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第六章第1讲不等关系与不等式



[2017 高考导航] 知识点 不等关系与不等式 考纲下载 了解现实世界和日常生活中存在着大量的不 等关系,了解不等式(组)的实际背景. 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平 面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线 性规划问题,并能加以解决. 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单

的最大(小)值问 题. 1.了解合情推理的含义, 能进行简单的归纳推 理和类比推理,体会并认识合情推理在数学 发现中的作用. 2.了解演绎推理的含义,了解合情推理和演 绎推理的联系和差异;掌握演绎推理的“三 段论” ,能运用“三段论”进行一些简单的演 绎推理. 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法 和分析法;了解综合法和分析法的思考过程、 特点. 2.了解反证法的思考过程和特点. 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证 明一些简单的数学命题. 第 1 讲 不等关系与不等式

二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题

基本不等式 ab≤ a+b (a≥0,b≥0) 2

合情推理与演绎推理

直接证明与间接证明

数学归纳法

1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a<b. 2.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c;a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc, a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2); n n (6)可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2).

1.辨明两个易误点 (1)在应用传递性时,注意等号是否传递下去,如 a≤b,b<c?a<c; (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数 c 的符号”,例如当 c≠0 时,有 a>b?ac2>bc2; 若无 c≠0 这个条件,a>b?ac2>bc2 就是错误结论(当 c=0 时,取“=”). 2.不等式中的倒数性质 1 1 (1)a>b,ab>0? < ; a b 1 1 (2)a<0<b? < ; a b a b (3)a>b>0,0<c<d? > ; c d 1 1 1 (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a

1.设非零实数 a,b 满足 a<b,则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A. > a b B.ab<b2

)

C.a+b>0 D.a-b<0 答案:D 2.已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

? ?a>0, ? ?a+b>0, 解析:选 C.? ?? 又当 ab>0 时,a 与 b 同号,由 a+b>0 知 a>0,且 b>0. ? ? ?b>0 ?ab>0. 3.(必修 5 P74 练习 T3 改编)下列四个结论,正确的是( ) ①a>b,c<d?a-c>b-d; ②a>b>0,c<d<0?ac>bd;

3 3 ③a>b>0? a> b; 1 1 ④a>b>0? 2> 2. a b A.①② B.②③ C.①④ D.①③ 解析:选 D.对于①,因为 a>b,c<d,所以-c>-d, 所以 a-c>b-d. 3 3 对于③,a>b>0,则 a> b>0. 4. 1 ________ 3+1(填“>”或“<”). 2-1 1 = 2+1< 3+1. 2-1

解析:

答案:< 5.下列不等式中恒成立的是__________. ①m-3>m-5;②5-m>3-m;③5m>3m;④5+m>5-m. 解析:m-3-m+5=2>0,故①恒成立; 5-m-3+m=2>0,故②恒成立; 5m-3m=2m,无法判断其符号,故③不恒成立; 5+m-5+m=2m,无法判断其符号,故④不恒成立. 答案:①②

考点一 用不等式(组)表示不等关系[学生用书 P109] 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在 A,B 两台设备上加 工,在 A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为 1 小时、2 小时,加工一件乙产品所需 工时分别为 2 小时、1 小时,A,B 两台设备每月有效使用时数分别为 400 和 500.写出满足 上述所有不等关系的不等式.

[解]

x+2y≤400, ? ?2x+y≤500, 设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y,则由题意可知? x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N.

