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【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版):第九章 平面解析几何 9-8 Word版含解析



基础达标检测 一、选择题 1.到点 F(0,4)的距离比它到直线 y=-5 的距离小 1 的动点 M 的 轨迹方程为( A.y=16x2 C.x2=16y [答案] C [解析] ∵动点 M 到点 F(0,4)的距离比它到直线 y=-5 的距离小 1,∴动点 M 到点 F(0,4)的距离与它到直线 y=-4 的距离相等.根据 抛物线的定义可得点 M 的轨迹是以 F(0,4)为焦点

,以直线 y=-4 为准 线的抛物线,其标准方程为 x2=16y,故选 C. → → 2.已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 满足PM· PN=0,则点 P 的轨 迹方程为( ) B.x2+y2=4 D.x2+y2=8 ) B.y=-16x2 D.x2=-16y

x2 A.16+y2=1 C.y2-x2=8 [答案] B

→ → [解析] 设点 P 的坐标为(x,y),即PM· PN=(-2-x,-y)· (2-x, -y)=-4+x2+y2=0,即得点 P 的轨迹为 x2+y2=4. x2 y2 3.直线 y=kx-k+1 与椭圆 9 + 4 =1 的位置关系为( A.相交 C.相离 B.相切 D.不确定 )

[答案] A [解析] 直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点(1,1),而点(1,1) 在椭圆内部,故直线与椭圆相交. 4. 已知抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F, 直线 y=2x-4 与 C 交于 A、 B 两点,则 cos∠AFB=( 4 A.5 3 C.-5 [答案] D [解析]
2 ? ?y =4x 设点 A(x1, yy)、 B(x2, y2). 由题意得点 F(1,0), 由? ?y=2x-4 ?

) 3 B.5 4 D.-5

消去 y 得 x2-5x+4=0,解得 x=1 或 x=4,因此点 A(1,-2)、B(4,4), → → FA=(0,-2),FB=(3,4), → → FA· FB 0×3+?-2?×4 4 cos∠AFB= = =-5,选 D. → → 2×5 |FA||FB| 5.一圆形纸片的圆心为 O,点 Q 是圆内异于 O 的一个定点,点 A 是圆周上一动点,把纸片折叠使点 A 与点 Q 重合,然后展开纸片,折 痕 CD 与 OA 交于点 P,当点 A 运动时,点 P 轨迹为( A.椭圆 C.抛物线 [答案] A [解析] ∵折痕所在的直线是 AQ 的垂直平分线, ∴|PA|=|PQ|, 又∵|PA|+|OP|=r,∴|PQ|+|OP|=r>|OQ|. B.双曲线 D.圆 )

由椭圆的定义知点 P 的轨迹是椭圆. 6.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程 为( ) x2 y2 A. 3 - 6 =1 x2 y2 C. 6 - 3 =1 [答案] B [解析] ∵kAB= 0+15 =1, 3+12 x2 y2 B. 4 - 5 =1 x2 y2 D. 5 - 4 =1

∴直线 AB 的方程为 y=x-3. 由于双曲线的焦点为 F(3,0),∴c=3,c2=9. x2 y2 设双曲线的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0),
2 x2 ?x-3? 则a2- b2 =1.

整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6a2 则 x1+x2= 2 2=2×(-12). a -b ∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2. 又 a2+b2=9,∴a2=4,b2=5. x2 y 2 ∴双曲线 E 的方程为 4 - 5 =1. 二、填空题 x2 y2 7.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点 分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为

________. [答案] 5 5

[解析] 本题考查了椭圆的定义与离心率的求法. 由已知|F1F2|=2c,|AF1|=a-c,|BF1|=a+c, 因为|F1F2|2=|AF1||BF1|,所以(2c)2=(a-c)(a+c), 5 ∴5c2=a2,∴e= 5 . 8. 长为 3 的线段 AB 的端点 A, B 分别在 x, y 轴上移动, 动点 C(x, → → y)满足AC=2CB,则动点 C 的轨迹方程是________. y2 [答案] x + 4 =1
2

→ → [解析] 由题意设 A(xA,0),B(0,yB),AC=(x-xA,y),CB=(-x, yB-y), → → ∵AC=2CB,

?A ?x-xA=-2x, ? ∴? ?? 3 ?y=2?yB-y? yB= y. ? ?
2 由 4

x =3x,

9 2 y 2 2 2 x2 A+yB=9?9x + y =9?x +

2

4 =1.
2

y2 9. (2014· 东北三校联考)已知双曲线方程是 x - 2 =1, 过定点 P(2,1) 作直线交双曲线于 P1,P2 两点,并使 P(2,1)为 P1P2 的中点,则此直线 方程是________. [答案] 4x-y-7=0 [解析] 设点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则由
2 2 y1 y2 2 2 x1- =1,x2- =1,

2

2

y2-y1 2?x2+x1? 2×4 得 k= = = 2 =4,从而所求方程为 4x-y-7=0.将此 x2-x1 y2+y1 直线方程与双曲线方程联立得 14x2-56x+51=0,Δ>0,故此直线满足 条件. 三、解答题 10.

