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【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布课时作业69 理



课时作业 69

二项式定理

一、选择题 1 2 3 1.( +x ) 的展开式的常数项为(

x

) B.3 D. 3

A.1 C.- 3

r 1 3-r 2 r r -3+3r 解析:设第 r+1 项为常数项,则 Tr+1=C3( ) (x ) =C

3x ,令-3+3r=0 得 r=1,

x

∴T2=C3=3,选 B. 答案:B 2 n 2.若( x- ) 的二项展开式中的第 5 项是常数,则自然数 n 的值为(

1

x

)

A.6 C.12 解析: 展开式的第 5 项为 Cn( x) 故 n=12. 答案:C 3.(ax+
4

B.10 D.15
n-4

2 4 n n 4 n-4 -4 (- ) =16Cnx x =16C4 依题意知 -6=0, nx -6, x 2 2 2

3 6 2 ) 的展开式的第二项的系数为- 3,则?a x dx 的值为( 6 ?
-2

)

A.3 7 C.3 或 3 解析: 该二项展开式的第二项的系数为 C6
1

B.

7 3

10 D.3 或- 3 3 5 3 5 1 a, 由 C6 a =- 3, 解得 a=-1, 因此?a 6 6 ?

-2

x3 x2dx=?-1x2dx=

?-2

3|

-1 -2

1 8 7 =- + = . 3 3 3

答案:B

? 1 ?5 2 4.(x +2)? 2-1? 的展开式的常数项是( x ? ?
A.-3

) B.-2

1

C.2

D.3

解析:求展开式中的常数项,即分以下两种来源: 1 2 1 4 第一个因式取 x ,第二个因式取 2得:1×C5(-1) =5;

x

第一个因式取 2, 第二个因式取(-1) 得: 2×(-1) =-2; 故展开式的常数项是 5+(- 2)=3. 答案:D 5.若 x (x+3) =a0+a1(x+2)+a2(x+2) +…+a12(x+2) ,则 log2(a1+a3+a5+…+
4 8 2 12

5

5

a11)等于(
A.2 C.7
7

) B.2 D.8
8 8

解析:令 x=-1 得 a0+a1+a2+…+a12=2
8

①;令 x=-3 得 a0-a1+a2-a3+…+a12
7

=0 ②.①-②得 2(a1+a3+…+a11)=2 ,∴a1+a3+…+a11=2 ,∴log2(a1+a3+…+a11) =7. 答案:C 6.设(x +1)(2x+1) =a0+a1(x+2)+a2(x+2) +…+a11(x+2) ,则 a0+a1+a2+…+
2 9 2 11

a11 的值为(
A.-2 C.1

) B.-1 D.2
2 9

解析: 令 x+2=1, 所以 x=-1, 将 x=-1 代入(x +1)·(2x+1) =a0+a1(x+2)+a2(x +2) +…+a11(x+2) 得[(-1) +1](-2+1) =a0+a1+a2+…+a11, 所以 a0+a1+a2+…+
2 11 2 9

a11=2×(-1)=-2.
答案:A 二、填空题 7.若(1+ 2) =a+b 2(a,b 为有理数),则 a+b=________. 解析:(1+ 2) =C5+C5 2+C5( 2) +C5( 2) +C5( 2) +C5( 2) =41+29 2,故 a+
5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5

b=41+29=70.
答案:70 2 4 8.( +x)(1- x) 的展开式中 x 的系数是________.

x

2 2 4 4 4 4 0 0 解析:( +x)(1- x) 的展开式中含 x 的项为 ·(-1) C4( x) +x·C4(- x) =3x.

x

x

答案:3 9.对任意实数 x,有(x-1) =a0+a1(x-3)+a2(x-3) +a3(x-3) +a4(x-3) ,则 a3 的值为________.
2
4 2 3 4

解析:∵(x-1) =(x-3+2) ,又(x-1) =a0+a1(x-3)+a2(x-3) +a3(x-3) +a4(a -3) ,∴a3=C4×2=8. 答案:8 三、解答题 10.已知? (1)求 n; (2)求第三项的二项式系数及项的系数; (3)求含 x 项的系数. 1 1 1 2 解:(1)∵前三项系数 1, Cn, Cn成等差数列. 2 4 1 1 1 2 2 ∴2· Cn=1+ Cn,即 n -9n+8=0. 2 4 ∴n=8 或 n=1(舍). (2)由 n=8 知其通项公式 Tr+1=C8·( x) 8. ∴第三项的二项式系数为 C8=28.
2 4 1