用不等式(组)表示不等关系 (1)分析题中有哪些未知量. (2)选择其中起关键作用的未知量,设为 x 或 x,y 再用 x 或 x,y 来表示其他未知量. (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组). [注意] 在列不等式(组)时要注意变量自身的范围. 1.某汽车公司因发展需要需购进一批汽车, 计划使用不超过 1 000 万元的资 金购买单价分别为 40 万元、90 万元的 A 型汽车和 B 型汽车,根据需要,A 型汽车至少买 5 辆,B 型汽车至少买 6 辆,写出满足上述所有不等关系的不等式. 解:设购买 A 型汽车和 B 型汽车分别为 x 辆、y 辆, 40x+90y≤1 000, 4x+9y≤100, ? ? ?x≥5, ?x≥5, 则? 即? y≥6, y≥6, ? ? ?x,y∈N . ?x,y∈N .
* *

考点二 不等式的性质(高频考点)[学生用书 P109] 不等式的性质及其应用是高考命题的热点. 不等式性质的应用是高考的常考点, 常以选 择题、填空题的形式出现,题目难度不大. 高考对不等式性质的考查有以下三个命题角度: (1)判断命题的真假; (2)与充要条件相结合命题; (3)求代数式的取值范围. (1)(2014· 高考天津卷)设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 (2)设 a,b,c∈R,且 a>b,则( ) A.ac>bc 1 1 B. < a b )

C.a2>b2 D.a3>b3 [解析] (1)当 b<0 时,显然有 a>b?a|a|>b|b|; 当 b=0 时,显然有 a>b?a|a|>b|b|; 当 b>0 时,由 a>b 有|a|>|b|,所以 a>b?a|a|>b|b|.

综上可知 a>b?a|a|>b|b|,故选 C. (2)A 项,c≤0 时,由 a>b 不能得到 ac>bc,故不正确; 1 1 B 项,当 a>0,b<0(如 a=1,b=-2)时,由 a>b 不能得到 < ,故不正确; a b C 项,由 a2-b2=(a+b)(a-b)及 a>b 可知当 a+b<0 时(如 a=-2,b=-3 或 a=2,b =-3)均不能得到 a2>b2,故不正确;
2 2 ??a+b? +3b2?,因为?a+b? +3b2 >0,所 D 项,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)· ? 2? 4 ?? 2? 4 ?

以可由 a>b 知 a3-b3>0,即 a3>b3,故正确. [答案] (1)C (2)D (1)判断不等式命题真假的方法 ①判断不等式是否成立, 需要逐一给出推理判断或反例说明. 常用的推理判断需要利用 不等式性质. ②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑, 找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假. (2)充要条件的判断方法 利用两命题间的关系,看 p 能否推出 q,再看 q 能否推出 p,充分利用不等式性质或特 值求解. 2.(1)(2016· 贵阳监测考试)下列命题中,正确的是( A.若 a>b,c>d,则 ac>bd B.若 ac>bc,则 a>b a b C.若 2< 2,则 a<b c c D.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d (2)若 1<α<3,-4<β<2,则 α-|β|的取值范围是________. 解析: (1)A: 取 a=2, b=1, c=-1, d=-2, 可知 A 错误; B: 当 c<0 时, ac>bc?a<b, a b 所以 B 错误;C:因为 2< 2,所以 c≠0,又 c2>0,所以 a<b,C 正确;D:取 a=c=2,b c c =d=1,可知 D 错误,故选 C. (2)因为-4<β<2,所以 0≤|β|<4. 所以-4<-|β|≤0.所以-3<α-|β|<3. 答案:(1)C (2)(-3,3) )

考点三 比较两个数(式)的大小[学生用书 P110] 比较下列各组中两个代数式的大小. (1)3m2-m+1 与 2m2+m-3; a2 b2 (2) + 与 a+b(a>0,b>0). b a [解] (1)因为(3m2-m+1)-(2m2+m-3)

=m2-2m+4=(m-1)2+3>0, 所以 3m2-m+1>2m2+m-3. a3+b3-a2b-ab2 a2 b2 (2)因为 + -(a+b)= b a ab = = a2(a-b)+b2(b-a) (a-b)(a2-b2) = ab ab (a-b)2(a+b) . ab

