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2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题五 圆锥曲线的定义、方程与性质(选择、填空题型)



第二讲 圆锥曲线的定义、方程与性质(选择、填空题型)

考点
椭 圆

双曲线 抛物线

圆锥曲线的综合问题

考情
1.对椭圆的考查以椭圆的标准方程及几何性质为主要考查对象, 有时也考查椭圆定义的应用,尤其要熟记椭圆中参数a,b,c之间 的内在联系及其几何意义. 2.对于双曲

线的考查主要有两种形式:一是求双曲线方程;二 是通过方程研究双曲线的性质,如2013年新课标全国卷 Ⅰ T4, 2013年浙江T9. 3.高考对抛物线定义的考查主要体现在抛物线的标准方程、焦 点等问题上,考查方程主要有两个方面,一是用定义或待定系数 法求抛物线方程;二是利用抛物线方程研究几何性质,如2013年 新课标全国卷 Ⅱ T11. 4.圆锥曲线综合问题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,如 2013年天津T5.

x2 y2 1.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0, a b 5 b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 1 A.y=± x 4 1 C.y=± x 2 1 B.y=± x 3 D.y=± x ( )

x2 y2 解析:因为双曲线 2- 2=1 的焦点在 x 轴上,所以双曲线的 a b a2+b2 b c 渐近线方程为 y=± x.又离心率为 e=a= a = a 5 b 1 1 = ,所以a= ,所以双曲线的渐近线方程为 y=± x. 2 2 2
?b? 1+?a?2 ? ?

答案:C

x2 2 2.(2013· 浙江高考)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y =1 与双曲 4 线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的 公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

A. 2 3 C. 2

B. 3 6 D. 2

x2 y2 解析:设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0)①,点 A 的坐标为 a b (x0,y0). 由题意得 a2+b2=3=c2②,则|OA|=c= 3,
?x2+y2=3, ? 0 0 ? 2 所以 ?x0+4y2=4, ? 0

解得

8 2 1 2 x0= ,y0= ,又点 3 3

A 在双曲线上,

8 2 1 2 c 2 2 代入①得, b - a =a b ③,联立②③解得 a= 2,所以 e=a 3 3 6 = . 2

答案:D

3.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2), 则 C 的方程为 A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x ( )

解析:由已知得抛物线的焦点

?p ? F?2,0?,设点 ? ?

A(0,2),抛物线

???? ?p ? ? y2 ? ???? ? 0 上点 M(x0,y0),则 AF =?2,-2?, AM =?2p,y0-2?.由已
? ? ? ?

???? ???? ? ?8 ? 2 知得, · =0, y0-8y0+16=0, 即 因而 y0=4, ?p,4?. M AF AM
? ?

由|MF|=5 得, p=8.

?8 p? ? - ?2+16=5,又 ?p 2?

p>0,解得 p=2 或

答案:C

x2 y2 4.(2013· 天津高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条 a b 渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3, 则 p= A.1 C.2 3 B. 2 D.3 ( )

c 解析:因为双曲线的离心率 e=a=2,所以 b= 3a,所以双 b p 曲线的渐近线方程为 y=± x=± 3x, 与抛物线的准线 x=- a 2 ? p ? p 3 ? 3 ? ? ? ? 相交于 A?- , p?,B?- ,- p?,所以△AOB 的面积为 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 1 p × × 3p= 3,又 p>0,所以 p=2. 2 2

答案:C

1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 |PF1|+|PF2|= 2a(2a>|F1F2|)
x2 y2 + =1(a> a2 b2 b>0)

双曲线 ||PF1|-|PF2||= 2a(2a<|F1F2|)
x2 y2 2- 2=1(a>0, a b b>0)

抛物线 |PF|=|PM|点F

定义

不在直线l上,
PM⊥l于M

标准

方程

y2=2px(p>0)

名称
图像

椭圆

双曲线

抛物线

c b2 c b2 e=a= 1- 2 e=a= 1+a2 a 几何 离心率 (e>1) (0<e<1) 性质 b 渐近线 y=± x a

e=1

2.直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求,根据韦达定理,进行整体代入.即当直线与圆 锥曲线交于点 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|= = 1+k2|x1-x2|

1 1+ 2|y1-y2|,而|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2. k 3.抛物线的过焦点的弦长 抛物线 y =2px(p>0)的过焦点
2

?p ? F?2,0?的弦 ? ?

