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高二文科数学期末复习试卷



高二文科数学期末复习试卷 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A ? {x | A. ? 2. .函数 A. 3.设复数 z 满足 A. ?2 ? i B.

1? x ? 0} ,集合 B ? { y y ? sin x, x ? R} ,则 B ? (C R A) ? ( 1? x B.{1} C.{-1} D.{-1,1}




的极大值为 ,那么 的值是( C. ) C. 2 ? i ).

) D.

1 ? 2i ? i ,则 z ? ( z
B. ?2 ? i

D. 2 ? i

4.函数 f(x)= 1 ? 2 x +

1 的定义域为( x?3

A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1] 5.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为(

).

A. 1

B 15 )

C. 16

D. 105

6. 设 a ? 40.1, b ? log3 0.1, c ? 0.50.1 ,则( A. a ? b ? c B. b ? a ? c

C. a ? c ? b )

D. b ? c ? a

7.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( A.y=

1 x

B.y=e

-x

C.y=lg|x|

D.y=-x +1

2

8. 下列有关命题的叙述: ①若 为假命题,则 ②“ ③命题 p: ”是“ ,

为真命题 ”成立的充分不必要条件 ;则 : ;

④命题“若 A、1 B、2

,则 C、3

”的逆命题为真;其中正确的个数是( D、4



9.将正整数排成下表: 1 2 5 10 ? ? 则在表中数字 2010 出现在( ) A.第 44 行第 75 列 C.第 44 行第 74 列 [答案] D [解析] 第 n 行有 2n-1 个数字, 前 n 行的数字个数为 1+3+5+…+(2n-1)=n .∵44 =1936,45 =2025,且 1936<2010,2025>2010,∴2010 在第 45 行. 又 2025-2010=15,且第 45 行有 2×45-1=89 个数字,∴2010 在第 89-15=74 列, 选 D.
2 2 2

3 6 11

4 7 12 8 13 9 14 15 16

B.第 45 行第 75 列 D.第 45 行第 74 列

10.函数 f ( x) ? ? A.(0,1)

1 ? log 2 x 的一个零点落在下列哪个区间( x
B.(1,2)
1? x2

) D.(3,4)

C.(2,3) )

11. 函数 f ( x) ? e

的部分图象大致是(

12. 已知函数

,且 f(a)=-3,则 f(6-a)=

(A)-

(B)-

(C)-

(D)-

二 、填空题(每题 5 分,共 20 分,将正确答案写在答题纸上) 1+i 13. 若 a 是复数 z1=2-i的实部,b 是复数 z2=(1-i)3 的虚部,则 ab 等于________. 2 [答案] -5

14. 函数 f ( x) ? log 1 (? x2 ? 2 x ? 3) 的单调递增区间是_
2

_____.

15. 若 a>0 , b>0 , a + b = 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒成立的是 __________(写出所有正确命题的编号). ①ab≤1 ②a2+b2≥2; 1 1 ③a3+b3≥3; ④a+b≥2.

x , x ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称 f ( x) 为 16.函数 f ( x ) 的定义域为 A ,若 1 2
单函数.例如,函数 f ( x) ? x ? 1, x ? R 是单函数.下列命题: ①函数 f ( x) ? x2 ? 2x( x ? R) 是单函数; ②函数 f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 2 是单函数; ? 2 ? x, x ? 2

③若 f ( x ) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④函数 f ( x ) 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ( x ) 一定是单函数. 其中的真命题是_ _____.(写出所有真命题的编号).