(a-b)2(a+b) 又因为 a>0,b>0,所以 ≥0, ab a2 b2 故 + ≥a+b. b a

比较大小常用的方法 (1)作差法.其步骤:作差?变形?判断差与 0 的大小?得出结论. (2)作商法.其步骤:作商?变形?判断商与 1 的大小?得出结论. (3)构造函数法.构造函数,利用函数单调性比较大小. [注意] 含根号的式子作差时一般先乘方再作差. S3 S5 3.已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前 n 项和为 Sn,则 与 的大小关系 a3 a5 为________. S3 S5 S3 S5 解析:当 q=1 时, =3, =5,所以 < ; a3 a5 a3 a5
3 5 2 3 5 S3 S5 a1(1-q ) a1(1-q ) q (1-q )-(1-q ) 当 q>0 且 q≠1 时, - = 2 - 4 = = 4 a3 a5 a1q (1-q) a1q (1-q) q (1-q)

-q-1 S3 S5 <0,所以有 < . q4 a3 a5 S3 S5 综上可知 < . a3 a5 S3 S5 答案: < a3 a5

,[学生用书 P110]) 方法思想——判断不等式(特值法) (2014· 高考四川卷)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A. > d c a b B. < d c )

a b C. > c d 1 1 所以 > >0. -d -c a b 又 a>b>0,所以 > , -d -c a b 所以 < .故选 B. d c 法二: c<d<0?cd>0? ? c<d<0
?? < <0? ? cd cd ?

a b D. < c d

[解析] 法一:因为 c<d<0,所以-c>-d>0,

c

d

-1 -1 1 1 ? -a -b a b < <0? > >0 ? d c d c ? ? d > c ?d<c. ? a>b>0? 法三:令 a=3,b=2,c=-3,d=-2, a b 则 =-1, =-1,排除选项 C,D; c d a 3 b 2 a b 又 =- , =- ,所以 < ,所以选项 A 错误,选项 B 正确.故选 B. d 2 c 3 d c [答案] B 本题给出三种不同的方法,法一、法二是利用不等式性质变形判断,易 出错,而法三采用特值法验证,简化了过程,提高了准确率. 1 1 1 1 (2016· 潍坊模拟)若 < <0,则下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a- a b a+b ab 1 1 >b- ;④ln a2>ln b2 中,其中正确的不等式是( a b A.①④ C.①③ B.②③ D.②④ )

1 1 解析:选 C.因为 < <0,故可取 a=-1,b=-2,显然②④不成立,排除 A、B、D. a b

1.不等式“a-b>a 且 a+b<b”成立的充要条件为( A.a>0 且 b>0 B.a<0 或 b<0 C.a<0 且 b<0 D.a<0 或 b>0

)

解析:选 C.由 a-b>a 知 b<0,由 a+b<b 知 a<0,它们之间的逻辑联结词为“且”,所 以原不等式等价于“a<0 且 b<0”,即不等式“a-b>a 且 a+b<b”成立的充要条件为 a<0 且 b<0. 2.(2016· 北京昌平区模拟)已知 a>b>0,则下列不等式成立的是( ) A.a2<b2 C.|a|<|b| 1 1 B. > a b D.2a>2b

1 1 解析:选 D.由 a>b>0,得 a2>b2,|a|>|b|, < ,所以选项 A,B,C 均不正确;因为函 a b 数 y=2x 在 R 上为增函数,所以 2a>2b,故选 D. 3. (2016· 江西省重点中学盟校联考)已知 a>0 且 a≠1, 则“ab>1”是“(a-1)b>0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

?0<a<1, ?a-1<0, ?a>1, ? ?a-1>0, ? ? ? 解析:选 C.由 ab>1?? 或? 由(a-1)b>0?? 或? 又 a>0 且 ?b>0 ?b>0 ?b<0; ?b<0, ? ? ? ?

