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2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题五 圆锥曲线的定义、方程与性质(选择、填空题型)



第二讲 圆锥曲线的定义、方程与性质(选择、填空题型)

考点
椭 圆

双曲线 抛物线

圆锥曲线的综合问题

考情
1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象, 有时也考查椭圆定义的应用,尤其要熟记椭圆中参数a,b,c之间 的内在联系及其几何意义. 2.对于双曲线的考查主要有两种形式:一是求双曲线方程;二 是通过方程研究双曲线的性质,如2013年新课标全国卷 Ⅰ T4, 2013年浙江T9. 3.高考对抛物线定义的考查主要体现在抛物线的标准方程、焦 点等问题上,考查方程主要有两个方面,一是用定义或待定系数 法求抛物线方程;二是利用抛物线方程研究几何性质,如2013年 新课标全国卷 Ⅱ T11. 4.圆锥曲线综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,如 2013年天津T5.

x2 y2 1.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0, a b 5 b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 1 B.y=± x 3 D.y=± x ( )

x2 y2 解析:因为双曲线 2- 2=1 的焦点在 x 轴上,所以双曲线的 a b a2+b2 b c 渐近线方程为 y=± x.又离心率为 e=a= a = a 5 b 1 1 = ,所以a= ,所以双曲线的渐近线方程为 y=± x. 2 2 2
?b? 1+?a?2 ? ?

答案:C

x2 2 2.(2013· 浙江高考)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲 4 线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的 公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

A. 2 3 C. 2

B. 3 6 D. 2

x2 y2 解析:设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0)①,点 A 的坐标为 a b (x0,y0). 由题意得 a2+b2=3=c2②,则|OA|=c= 3,
?x2+y2=3, ? 0 0 ? 2 所以 ?x0+4y2=4, ? 0

解得

8 2 1 2 x0= ,y0= ,又点 3 3

A 在双曲线上,

8 2 1 2 c 2 2 代入①得, b - a =a b ③,联立②③解得 a= 2,所以 e=a 3 3 6 = . 2

答案:D

3.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2), 则 C 的方程为 A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x ( )

解析:由已知得抛物线的焦点

?p ? F?2,0?,设点 ? ?

A(0,2),抛物线

???? ?p ? ? y2 ? ???? ? 0 上点 M(x0,y0),则 AF =?2,-2?, AM =?2p,y0-2?.由已
? ? ? ?

???? ???? ? ?8 ? 2 知得, · =0, y0-8y0+16=0, 即 因而 y0=4, ?p,4?. M AF AM
? ?

由|MF|=5 得, p=8.

?8 p? ? - ?2+16=5,又 ?p 2?

p>0,解得 p=2 或

答案:C

x2 y2 4.(2013· 天津高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条 a b 渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3, 则 p= A.1 C.2 3 B. 2 D.3 ( )

c 解析:因为双曲线的离心率 e=a=2,所以 b= 3a,所以双 b p 曲线的渐近线方程为 y=± x=± 3x, 与抛物线的准线 x=- a 2 ? p ? p 3 ? 3 ? ? ? ? 相交于 A?- , p?,B?- ,- p?,所以△AOB 的面积为 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 1 p × × 3p= 3,又 p>0,所以 p=2. 2 2

答案:C

1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 |PF1|+|PF2|= 2a(2a>|F1F2|)
x2 y2 + =1(a> a2 b2 b>0)

双曲线 ||PF1|-|PF2||= 2a(2a<|F1F2|)
x2 y2 2- 2=1(a>0, a b b>0)

抛物线 |PF|=|PM|点F

定义

不在直线l上,
PM⊥l于M

标准

方程

y2=2px(p>0)

名称
图像

椭圆

双曲线

抛物线

c b2 c b2 e=a= 1- 2 e=a= 1+a2 a 几何 离心率 (e>1) (0<e<1) 性质 b 渐近线 y=± x a

e=1

2.直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求,根据韦达定理,进行整体代入.即当直线与圆 锥曲线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|= = 1+k2|x1-x2|

1 1+ 2|y1-y2|,而|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2. k 3.抛物线的过焦点的弦长 抛物线 y =2px(p>0)的过焦点
2

?p ? F?2,0?的弦 ? ?

AB,若 A(x1,

p2 y1),B(x2,y2),则 x1x2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+ 4 p.同样可得抛物线 y2=-2px, 2=2py, 2=-2py 类似的性质. x x

圆锥曲线定义及标准方程
[例 1] (1)(2013· 广东高考)已知中心在原点的双曲线 C 的 ( )

3 右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的方程是 2 x2 y2 A. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 2 5 x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 2 5

x2 y2 (2)设 F1, 2 分别为双曲线 - =1 的左、 F 9 16 右焦点,过 F1 引圆 x2+y2=9 的切线 F1P 交双 曲线的右支于点 P,T 为切点,M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|等于 A.4 C.2 B.3 D.1 ( )

(3)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 ________.

[自主解答]

(1)由题意可知 c=3,a=2,b=

c2-a2=

x2 y2 32-22= 5,故双曲线的方程为 - =1. 4 5 1 1 1 (2)连接 PF2、 OT, 则有|MO|= |PF2|= (|PF1|-2a)= (|PF1| 2 2 2 1 1 1 2 2 -6),|MT|= |PF1|-|F1T|= |PF1|- c -a = |PF1|-4,于是 2 2 2
?1 ? ?1 ? 有|MO|-|MT|=?2|PF1|-3?-?2|PF1|-4?=1. ? ? ? ?

(3)直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的 准线,由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等 于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离.故本题 可化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l1 的距离之和最小. 如图所示, 距离之和的 最小值为焦点 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,即 dmin |4-0+6| = =2. 5 [答案] (1)B

(2)D

(3)2

本例(3)中把直线 l1 换成点 A(2,3),如何求点 P 到点 A 和 直线 l2 的距离之和的最小值?

解析:直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物 线定义知, 到 l2 的距离等于 P 到抛物线焦点 F(1,0)的距离. P 故 本题可以转化为在抛物线上找一个点 P, 使得|PA|+|PF|最小, 即|AF|为所求,A(2,3),F(1,0),|AF|= ?2-1?2+32= 10.
答案: 10

——————————规律· 总结————————————

圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型. 就是指定类型, 也就是确定圆锥曲线的焦点位置, 从而设出标准方程. (2)计算.即利用待定系数法求出方程中的 a2,b2 或 p.另 外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为 y2=2ax 或 x2= 2ay(a≠0),椭圆常设 mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线常设 为 mx2-ny2=1(mn>0). ———————————————————————————

1.已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2= 1 A. 4 3 B. 5 3 C. 4 4 D. 5 ( )

解析:因为 c2=2+2=4,所以 c=2,2c=|F1F2|=4,由题 意可知|PF1|-|PF2|=2a=2 2,|PF1|=2|PF2|,所以|PF2| = 2 2 , |PF1| = 4 2 , 由 余 弦 定 理 可 知 cos ∠ F1PF2 = ?4 2?2+?2 2?2-42 3 = . 4 2×4 2×2 2 答案:C

x2 y2 2.已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一 a b 个焦点, 且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为 ________.

解析:抛物线 y2=8x 的准线 x=-2 过双曲线的一个焦点, 所以 c=2,又离心率为 2,所以 a=1,b= c2-a2= 3, y2 所以该双曲线的方程为 x2- =1. 3 2 y 2 答案:x - =1 3

圆锥曲线的几何性质
[例 2] 1 2 (1)(2013· 山东高考)抛物线 C1:y= x (p>0)的焦点与 2p

x2 2 双曲线 C2: -y =1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 3 C1