三、解答题: (第 17 题 10 分,其它各 12 分,共 70 分,将规范的答题过程写在答题纸上.) 17. (本题满分 10 分)命题 p : ?x ? 0, x ? 若 ?q假,p ? q假 ,求 a 的取值范围.
2 1 ? a ;命题 q : x ? 2ax ? 1 ? 0 解集非空. x

18 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ?x ? 在 定 义 域 ( 0 , + ∞ ) 上 为 增 函 数 , 且 满 足

f ? xy ? ? f ( x) ? f ( y) , f (3) ? 1 .
(1)求 f ? 9?,f (27) 的值; (2)若 f ?3? +f (a ? 8) ? 2 ,求实数 a 的取值范围. 19.某加工厂需定期购买原材料,已知每公斤原材料的价格为 1.5 元,每次购买原材料 需支付运费 600 元.每公斤原材料每天的保管费用为 0.03 元,该厂每天需消耗原材料 400 公斤,每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 公斤不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料, 试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1(元) 关于 x 的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y(元)最少,并求出这个

最小值. [解析] (1)每次购买原材料后,当天用掉的 400 公斤原材料不需要保管,第二天用掉的 400 公斤原材料需保管 1 天,第三天用掉的 400 公斤原材料需保管 2 天,第四天用掉的 400 公斤原材料需保管 3 天,?,第 x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400 公斤 原材料需保管 x-1 天. ∴每次购买的原材料在 x 天内的保管费用为 y1=400×0.03[1+2+3+?+(x-1)]=6x2-6x. (2)由(1)可知,购买一次原材料的总的费用为 6x2-6x+600+1.5×400x=6x2+594x+ 600(元), ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为 600 600 y= x +6x+594=2·6x+594=714. 600 当且仅当 x =6x,即 x=10 时,取得等号. ∴该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用最少,最少费用为 714 元.

20.24.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| (1)当 a=﹣3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集;
(2)若 f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

(1) 当 a=﹣3 时, ( f x) ≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3, 即①

, 或②



或③



解①可得 x≤1,解②可得 x∈?,解③可得 x≥4. 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1 或 x≥4}. (2)原命题即 f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x 在[1,2]上恒成立, 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[1,2]上恒成立. 故当 1≤x≤2 时,﹣2﹣x 的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x 的最小值为 0, 故 a 的取值范围为[﹣3,0]. 21.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a ,
2

(1)若 a =2 ,求 f ( x) 在区间 ? 0,3? 上的最小值; (2)若 f ( x) 在区间 ?0,1? 上有最大值 3 ,求实数 a 的值.

22. (本题满分 12 分) 在平面直角坐标系中, 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin2 ? ? 2a cos? ? a ? 0? ,过点 P ? ?2, ?4? 的直线 l 的参数方程为

? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 , ,直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点. 2 ( t 为参数) t 2

(Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若 PA ? PB ? AB ,求 a 的值.
2

2013 级高二下学期第二次月考文数参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) : 1-6.B D C A B C 7-12.D C C B C A 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) : 13.-18 三、解答题: 14.(-1,1) 15.-5 16.③

1 a ? ( x ? ) min x 17.解:不妨设 p 为真,要使得不等式恒成立只需 ,

1 (x ? ) ? 2 (当 且 仅 当 x ? 1时 取 " ?" ) x 又∵当 x ? 0 时,
∴a ? 2 ------------------------------ 3 分
2

不妨设 q 为真,要使得不等式有解只需 ? ? 0 ,即 (?2a) ? 4 ? 0 解得 a ? ?1或a ? 1 ------------------------------6 分

∵ ? q 假,且“ p ? q ”为假命题, 故 q 真 p 假 ------------------------8 分

a?2 ? ? a ? ?1或a ? 1 ∴实数 a 的取值范围为 a ? 2 ---------------------10 分 所以 ?
18.解:( 1 ) 由 原 题 条 件 , 可 得 到 f ?9? ? f ?3 ? 3? ? f ?3? ? f ?3? ? 1 ? 1 ? 2 ,

f ?27? ? f ?9 ? 3? ? f ?9? ? f ?3? ? 1 ? 2 ? 3 ; ----------------------------6 分
( 2 ) f ?3? ? f ?a ? 8? ? f ?3a ? 24? , 又 f ?9? ? 2 ∴ f ?3a ? 24? ? f ?9? , 函 数 在 定 义 域 上 为 增 函 数 , ∴?

