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3.1.3二倍角



3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦
目标导学
1、理解二倍角公式的推导; 、理解二倍角公式的推导; 2、灵活掌握二倍角公式及其变形公式; 、灵活掌握二倍角公式及其变形公式; 3、能综合运用二倍角公式进行化简、计算及 、能综合运用二倍角公式进行化简、 证明。 证明。

两角和的正弦、 一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式

复习 两角和的正弦 余弦、正切公式:
sin (α + β ) = sinα cos β + cosα sin β

cos(α + β ) = cosα cos β ? sinα sin β
tanα + tan β tan (α + β ) = 1? tanα tan β
若上述公式中 , 你能否对它进行变形? β = α 你能否对它进行变形?

sin 2α = 2sinα cosα α ∈R 二 倍 2 2 α ∈R cos 2α = cos α ? sin α 角 公 2tanα π kπ π (k tan2α = + ,且α ≠ kπ + , ∈Z) α≠ 2 式: 2 2 4 1? tan α
能否有其它表示形式? 对于C2α 能否有其它表示形式?
cos 2α = 2cos α ?1
2

cos 2α =1? 2sin α
2

公式中的角是否为任意角? 公式中的角是否为任意角?

注意: 注意:
①二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角 的三角函数, 的三角函数,它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互 化问题。 化问题。 的二倍的形式, ②二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其它如 是 二倍角公式不仅限于 是 的二倍的形式 其它如4α是 2α的两倍,α/2是α/4的两倍 是3α/2的两倍,α/3是α/6 的两倍, 是 的两倍 的两倍,3α是 的两倍, 是 的两倍 的两倍 的两倍等,所有这些都可以应用二倍角公式。因此, 的两倍等,所有这些都可以应用二倍角公式。因此,要理 二倍角”的含义,即当α=2β时,α就是 的二倍角。 就是β的二倍角 解“二倍角”的含义,即当 时 就是 的二倍角。 凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。 ③二倍角公式是从两角和的三角函数公式中,取两角相等 二倍角公式是从两角和的三角函数公式中, 时推导出来,记忆时可联想相应角公式。 时推导出来,记忆时可联想相应角公式。

例1

12 α π 已知cos = ? , ∈( ,π ),求sinα, 2 13 2 2 cosα, α的值。 tan

α

5 π π 已知sin2α = ,α ∈( , ),求sin4α, 13 4 2 cos4α, α的值。 tan4

例2

求下列各式的值: 求下列各式的值:
0 0 2

(1)sin22.5 cos22.5 ; (2)cos

π
8

?sin

2

π
8

;

2tan15 (3) ; 2 0 1? tan 15

0

(4)1? 2sin 75 .
2 0

(5)8sin

π
48

cos

π
48

cos

π
24

cos

π
12

练习

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(1)sin cos 4 4
3 1? tan α 2 (3) 3 tan α 2
2

α

α

(2)sin

4

α
2
π
4

? cos

4

α
2
π
4

(4)sin(

?α)cos(α +

)

5π (5)、 cos cos 12 12

π

(6)、 cos36 cos72
o

o

引申:公式变形: 引申:公式变形:

1 ± sin 2α = (sin α ± cos α )

2

1 + cos 2α = 2 cos α
2

1 ? cos 2 α = 2 sin α
2

} }

升幂降角公式

1 + cos 2 α cos α = 2 1 ? cos 2α 2 sin α = 2
2

降幂升角公式

例3 化简

(1 1? sin40°; ) (2) 1+ sin40°; (3) 1+ cos20°; (4) 1? cos20°

变式:如何化简 2 ? sin 2 + cos 4呢?
2

1+ sin2θ ? cos2θ 求证: = tanθ 1+ sin2θ + cos2θ 2 1 + 2 sin θ cos θ ? (1 ? 2 sin θ ) 证明: 证明:左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ ? 1)
例4

2 sin θ (cos θ + sin θ ) = 2 cos θ (cos θ + sin θ )
= tan θ = 右边

sin θ = cos θ

∴ 原式成立 .

练习

1 ? sin 2α + cos 2α 1.化简 : 1 + sin 2α ? cos 2α
1 2、已知sinα + cosα = ,0 < α < π , 3 求sin2α和cos2α

总结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导 、 sin 2α = 2sinα cosα α ∈R 2 2 cos 2α = cos α ? sin α α ∈R 2tanα kπ π ,且α ≠ kπ + π , ∈Z) tan2α = (k α≠ + 2 1? tan α 2 2 4 2、注意正 用 、逆用、变形用 、 逆用、
cos 2α = 2cos α ?1 =1? 2sin2 α
2

建议作业: 建议作业: P137-P138 11,14,15,17,18 , , , ,



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