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函数的概念练习题及答案


1.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.y=x-1 与 y= ?x-1?2 B.y= x-1与 y= x-1 x-1

)

C.y=4lg x 与 y=2lg x2 x D.y=lg x-2 与 y=lg 100 答案:D 2.下列函数中,与函数 y= 1 A.y= sin x C.y=xex 解析:选 D 函数 y= 1 3 1 3 x ln x B.y= x sin x D.y= x 的定义域为{x|x≠0},选项 A 中由 sin x≠0?x≠kπ,k∈Z,故 定义域相同的函数为( )

x

A 不对;选项 B 中 x>0,故 B 不对;选项 C 中 x∈R,故 C 不对;选项 D 中由正弦函数及分 式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}. 3.(2012· 安徽高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 解析: 选 C B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x 对于选项 A , f(2x) = |2x| = 2|x| = 2f(x) ;对于选项 B , f(x) = x - |x| = )

? ?0,x≥0, ? 当 x≥0 时,f(2x)=0=2f(x),当 x<0 时,f(2x)=4x=2· 2x=2f(x),恒有 f(2x) ?2x,x<0, ?

=2f(x);对于选项 D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项 C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.
?-cos?πx?,x>0, ? 4? ? 4? - 4.已知 f(x)=? 则 f? 3?+f? 3?的值等于( ? ?f?x+1?+1,x≤0, ?

)

A.-2 C.2 解析:选 D

B.1 D.3 4? 1 ? 4? ? 1? 2 4 4 5 - =f - +1=f? ?+2= ,f? ?+f?- ?=3. f? = , f ?3? 2 ? 3? ? 3? ?3? 2 ?3? ? 3?

5.现向一个半径为 R 的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程 中容器的液面高度 h 随时间 t 变化的函数关系的是( )

解析:选 C 从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时, 增加的速度又越来越快. 6.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=( A.x-1 C.2x+1 B.x+1 D.3x+3 )

解析:选 B 由题意知 2f(x)-f(-x)=3x+1.① 将①中 x 换为-x,则有 2f(-x)-f(x)=-3x+1.② ①×2+②得 3f(x)=3x+3, 即 f(x)=x+1. 7.已知 f(x)=x2+px+q 满足 f(1)=f(2)=0,则 f(-1)=________. 解析:由 f(1)=f(2)=0,
2 ? ? ?1 +p+q=0, ?p=-3, ? 得 2 所以? ?2 +2p+q=0, ? ? ?q=2.

故 f(x)=x2-3x+2. 所以 f(-1)=(-1)2+3+2=6. 答案:6
?x2+2ax,x≥2, ? 8.已知函数 f(x)=? x 若 f(f(1))>3a2,则 a 的取值范围是________. ? 2 + 1 , x < 2 , ?

解析:由题知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32+6a,若 f(f(1))>3a2,则 9+6a>3a2,即 a2-2a-3<0,解得-1<a<3. 答案:(-1,3) 9.设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的 4 个图形中,能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的是________.

解析:由函数的定义,对定义域内的每一个 x 对应着唯一一个 y,据此排除①④,③中 值域为{y|0≤y≤3}不合题意. 答案:② x 10.若函数 f(x)= (a≠0),f(2)=1,又方程 f(x)=x 有唯一解,求 f(x)的解析式. ax+b

2 解:由 f(2)=1 得 =1,即 2a+b=2; 2a+b 由 f(x)=x 得 1 x =x,变形得 x?ax+b-1?=0, ? ? ax+b

1-b 解此方程得 x=0 或 x= , a 1-b 又因方程有唯一解,故 =0, a 1 解得 b=1,代入 2a+b=2 得 a= , 2 所以 f(x)= 2x . x+2

11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园, 甲从家到公园的距离与 乙从家到公园的距离都是 2 km,甲 10 时出发前往乙家.如图所示, 表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程 y(km) 与时间 x(min) 的关 系.试写出 y=f(x)的函数解析式. 解:当 x∈[0,30]时,设 y=k1x+b1,