4

4

4

2

3

? x+ 1 ? ?n 4 ? 的展开式中,前三项系数成等差数列. ? 2 x? ?

r

8-r

·?1 ?2

? 4 ?r ?1?r r 1? =? ? ·C8·x4-3r, r=0,1, …, 4 x? ?2?

?1?2 2 第三项系数为? ? ·C8=7. ?2?
3 (3)令 4- r=1,得 r=4, 4

?1?4 4 35 ∴含 x 项的系数为? ? ·C8= . 8 ?2?
11.设(x -x-1) =a100x +a99x +a98x +…+a0. (1)求 a100+a99+a98+…+a1 的值; (2)求 a100+a98+a96+…+a2+a0 的值. 解:(1)令 x=0,得 a0=1;令 x=1,得 a100+a99+a98+…+a1+a0=1, 所以 a100+a99+a98+…+a1=0. (2)令 x=-1,得 a100-a99+a98-…-a1+a0=1① 而 a100+a99+a98+…+a1+a0=1② 由(①+②)÷2 得 a100+a98+a96+…+a2+a0=1.
2 50 100 99 98

3

1. (2014·浙江卷)在(1+x) (1+y) 的展开式中, 记 x y 项的系数为 f(m, n), 则 f(3,0) +f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( A.45 C.120 ) B.60 D.210
3 2 1 1 2 3

6

4

m n

解析:由题意可得 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C6+C6C4+C6·C4+C4=20+60+ 36+4=120,故选 C. 答案:C 2.(2014·山东卷)若(ax + ) 的展开式中 x 项的系数为 20,则 a +b 的最小值为 ________. 解析:Tr+1=C6(ax )
r
2 6-r 2

b x

6

3

2

2

( ) =C6a

b x

r

r 6-r r 12-3r

bx

,令 12-3r=3,得 r=3,故 C6a b =20,所以

3 3 3

ab=1,a2+b2≥2ab=2,当且仅当 a=b=1 或 a=b=-1 时,等号成立.
答案:2

3.(2014·安徽卷)设 a≠0,n 是大于 1 的自然数, ?1+a? 的展开式为 a0+a1x+a2x +…

? ?

x?n

?

2

+anx .若点 Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如右图所示,则 a=________. 解析:由图得:a0=1,a1=3,a2=4,由二项式定理得:
11 2 1 2 Cn =3,Cn( ) =4.

n

a

a

n ? ?a=3. 即? n?n-1? ? ? 2a =4.
2

解得 a=3,n=9.

答案:3
4

4.从函数角度看,组合数 Cn可看成是以 r 为自变量的函数 f(r),其定义域是{r|r∈N,

r

r≤n}.
(1)证明:f(r)=

n-r+1 f(r-1); r
n

(2)利用(1)的结论,证明:当 n 为偶数时,(a+b) 的展开式中最中间一项的二项式系数 最大. 解:(1)证明:∵f(r)=Cn=
-1 f(r-1)=Cr n =

r

n! , r!?n-r?!

n! , ?r-1?!?n-r+1?!

∴ =

n-r+1 n-r+1 n! f(r-1)= · r r ?r-1?!?n-r+1?! n! . r!?n-r?! n-r+1 f(r-1)成立. r n-r+1 f(r-1),f(r-1)>0, r

则 f(r)=

(2)设 n=2k,∵f(r)= ∴

f?r? 2k-r+1 = . f?r-1? r

2k-r+1 1 令 f(r)≥f(r-1),则 ≥1,则 r≤k+ (等号不成立). r 2 ∴当 r=1,2,…,k 时,f(r)>f(r-1)成立. 反之,当 r=k+1,k+2,…,2k 时,f(r)<f(r-1)成立. ∴f(k)=C2k最大,即(a+b) 的展开式中最中间一项的二项式系数最大.
k n

5



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