AB,若 A(x1,

p2 y1),B(x2,y2),则 x1x2= ,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+ 4 p.同样可得抛物线 y2=-2px, 2=2py, 2=-2py 类似的性质. x x

圆锥曲线定义及标准方程
[例 1] (1)(2013· 广东高考)已知中心在原点的双曲线 C 的 ( )

3 右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的方程是 2 x2 y2 A. - =1 4 5 x2 y2 C. - =1 2 5 x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 2 5

x2 y2 (2)设 F1, 2 分别为双曲线 - =1 的左、 F 9 16 右焦点,过 F1 引圆 x2+y2=9 的切线 F1P 交双 曲线的右支于点 P,T 为切点,M 为线段 F1P 的中点,O 为坐标原点,则|MO|-|MT|等于 A.4 C.2 B.3 D.1 ( )

(3)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 ________.

[自主解答]

(1)由题意可知 c=3,a=2,b=

c2-a2=

x2 y2 32-22= 5,故双曲线的方程为 - =1. 4 5 1 1 1 (2)连接 PF2、 OT, 则有|MO|= |PF2|= (|PF1|-2a)= (|PF1| 2 2 2 1 1 1 2 2 -6),|MT|= |PF1|-|F1T|= |PF1|- c -a = |PF1|-4,于是 2 2 2
?1 ? ?1 ? 有|MO|-|MT|=?2|PF1|-3?-?2|PF1|-4?=1. ? ? ? ?

(3)直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的 准线,由抛物线的定义知,P 到 l2 的距离等 于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离.故本题 可化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P 使得 P 到点 F(1,0)和直线 l1 的距离之和最小. 如图所示, 距离之和的 最小值为焦点 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离,即 dmin |4-0+6| = =2. 5 [答案] (1)B

(2)D

(3)2

本例(3)中把直线 l1 换成点 A(2,3),如何求点 P 到点 A 和 直线 l2 的距离之和的最小值?

解析:直线 l2:x=-1 为抛物线 y2=4x 的准线,由抛物 线定义知, 到 l2 的距离等于 P 到抛物线焦点 F(1,0)的距离. P 故 本题可以转化为在抛物线上找一个点 P, 使得|PA|+|PF|最小, 即|AF|为所求,A(2,3),F(1,0),|AF|= ?2-1?2+32= 10.
答案: 10

——————————规律· 总结————————————

圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型. 就是指定类型, 也就是确定圆锥曲线的焦点位置, 从而设出标准方程. (2)计算.即利用待定系数法求出方程中的 a2,b2 或 p.另 外,当焦点位置无法确定时,抛物线常设为 y2=2ax 或 x2= 2ay(a≠0),椭圆常设 mx2+ny2=1(m>0,n>0),双曲线常设 为 mx2-ny2=1(mn>0). ———————————————————————————

1.已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos∠F1PF2= 1 A. 4 3 B. 5 3 C. 4 4 D. 5 ( )

解析:因为 c2=2+2=4,所以 c=2,2c=|F1F2|=4,由题 意可知|PF1|-|PF2|=2a=2 2,|PF1|=2|PF2|,所以|PF2| = 2 2 , |PF1| = 4 2 , 由 余 弦 定 理 可 知 cos ∠ F1PF2 = ?4 2?2+?2 2?2-42 3 = . 4 2×4 2×2 2 答案:C

x2 y2 2.已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一 a b 个焦点, 且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方程为 ________.

解析:抛物线 y2=8x 的准线 x=-2 过双曲线的一个焦点, 所以 c=2,又离心率为 2,所以 a=1,b= c2-a2= 3, y2 所以该双曲线的方程为 x2- =1. 3 2 y 2 答案:x - =1 3

圆锥曲线的几何性质
[例 2] 1 2 (1)(2013· 山东高考)抛物线 C1:y= x (p>0)的焦点与 2p

x2 2 双曲线 C2: -y =1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 3 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p= 3 A. 16 2 3 C. 3 3 B. 8 4 3 D. 3 ( )

x2 y2 (2)(2013· 福建高考)椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦 a b 点分别为 F1,F2,焦距为 2c,若直线 y= 3(x+c)与椭圆 Γ 的 一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等 于________.

[自主解答]

? p? (1)抛物线的焦点坐标为?0,2?, 双曲线的右焦 ? ?

x 2y 点坐标为(2,0),所以上述两点连线的方程为 + p =1.双曲线的 2 3 1 2 1 渐近线方程为 y=± x.对函数 y= x 求导,得 y′=px.设 3 2p 1 3 3 M(x0,y0),则px0= ,即 x0= p,代入抛物线方程得,y0= 3 3 1 x 2y 3 2 p p.由于点 M 在直线 + p =1 上,所以 p+p× =1,解得 p 6 2 6 6 4 4 3 = = . 3 3

(2)直线 y= 3(x+c)过点 F1,且倾斜角为 60° ,所以∠ MF1F2=60° ,从而∠MF2F1=30° ,所以 MF1⊥MF2.在 Rt△ 2c MF1F2 中,|MF1|=c,|MF2|= 3c,所以该椭圆的离心率 e= 2a 2c = = 3-1. c+ 3c
[答案] (1)D (2) 3-1

——————————规律· 总结————————————
两类离心率问题 c2 b2 b (1)椭圆的离心率:e2= 2=1- 2,a= a a c2 b2 b (2)双曲线的离心率:e2= 2=1+ 2,a= a a 1-e2; e2-1.

