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黑龙江省双鸭山市第一中学2013届高三数学(理科)第二次月考试题


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黑龙江省双鸭山市第一中学 2013 届高三第二次月考试题

数学(理科)
班 级
(时间:120 分钟 总分:150 分)

第Ⅰ卷(1--12 题:共 60 分)
学 号 一、选择题(包括 1--12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1、已知 i 是虚数单位,复数 A、-2 B、2
10i 1 ? 2i

的虚部为( C、-2i

) D、2i )

? ? ? ? 2? ? ? ? ? 2、已知 a ? 1, b ? 2 ,向量 a 与 b 的夹角为 , c ? a ? 2 b ,则 c 的模等于( 3

A、 1 3

B、 2 1
5 2

C、2 3

D、3 2

3、已知命题 p : ? x ? R ,使 sin x ? ① 命题“ p ? q ”是真命题 ③ 命题“ ? p ? q ”是真命题 )

; 命题 q : ? x ? R ,都有 x ? x ? 1 ? 0. 给出下列结论:
2

② 命题“ p ? ? q ”是假命题 ④ 命题“ ? p ? ? q ”是假命题

其中正确的是(

A、① ② ③

B、③ ④

C、② ④
??

D、② ③


4、已知 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ?

? , ? ? ,则 tan ? ? ( ? 2 ?

A、

? 2

3

B、

?3 5

C、

? 3

3

D、 ?

3

5、已知 Sn 是等差数列{ a n }的前 n 项和,且 S3=S8,S7=Sk,则 k 的值为( A、3 B、4 C、5
a x



D、6
? 2”的(

6、 “1<a<2”是“对任意的正数 x, 2 x ? A、充分不必要条件 C、充要条件



B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 )

7、函数 y ? ln sin x (0 ? x ? ? ) 的大致图象是(

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8、如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同 于 A、B 的 任意一点,若 P 为半 径 OC 上的动点, 则 A、 ?
9 2

??? ??? ??? ? ? ? (PA ? PB ) ? PC

的最小值是( D、 ? 2

)

B、

9 2

C、 2

9、函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) ( A , ? ? 0 )的图象如右图所示,为了得到 g ( x ) ? ? A cos ? x
的图象,可以将 f ( x ) 的图象( A、向右平移 C、向左平移
?
12


5? 12 5? 12

个单位长度 个单位长度

B、向右平移 D、向左平移

个单位长度 个单位长度

?
12

? x ? 3 y -3 ? 0 ? 10、 变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 3 ? 0 , z ? x ? y 的最大值为 9, 且 则实数 m 的值是 ( ? x ? m y +1 ? 0 ?



A、 -2

B、-1

C、2

D、1

11、定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有 f ( x ) ? f ( x ? 4 ) ,当 x ? ( ? 2 , 0 ) 时,
f ( x ) ? 2 ,则 f ( 2012 ) ? f ( 2011 ) 的值为(
x

) D、 ? 2

A、 ?

1 2 ln x ? 1 ln x ? 1

B、

1 2

C、2

12、设 f ( x ) ? ( A、
5? 4

, 若 f ( x1 ) ? f ( ex 2 ) ? 1 (其中 x1 ? e , x 2 ? e ) ,则 f ( x1 x 2 ) 的最小值为


5

B、

4 5

C、

3 5

D、

2 3

二、填空题(包括 13--16 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13、 已知等比数列的公比为 2, 且前四项之和等于 1, 则前 8 项之和等于
? A B C 内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若 c ? 2 3 b ,

. 14、

sin A ? sin B ?
2 2

3 sin B sin C ,则 A ?

.
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15、设 a>0.若曲线 y ?

x 与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a,则 a=____

__.

16、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图:

设第 n 个图有 a n 个树枝,则 a n ? 1 与 a n ( n ≥ 2 ) 之间的关系是



三、解答题
17、(本小题满分 10 分)解不等式: -4 ? 2 + x ? x ? 0
2

18、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 co s

2

x 2

?

3 sin x .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (2)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?
?
3 )? 1 3

,求

co s 2 ? 1 ? tan ?

的值.

19、(本小题满分 12 分)设 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 2, ( a ? R )
2

(1)当 x ? R 时, f ( x ) ? a 恒成立,求 a 的范围; (2)当 x ? ? ? 1, ? ? ? 时, f ( x ) ? a 恒成立,求 a 的范围。

20、(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x3+mx2+nx-2 的图象过点(-1,-6),且函数 g(x)= f ? ? x ? +6x 的图象关于 y 轴对称. (1)求 m、n 的值; (2)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值.

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21、 (本小题满分 12 分) 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 a n ? 1 ? 2 S n ? 2 ( n ? N ).
*

(1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)在 a n 与 a n ? 1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数组成公差为 d n 的等差数列,求数列 ? 的前 n 项和 T n .
? 1 ? ? ? ? dn ? ?

22、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? (1)设 a=1,讨论 f ( x ) 的单调性;

1? x a (1 ? x )

ln x .

(2)若对任意 x ? (0,1) , f ( x ) ? ? 2 ,求实数 a 的取值范围.

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黑龙江省双鸭山市第一中学 2013 届高三第二次月考试题 数学(理科)答案
一、选择题:

1 B

2 A

3 D

4 D
?
6

5 B

6 A

7 C

8 A

9 B

10 D

11 A

12 D

二、填空题: 13、17 三、解答题 17、 ? ? 2, ? 1 ? ? ? 2, 3 ? 18、 (1) 函数 f ( x ) 的周期为 2 ? ,值域为 [ ? 1, 3] . (5 分)
co s 2 ? 1 ? tan ? 1? 2 2 9

14、

15、

9 4

16、 a n ? 1 ? 2 a n ? 1

(2)

?

(10 分)

19、 (1) ? 2 ? a ? 1 (2) ?
1 3 ? a ?1

(6 分) (12 分) (5 分)

20、(1)m=-3,n=0

(2)当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值;当 1<a<3 时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极值. (12 分) 21、 (1) a n ? 2 ? 3
n ?1

(5 分)
n ?1

(2)由(1)知 a n ? 2 ? 3 ∴dn ?
4?3
n ?1

,则 a n ? 1 ? 2 ? 3 ∵ a n ? 1 ? a n ? ( n ? 1) d n ,
n

n ?1

?
1? x 1? x

1 dn

?

1

?1? ( n ? 1) ? ? ? 4 ?3?

n ?1

∴Tn ?

15 16

?

2n ? 5 16 ? 3
n ?1

22、 (1) a ? 1 , f ( x ) ?

ln x ,定义域为 ( 0 ,1) ? (1, ?? ) .

f ?( x ) ?

2 ln x (1 ? x )
2

?

1? x (1 ? x ) x
2

2 ln x ? ?

1? x x
2

2

(1 ? x )



设 g ( x ) ? 2 ln x ?

1? x x

,则 g ? ( x ) ?

? ( x ? 1) x
2

2



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因为 x ? 0 , g ?( x ) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是减函数,又 g (1) ? 0 ,于是
x ? ( 0 ,1) , g ( x ) ? 0 , f ? ( x ) ? 0 ; x ? (1, ?? ) , g ( x ) ? 0 , f ? ( x ) ? 0 .

所以 f ( x ) 的增区间为 ( 0 ,1) ,减区间为 (1, ?? ) . 分) (5

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