? ?b1=0, ?k1=15, ? 由已知得? 解得? ? ?30k1+b1=2, ? ?b1=0.
1 即 y= x. 15 当 x∈(30,40)时,y=2; 当 x∈[40,60]时,设 y=k2x+b2,

1

? ?40k2+b2=2, ?k2=10, ? 由已知得? 解得? ?60k2+b2=4, ? ? ?b2=-2.
1 即 y= x-2. 10 x,x∈[0,30], ? ?15 综上,f(x)=?2,x∈?30,40?, 1 ? ?10x-2,x∈[40,60]. 12.如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象. 1

1

(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议, 如图 2、 3 所示. 你 能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元? 解:(1)点 A 表示无人乘车时收支差额为-20 元,点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元,线段 AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图 2 的建议是降低成本,票价不变,图 3 的建议是提高票价. (3)斜率表示票价. (4)图 1、2 中的票价是 2 元.图 3 中的票价是 4 元.

1.(2011· 北京高考)根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为

? x,x<A, f(x)=? c ? A,x≥A
A.75,25 C.60,25

c

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产

品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是(

)

B.75,16 D.60,16

解析:选 D 因为组装第 A 件产品用时 15 分钟, 所以 c =15,① A c c = =30.② 4 2

所以必有 4<A,且

联立①②解得 c=60,A=16. 1? 2.(2012· 江西红色六校联考)具有性质:f? ?x?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变 换的函数,下列函数: x,0<x<1, ? ? 1 1 0,x=1, ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x 1 ? ?-x,x>1. A.①② C.②③ B.①③ D.①

其中满足“倒负”变换的函数是(

)

1? 1 1? 1 1 解析:选 B 对于①,f(x)=x- ,f? = -x=-f(x),满足; 对于②,f? ?x?=x+x=f(x), x ? x? x

? ? 1 ?= 0,1=1, 不满足;对于③,f? ? x? ? x ? >1, ?-x,1 x
(1)求 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x)>2x+5.

1 1 ,0< <1, x x

? ,x>1, 1? ?x ? 即 f?x?=? 0,x=1, ? ?-x,0<x<1,

1

1? 故 f? ? x?=-f(x),满

足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. 3.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1.

解:(1)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1,∴c=1. 把 f(x)的表达式代入 f(x+1)-f(x)=2x,有 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. ∴2ax+a+b=2x. ∴a=1,b=-1. ∴f(x)=x2-x+1. (2)由 x2-x+1>2x+5,即 x2-3x-4>0, 解得 x>4 或 x<-1. 故原不等式解集为{x|x>4,或 x<-1}.

?3x+2,x<1, ? 1.已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a=________. ? ?x +ax,x≥1,

解析:∵f(0)=3×0+2=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a, ∴a=2. 答案:2 2.若函数的定义域为{x|-3≤x≤6,且 x≠4},值域为{y|-2≤y≤4,且 y≠0},试在下 图中画出满足条件的一个函数的图象.

解:本题答案不唯一,函数图象可画为如图所示.

3.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x. (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a); (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)的解析式. 解: (1)因为对任意 x∈R 有 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x, 所以 f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2, 又 f(2)=3,从而 f(1)=1. 若 f(0)=a,则 f(a-02+0)=a-02+0,即 f(a)=a. (2)因为对任意 x∈R,有 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,又有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0) =x0,故对任意 x∈R,有 f(x)-x2+x=x0.在上式中令 x=x0,有 f(x0)-x2 0+x0=x0. 又因为 f(x0)=x0,所以 x0-x2 0=0,故 x0=0 或 x0=1. 若 x0=0, 则 f(x)=x2-x, 但方程 x2-x=x 有两个不相同实根, 与题设条件矛盾, 故 x0≠0. 若 x0=1,则有 f(x)=x2-x+1,易证该函数满足题设条件. 综上,所求函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-x+1.


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