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专题辅导2 三角形内角平分线性质


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专题辅导 2
一、赛点归纳

三角形内角平分线性质

1.角平分线的性质:① 角平分线上的点到角两边的距离相等. ② 角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 2.三角形的角平分线:在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶 点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 3. 三角形内角平分线性质: 三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边所成的两 线段之比. 你能通过与同学的合作,证明下面这个命题吗? 命题:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边所成的两线段之比. 已知:如图所示,AD 是△ ABC 的内角∠ BAC 的平分线.求证:

AB BD ? . AC DC

思路 1:过 C 作角平分线 AD 的平行线,用平行线分线段成比例定理证明.

思路 2:利用面积法证明.

思考:你还有其它的方法来证明这个命题吗? 二、解题指导 例 1.已知:在 ?ABC 中,∠ C=90° ,∠ B=30° ,AD 是 RtΔABC 的角平分线.求证:BD=2CD.

例 2.如图 5,在 ?ABC 中,AB=7,AC=11,点 M 是 BC 的中点,AD 是∠ BAC 的平分线, FM∥ AD,求 FC 的长.

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思考:还有其它不同的解法吗? 【随堂练习】

BC=6cm, 1.已知 AD 是⊿ABC 的角平分线, AB=5cm , AC=4cm, 则 BD=_______ .
2.如图, ?ABC 中, AD 平分 ?BAC , BE 平分 ?ABC 交 AD 于点 E .则与 DC 相等的是 (
AC

)

A.

DE AE

B.

DE BE

C.

BD DC

D.

BE AD

三、学力训练 1.已知 AD 是⊿ABC 的角平分线, AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8, 则 AB=_______ . 2.如图, ?ABC 中, ?B ? 60 , AD ? BC 于点 D , CE 平分 ?ACB 交 AD 于点 E ,
0

3.若 AB ? 2, AC ? 2DC ,则 AE ?

, DE ?

.

4.如图,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 900 , ?B ? 300 , AC ? 1, CD 是 ?ACB 的平分线交

AB 于点 D .试求 AD 、 BD 的长.

5.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C= 90 ? ,AD 是∠ BAC 的平分线. (1)若 AB∶ BD= 3 ,求∠ B; (2)若 AB∶ BD= 3 ,且 BD=4,求 S ?ABC .

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6.如 图 , 在 △ ABC 中 , AD 是 ∠BAC 的 平 分 线 , AM ⊥AD 交 直 线 BC 于 M , 若 ∠BAC=36° , BM=AB+AC . 求 ∠ABC 的 度 数 .

7. 如图, 在 △ ABC 中 , AD 是 ∠BAC 的 外 角 平 分 线 , CE ∥AB , 求证: AB ?DE =AD ? AC .

8 .如 图 ,在 △ ABC 中 ,∠BAC=60° ,AD 平 分 ∠BAC 交 BC 于 D 点 ,求 AD ? AD 值 .
AB AC

9 .如 图 1 , △ ABC 中 , 若 AB=5 , AC=3 , 求 BC 上 中 线 AD 取 值 范 围 小 明 在 组 内 经 过 合 作 交 流 , 得 到 了 如 下 解 决 方 法 延 长 AD 到 E , 使 得 DE=AD ,
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再 连 接 BE( 或 将 △ ACD 绕 点 D 逆 时 针 旋 转 180° 得 到 △ EBD ) ,把 AB 、 AC 、 2AD 集 中 在 △ ABE 中 , 利 用 三 关 系 可 得 2 < AE < 8 , 则 1 < AD < 4 感 悟 解 题 时 ,件 中 若 出 现 “ 中 点 ”“ 中 线 ” 字 样 ,可 以 考 虑 构 造 以 中 点 为 称 中 心 中 心 称图形,把散已知件求证结论集中到同一个中 ( 1) 解 决 受 到 ( 1 ) 启 发 , 你 证 明 命 题 如 图 2 , 在 △ ABC 中 , D 是 BC 上 中 点 , DE ⊥DF , DE 交 AB 于 点 E , DF 交 AC 于 点 F , 连 接 EF ①求 证 BECF > EF ; ②若 ∠A=90° , 探 索 BE 、 CF 、 EF 之 间 等 量 关 系 , 加 以 证 明 ; ( 2) 拓 展 如 图 3 ,在 四 形 ABDC 中 ,∠B ∠C=180° , DB=DC ,∠BDC=120° ,以 D 为 顶 点 作 一 个 60° ,别 交 AB 、AC 于 E 、F 点 ,连 接 EF ,探 索 BE 、CF 、EF 之 间 数 量 关 系 , 加以证明

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