——————————————————————————

x2 y2 3.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2.若抛物线 a b C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2, 则抛物线 C2 的方程为 8 3 A.x = y 3
2

( 16 3 B.x = y 3
2

)

C.x2=8y

D.x2=16y

x2 y2 c 解析:∵双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,∴a= a b a2+b2 y=0, a =2,∴b= 3a,∴双曲线的渐近线方程为 3x± ∴抛物线 C2: x
? ? ?
2

? p? =2py(p>0)的焦点?0,2?到双曲线的渐近线的距 ? ?

离为

p? 3×0± ? 2? =2,∴p=8.∴所求的抛物线方程为 x2=16y. 2

答案:D

x2 y2 4.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的 a b 直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6, 4 cos∠ABF= ,则 C 的离心率 e=________. 5 解析:设椭圆的右焦点为 F1,在△ABF 中,由余弦定理可

解得|BF|=8,所以△ABF 为直角三角形,又因为斜边 AB 的中点为 O,所以|OF|=c=5.连接 AF1,因为 A,B 关于原 点对称,所以|BF|=|AF1|=8,所以 2a=14,a=7,所以离 5 心率 e= . 7

5 答案: 7

直线与圆锥曲线的位置关系

[例 3]

(1)(2013· 安徽高考)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2

于 A,B 两点.若该抛物线上存在点 C,使得∠ACB 为直角, 则 a 的取值范围为________. (2)(2013· 东城模拟)已知抛物线 y2=2px 的焦点 F 与双曲线 x2 y2 - =1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K,点 7 9 A 在抛物线上且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为 A.4 B.8 C.16 D.32 ( )

[自主解答]

(1)法一:设直线 y=a 与 y 轴交于点 M,抛物

线 y=x2 上要存在点 C,只要以|AB|为直径的圆与抛物线 y=x2 有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,即 a≤a(a>0),所以 a≥1. 法二:易知 a>0,设 C(m,m2),由已知可令 A( a,a), ??? ? ??? ? 2 B(- a,a),则 AC =(m- a,m -a), BC =(m+ a,m2- ??? ??? ? ? a),因为 AC ⊥ BC ,所以 m2-a+m4-2am2+a2=0,可得(m2 -a)(m2+1-a)=0.因为由题易知 m2≠a,所以 m2=a-1≥0, 故 a∈[1,+∞).

(2)由题意知,抛物线焦点坐标为(4,0).作 AA′垂直于抛 物线的准线,垂足为 A′,根据抛物线定义知|AA′|=|AF|, 所以在△AA′K 中,|AK|= 2|AA′|,故∠KAA′=45° .此时 不妨认为直线 AK 的倾斜角为 45° ,则直线 AK 的方程为 y=x +4,代入抛物线方程 y2=16x 中,得 y2=16(y-4),即 y2-16y +64=0,解得 y=8,点 A 的坐标为(4,8),故△AFK 的面积为 1 ×8×8=32. 2 [答案] (1)[1,+∞) (2)D

——————————规律· 总结———————————— 求解直线与圆锥曲线的位置关系的方法

在涉及直线与二次曲线的两个交点坐标时,一般不是求出这 两个点的坐标,而是设出这两个点的坐标,根据直线方程和曲线 方程联立后所得方程的根的情况,使用根与系数的关系进行整体 代入,这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和二次曲线相 交问题的最基本方法.
———————————————————————————

x2 y2 5.已知点 A(1,0),椭圆 C: 4 + 3 =1,过点 A 作直线交椭圆 C ??? ? ??? ? 于 P,Q 两点, AP =2 QA ,则直线 PQ 的斜率为 ( ) 5 A. 2 2 5 C.± 5 2 5 B. 2 5 D.± 2

??? ? 解析:设点 P,Q 坐标分别为 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 AP =(x1 ??? ? ??? ? ??? ? -1,y1), QA =(1-x2,-y2).因为 AP =2 QA ,所以 x1-1=
2(1-x2),整理得 x1+2x2=3 ①.设直线 PQ 的斜率为 k,则其 方程为 y=k(x-1),代入椭圆方程,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2- 8k2 12=0.于是 x1+x2= 2 4k +3 5 ③,解得 k=± . 2 答案:D 4k2-12 ②,x1x2= 2 4k +3 ③.联立①②

6.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与 抛物线 C 相交于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(2,2),则 直线 l 的方程为________.