a≠1,所以“ab>1”是“(a-1)b>0”的充要条件. β π π 4.(2016· 西安质检)设 α∈?0, ?,β ∈?0, ?,那么 2α- 的取值范围是( 3 2? 2? ? ? 5π A.?0, ? 6 ? ? C.(0,π ) π 5π B.?- , ? 6 ? ? 6 π D.?- ,π ? ? 6 ? )

β π 解析:选 D.由题设得 0<2α<π,0≤ ≤ , 3 6
π β 所以- ≤- ≤0, 6 3 π β 所以- <2α- <π. 6 3 5. (2016· 北京西城区一模)已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元, 而 4 枝玫 瑰与 4 枝康乃馨的价格之和小于 20 元,那么 2 枝玫瑰和 3 枝康乃馨的价格的比较结果是 ( ) A.2 枝玫瑰的价格高 B.3 枝康乃馨的价格高 C.价格相同 D.不确定 解析: 选 A.设 1 枝玫瑰与 1 枝康乃馨的价格分别为 x 元、 y 元, 则 6x+3y>24, 4x+4y<20 ?2x+y>8,x+y<5,因此 2x-3y=5(2x+y)-8(x+y)>5×8-8×5=0,所以 2x>3y,因此 2 枝玫瑰的价格高,故选 A. 6.已知 a<b<c 且 a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是( ) 2 2 2 A.a <b <c B.a|b|<c|b| C.ba<ca D.ca<cb 解析:选 D.因为 a<b<c 且 a+b+c=0,所以 a<0,c>0,b 的符号不定,对于 b>a,两 边同时乘以正数 c,不等号方向不变,故选 D. 7.已知 a,b,c∈R,有以下命题: ①若 ac2>bc2,则 a>b;②若 a>b,则 a· 2c>b·2c.

其中正确的是________(把正确命题的序号都填上). 解析:①正确.②中由 2c>0 可知式子成立. 答案:①② 8. (2016· 扬州模拟)若 a1<a2, b1<b2, 则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________. 解析:作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)· (b1-b2), 因为 a1<a2,b1<b2, 所以(a1-a2)(b1-b2)>0, 即 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 答案:a1b1+a2b2>a1b2+a2b1 9.用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 cm,要求菜园的面 积不小于 216 m2,靠墙的一边长为 x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示为________. 30-x x? 解析:矩形靠墙的一边长为 x m,则另一边长为 m,即? ?15-2? m, 2 0<x≤18, ? ? 根据题意知? ? x? ? ?x?15-2?≥216. 0<x≤18, ? ? 答案:? ? x? ?x?15-2?≥216 ? 10.(2016· 盐城一模)若-1<a+b<3,2<a-b<4,则 2a+3b 的取值范围为________. 解析:设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b),
?x+y=2, ? 则? 解得 ? ?x-y=3,

?x=2, ? 1 ?y=-2.

5

5 5 15 又因为- < (a+b)< , 2 2 2 1 -2<- (a-b)<-1, 2 9 5 1 13 所以- < (a+b)- (a-b)< . 2 2 2 2 9 13 即- <2a+3b< . 2 2 9 13 - , ? 答案:? ? 2 2? e e 11.若 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: > . (a-c)2 (b-d)2 证明:因为 c<d<0, 所以-c>-d>0, 又因为 a>b>0,所以 a-c>b-d>0. 所以(a-c)2>(b-d)2>0. 1 1 所以 0< . 2< (a-c) (b-d)2

e e 又因为 e<0,所以 > . (a-c)2 (b-d)2 a 12.已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b, 的取值范围. b 解:因为 15<b<36, 所以-36<-b<-15. 又 12<a<60, 所以 12-36<a-b<60-15,所以-24<a-b<45, 即 a-b 的取值范围是(-24,45). 1 1 1 12 a 60 因为 < < ,所以 < < , 36 b 15 36 b 15 1 a 所以 < <4, 3 b 1 ? a 即 的取值范围是? ?3,4?. b



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