?3a ? 24 ? 9 , 解 得 a 的 取 值 范 围 为 8 ? a ? 11 . -------------------12 分 ?a ? 8 ? 0 ? x ? 4 ? 5cos t 2 2 ,消去参数 t,化学普通方程 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 25 , y ? 5 ? 5sin t ?
2

19. (1)将 ?
2

即 C1 : x ? y ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 , 将?

------------------------------3 分

? x ? p cos ? , 2 2 代入 x ? y ? 8x ?10 y ? 16 ? 0 得 ? y ? p sin ?

? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ?16 ? 0
所以 C1 极坐标方程为 ? 2 ? 8? cos? ?10? sin ? ? 16 ? 0 .--------------------6 分
2 2 ? ? x ? 1, ? x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 (2)C2 的普通方程为 ? 2 ,解得 或? . ? 2 ? ? y ? 1, ? y ? 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

所以 C1 与 C2 交点的极坐标为 ( 2,

?

), (2, ) . 4 2

?

------------------12 分

20.解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , (a ? 0) 则由题 c ? 1
2 ? 2ax ? a ? b f(x ? 1) ? f(x) ? a(x ?1) ? b(x ?1) ?c? (ax 2 ? bx ? c)

?2a ? 2 ?a ? 1 ?? ? ? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1

? x ? x ?1 ∴ f(x)
2

-----------------------------4 分

(2)

x2 ? x ?1 ? 2x ? m恒成立, x ???1,1?

m ? x 2 ? 3x ? 1 令g ( x) ? x 2 ? 3x ? 1, x ? ? ?1,1? ? g ( x) min ? g (1) ? ?1 ? m ? ?1
------------------------------12 分

2 2 21.解: (1)若 a ? 2 ,则 f ( x) ? ? x ? 4 x ?1 ? ?( x ? 2) ? 3

函数图像开口向下且对称轴为 x ? 2 , 所以函数 f ( x) 在区间 [0, 2] 上是增函数,在区间 [2,3] 上是减函数, 有又 f (0) ? ?1 , f (3) ? 2

? f ( x)min ? f (0) ? ?1
(2)由题意得,函数的对称轴为 x ? a

-----------------------------4 分

当 a ? 0 时,函数在 f ( x) 在区间 [0,1] 上单调递减,则

f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 3 ,即 a ? ?2 ;
当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [0, a ] 上单调递增,在区间 [a,1] 上单调递减,则

f ( x)max ? f (a) ? a2 ? a ? 1 ? 3 ,解得 a ? 2或 ? 1 ,不符合题意;

当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上单调递增,则

f ( x)max ? f (1) ? ?1 ? 2a ? 1 ? a ? 3 ,解得 a ? 3 ;
所以 a ? ?2 或 a ? 3 . ----------------------------- 12 分

22.解: (1) 由 ? sin 2 ? ? 2a cos? (a ? 0) 得 ? 2 sin 2 ? ? 2a? cos? (a ? 0) ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 2ax(a ? 0) 直线 l 的普通方程为 y ? x ? 2 ----------------------------- 2 分 ----------------------------- 4 分

(2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程 y 2 ? 2ax(a ? 0) 中, 得 t 2 ? 2 2(4 ? a)t ? 8(4 ? a) ? 0 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2 则有 t1 ? t2 ? 2 2(4 ? a), t1t2 ? 8(4 ? a) ----------------------------- 6 分

2 2 ∵ | P A |? | P B ,∴ ----------------8分 ?| | A2B | t1 t2 ? ( t1 ? t) , 2 , 即 (t1 ? t2 ) ? 5t1 t2

∴[ 2

2 (? 4a

2

) ?]

2 即 a )? 4?0a( 4 , 3a ? 4? 0

4 解之得: a ? 1或a ? ?(舍去), ∴ a 的值为 1-------------------------------12 分



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