解析: 由已知得抛物线的方程为 y2=4x.当直线 l 的斜率不存 在时,根据抛物线的对称性,点(2,2)不可能是 AB 的中点, 故直线 l 的斜率存在,设其为 k,则直线 l 的方程为 y-2= ?y-2 ? ? ? 2 k(x-2)且 k≠0,与抛物线方程联立得 y -4? +2?=0, ? k ? 4 8 4 2 即 y -ky+k-8=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=k, y1+y2 2 又因为 =2,即k=2,解得 k=1,故所求的直线方程 2 是 y-2=x-2,即 y=x. 答案:y=x

课题17
[典例]

方程思想求解圆锥曲线离心率

x2 y2 (2013· 湖南高考)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2= a b

1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点.若|PF1|+|PF2|=6a, 且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则 C 的离心率为________. [考题揭秘] 本题主要考查双曲线的定义及其几何性质、

余弦定理,考查方程思想与数形结合思想.

[审题过程]

第一步:审条件.已知双曲线的两个焦点 F1,

F2,点 P 是双曲线上的点,且△PF1F2 的最小内角为 30° . 第二步:审结论.求双曲线的离心率. 第三步:建联系.由点 P 是双曲线上的点,假设在右支上, 由|PF1|-|PF2|=2a 与条件|PF1|+|PF2|=6a 得到|PF1|,|PF2|的 值.又易知∠PF1F2=30° ,在△PF1F2 中由余弦定理得到 a,c 关 系式进而得到 e 的一元二次方程,求出结果.

[规范解答]

设 F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点,不妨设

点 P 在双曲线的右支上,由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,又 |PF1|+|PF2|=6a,联立解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.而|F1F2|=2c, 则∠PF1F2 最小为 30° .在△PF1F2 中, 由余弦定理, 得|PF2|2=|PF1|2 + |F1F2|2 - 2|PF1|· 1F2|· ∠ PF1F2 , 所 以 4a2 = 16a2 + 4c2 - |F cos 2×4a×2c×cos 30° ,即 3a2-2 3ac+c2=0.???????① 因此,e2-2 3e+3=0,?????????????② 即(e- 3)2=0,∴e= 3. 故双曲线的离心率为 3.?????????????③

[答案]

3

[模型归纳] 方程思想求圆锥曲线离心率(范围)的模型示意图如下:

[变式训练] x2 y2 1.已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 a b F1,F2,抛物线 C2:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线 C1 的一 个焦点重合.C1 与 C2 在第一象限相交于点 P,且|F1F2|= |PF1|,则双曲线的离心率为________.

解析: 设点 P(x0, 0), 2(c,0), y F 过点 P 作抛物线 C2 准线的垂线, 垂足为 A,连接 PF2.由双曲线的定义及|F1F2|=|PF1|=2c,得 |PF2|=2c-2a,由抛物线的定义得|PA|=x0+c=2c-2a,∴x0 p =c-2a.由题意知 =c,∴y2=2px0=4c(c-2a).在 Rt△F1AP 0 2
2 中,|F1A|2=(2c)2-(2c-2a)2=8ac-4a2,即 y0=8ac-4a2.∴8ac

-4a2=4c(c-2a),化简得 c2-4ac+a2=0,即 e2-4e+1=0(e >1),解得 e=2+ 3. 答案:2+ 3

2.(2013· 乌鲁木齐模拟)如图,椭圆的中心在坐标原点 O,顶点 分别是 A1,A2,B1,B2,焦点分别是 F1,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点, 若 ∠ B1PA2 为 钝 角 , 则 此 椭 圆 的 离 心 率 的 取 值 范 围 为 ________.

x2 y2 解析:设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),∠B1PA2 为 a b ????? ????? 钝角可转化为 B2 A2 , F2 B1 所夹的角为钝角,则(a,-b)· (-c, -b)<0,得 b <ac,即 a -c
2 2 2

?c ? c ? ?2+ -1>0,即 e2+ <ac,故 a a ? ?

5-1 - 5-1 5-1 e-1>0, 解得 e> 或 e< .又 0<e<1, ∴ < 2 2 2 e<1.
? 答案:? ? ? ? 5-1 ? ,1? 2 ?

预测演练提能



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