 795285 1703513 1772846 1909219 2045592 2461234 2390286 3039339 35984 12486 25103 19293 20673 28403 32448 58445 38964 38964 50229 45529 76622

50 300 300 300 300 200 500 200 200 500 320 500 500 500 600 500 500 500

0 20 20 20 30 20 50 50 30 50 30 50 50 50 60 50 30 50

0 5 5 5 5 5 15 10 10 20 5 10 10 10 6 10 6 10

0 0 0 0 0 0 5 5 5 10 0 0 0 0 0 5 0 2

3141850 103578

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

4287112 131238 3376447 3220721 4387996 4832630 4205385 4778064 4865826 2992688 68907 61347 78357 2000 19335 20595 99303 60827

4861 5104 3408 2902 20 4834 3433 7093 5777 1475 3608

300 500 1000 200 4 500 500 500 1500 200 300

50 100 100 50 2 100 100 50 100 10 30

5 30 50 20 0 10 10 10 50 1 0

0 5 5 5 0 5 0 5 0 0 0

5473210 167547 2922127 194809

5



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