(2012· 青岛一中期中)如图, 两条过原点 O 的直线 l1, l2 分别与 x 轴、 y 轴成 30° 的角,点 P(x1,y1)在直线 l1 上运动,点 Q(x2,y2)在直线 l2 上 运动,且线段 PQ 的长度为 2. (1)求动点 M(x1,x2)的轨迹 C 的方程; (2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 A、 B, 且∠AOB 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. [解析] (1)由已知得直线 l1⊥l2, 3 l1 y= 3 x,l2 y=- 3x, ∵点 P(x1,y1)在直线 l1 上运动,点 Q(x2,y2)在直线 l2 上运动, 3 ∴y1= 3 x1,y2=- 3x2,
2 2 2 由|PQ|=2,得(x1 +y1 )+(x2 2+y2)=4,

2 4 2 x1 2 2 即3x1+4x2=4? 3 +x2 =1,

x2 2 ∴动点 M(x1,x2)的轨迹 C 的方程为 3 +y =1. x2 2 (2)直线 l 的方程为 y=kx+2,将其代入 3 +y =1, 化简得(1+3k2)x2+12kx+9=0, 设 A(x3,y3)、B(x4,y4), ∴Δ=(12k)2-36×(1+3k2)>0?k2>1, 12k 9 且 x3+x4=- , 2,x3x4= 1+3k 1+3k2 → → ∵∠AOB 为锐角,∴OA· OB>0, 即 x3x4+y3y4>0?x3x4+(kx3+2)(kx4+2)>0, ∴(1+k2)x3x4+2k(x3+x4)+4>0. 12k 9 将 x3+x4=- 代入上式, 2,x3x4= 1+3k 1+3k2 13-3k2 2 13 化简得 2 >0?k < 3. 1+3k 13 39 39 由 k2>1 且 k2< 3 ,得 k∈(- 3 ,-1)∪(1, 3 ). 能力强化训练 一、选择题 → 1. 平面直角坐示系中, 已知两点 A(3,1), B(-1,3), 若点 C 满足OC → → =λ1OA+λ2OB(O 为原点),其中 λ1,λ2∈R,且 λ1+λ2=1,则点 C 的轨 迹是( ) B.椭圆 D.双曲线

A.直线 C.圆

[答案] A → → → [解析] 设 C(x,y),则OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3), → → → ∵OC=λ1OA+λ2OB,
? ?x=3λ1-λ2 ∴? ?y=λ1+3λ2 ?

+y , ?λ =3x10 ,解得? 3y-x y = ? 10 .
1 2

又 λ1+λ2=1, ∴x+2y-5=0,表示一条直线. 2.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x =3 上,则顶点 C 的轨迹方程是( x2 y2 A. 9 -16=1 x2 y2 C. 9 -16=1(x>3) [答案] C [解析] 如图|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2, |CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6. ) x2 y2 B.16- 9 =1 x2 y2 D.16- 9 =1(x>4)

根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲 x2 y2 线的右支,方程为 9 -16=1(x>3).

二、填空题 x2 2 3.设 P 为双曲线 4 -y =1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨迹方程是________. [答案] x2-4y2=1 [解析] 设 M(x,y),P(x1,y1), 0+x1 0+y1 则 2 =x, 2 =y,∴x1=2x,y1=2y, 又 P(x1,y1)在双曲线上, ?2x?2 ∴ 4 -(2y)2=1,∴x2-4y2=1. 4.(2013· 安徽高考)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A、B 两点, 若该抛物线上存在点 C ,使得∠ ACB 为直角,则 a 的取值范围为 ________. [答案] a≥1 [解析] 本题考查了直角三角形的性质. 抛物线的范围以及恒成立 → 2 问题,不妨设 A( a,a),B(- a,a),C(x0,x0 ),则CB=(- a-x0, a-x2 0), → 2 CA=( a-x0,a-x0 ),∵∠ACB=90° . → → 2 2 ∴CA· CB=( a-x0,a-x0 )· (- a-x0,a-x0 )=0.
2 2 2 ∴x2 0-a+(a-x0) =0,则 x0-a≠0. 2 2 ∴(a-x2 0)(a-x0-1)=0,∴a-x0-1=0. 2 ∴x2 0=a-1,又 x0≥0.

∴a≥1. 三、解答题

5.(2013· 新课标Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上 截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程; 2 (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. [解析] (1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题意知 y2+2=r2,x2+3=r2,从而得 y2+2=x2+3. ∴点 P 的轨迹方程为 y2-x2=1. 2 (2)设与直线 y=x 平行且距离为 2 的直线为 l:x-y+c=0,由平 行线间的距离公式得 c=± 1. ∴l:x-y+1=0 或 x-y-1=0. 与方程 y2-x2=1 联立得交点坐标为 A(0,1),B(0,-1). 即点 P 的坐标为(0,1)或(0,-1),代入 y2+2=r2 得 r2=3. ∴圆 P 的方程为 x2+(y+1)2=3 或 x2+(y-1)2=3. 6.(2014· 临川调研)已知椭圆的中心是坐标原点 O,焦点 F1,F2 在 y 轴上,它的一个顶点为 A( 2,0),且中心 O 到直线 AF1 的距离为 1 焦距的4,过点 M(2,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 P,Q,点 N 在 线段 PQ 上. (1)求椭圆的标准方程; (2)设|PM|· |NQ|=|PN|· |MQ|,求动点 N 的轨迹方程. y2 x2 [解析] (1)设椭圆的标准方程是a2+b2=1(a>b>0). 由于椭圆的一个顶点是 A( 2,0),故 b2=2. π b 根据题意得,∠AF1O=6,sin∠AF1O=a,

即 a=2b,a2=8, y2 x2 所以椭圆的标准方程是 8 + 2 =1. (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x,y), 由题意知直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y=k(x-2). 直线 l 的方程与椭圆方程联立消去 y 得: (k2+4)x2-4k2x+4k2-8=0. 由 Δ=16k2-4(k2+4)(4k2-8)>0,得-2<k<2. 4k2-8 4 k2 根据根与系数的关系得 x1+x2= ,x x = . 4+k2 1 2 4+k2 又|PM|· |NQ|=|PN|· |MQ|, 即(2-x1)(x2-x)=(x-x1)(2-x2). 解得 x=1,代入直线 l 的方程得 y=-k,y∈(-2,2). 所以动点 N 的轨迹方程为 x=1,y∈(-2,2).



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