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1.2.3 空间几何体的直观图(共27张PPT)



第一章

空间几何体

1.2.3 空间几何体的直观图

第一章

空间几何体

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学习目标

重点难点 重点:斜二测画法的步骤.

难点:画平面图形、立体图形的直观图及与三视图的
转化.

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第一章

空间几何体

新知初探思维启动
1.斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形 平行投影 画法. 的直观图.斜二测画法是一种特殊的___________ 2.平面图形直观图的画法
斜二测画法的步骤: (1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点

O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴交
45°(或135°) ,它们确定的平 于点O′,且使∠x′O′y′=______________ 水平面 . 面表示__________
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空间几何体

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别 平行 于x′轴或y′轴的线段. 画成_______
(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持 原长度不变 ,平行于y轴的线段,长度为原来的 _____________ 一半 . _______ 做一做 1.直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB

的实际长度为4 cm,若AB∥x轴,则画出直观图后对应
线段A′B′=________,若AB∥y轴,则画出直观图后 对应线段A′B′=________.

答案:4 cm

2cm

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第一章

空间几何体

3.立体图形直观图的画法 由于立体图形与平面图形相比多了一个z轴,因此,用斜 二测画法画立体图形的直观图时,图形中平行于x轴、y 平行 于x′轴、 轴或z轴的线段在直观图中分别画成________ 平行 于x轴和z轴的线段,在直 y′轴或z′轴的线段. ________ 不变 ,平行于y轴的线段,长度为原来的 观图中长度________ 一半 . ________

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空间几何体

做一做

2.如图所示的直观图△AOB,其平面图形的面

积为________.

答案:6

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空间几何体

典题例证技法归纳
题型一
例1

【题型探究】 水平放置的平面图形的直观图
画出水平放置的正六边形的直观图

【解】

(1)如图①,在正六边形

ABCDEF中,取AD所在直线为x轴, 对称轴MN所在直线为y轴,两轴相 交于点O.在图②中,画相应的x′轴 与y′轴,两轴相交于点O′,使 ∠x′O′y′=45°.
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第一章

空间几何体

(2)在图②中, 以 O′为中点, 在 x′轴上取 A′ D′= AD, 在 y′ 1 轴上取 M′ N′= MN. 以点 N′为中点,画 B′ C′平行于 x′ 2 轴,并且等于 BC;再以 M′为中点,画 E′ F′平行于 x′轴, 并且等于 EF.

(3)连接 A′ B′, C′ D′, D′ E′, F′ A′, 并擦去辅助线 x′ 轴和 y′轴,便获得正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图 A′ B′ C′ D′ E′ F′如图③ .
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空间几何体

【名师点评】

在画水平放置的平面图形的直观图时,

选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可 能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.

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空间几何体

跟踪训练
1.按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE
的直观图.

解:画法: (1)在图(1)中作AG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H. (2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于O′, 使∠x′O′y′=45°.

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空间几何体

(3)在图 (2)中的 x′轴上取 O′ B′= OB, O′ G′= OG, 1 O′ C′= OC, O′ H′= OH, y′轴上取 O′ E′= OE, 2 分别过 G′和 H′作 y′轴的平行线,并在相应的平行线上 1 1 取 G′ A′= GA, H′ D′= HD. 2 2 (4)连接 A′ B′, A′ E′, E′ D′, D′ C′,并擦去辅助 线 G′ A′,H′ D′,x′轴与 y′轴,便得到水平放置的正 五边形 ABCDE 的直观图 A′ B′ C′ D′ E′ (如图 (3)).

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空间几何体

题型二
例2
【解】

空间几何体的直观图
由下列几何体的三视图画出直观图. (1)画轴.如图,画出

x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,

使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.作水平放置的三角形 (俯视图)的直观图△ABC.

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第一章

空间几何体

(3)画侧棱.过A、B、C各点分别作z轴的平行线,并在
这些平行线上分别截取线段AA′=BB′=CC′,且这 三条线段都等于三视图中的相应高度. (4)成图.顺次连接A′、B′、C′,并加以整理(擦去 辅助线,将遮挡部分用虚线表示),得到的图形就是所求 的几何体的直观图.

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空间几何体

【名师点评】(1)画空间几何体的直观图,可先画出底面的 平面图形,然后画出竖轴.此外,坐标系的建立要充分利 用坐标系的对称性,以便方便、准确地确定顶点;

(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图,应
该记住它们的大致形状,以便可以又快又准地画出.

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空间几何体

题型三
例3

直观图的还原和计算问题

如图所示,梯形 A1 B1 C1 D1 是一平面图形 ABCD 2 的直观图.若 A1 D1∥ O′ y′,A1 B1∥ C1 D1,A1 B1= C1 D1 3 = 2, A1 D1= O′ D1= 1. 试画出原四边形的形状,并求原图形的面积

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空间几何体

【解】 如图,建立直角坐标系 xOy,在 x 轴上截取 OD = O′ D1= 1; OC= O′ C1= 2. 在过点 D 的 y 轴的平行线上截取 DA= 2D1 A1= 2. 在过点 A 的 x 轴的平行线上截取 AB= A1 B1= 2. 连接 BC,即得到了原图形(如图). 由作法可知,原四边形 ABCD 是直角梯形,上、下底长 度分别为 AB= 2, CD= 3,直角腰长度为 AD= 2. 2+ 3 所以面积为 S= × 2= 5. 2

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空间几何体

【名师点评】 轴确定数据.

直观图还原平面图形时,要注意坐标系

变化前后变化的量与不变的量,计算时要结合两个坐标

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空间几何体

跟踪训练
6 2. 已知等边△ ABC 的平面直观图△ A′ B′ C′的面积为 , 16 则等边△ ABC 的面积是多少?

解:按照斜二测画法的规则,把如图(1)等边△ABC的平 面直观图△A′B′C′还原为如图(2)等边△ABC,

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空间几何体

3 设 AB= x,则 B′ C′= x,等边△ ABC 的高为 x, 2 2 3 6 所以△ A′ B′ C′的高为 × x= x, 4 2 8 1 6 6 2 6 所以△ A′ B′ C′的面积为 × x× x= x = , 2 8 16 16 解得 x= 1, 1 3 3 2 3 所以△ ABC 的面积为 × x× x= x = . 2 2 4 4

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空间几何体

【方法感悟】
1.画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多 边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类:一类是在轴 上或在与轴平行的线段上,这类顶点比较容易确定;另 一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上,这类顶点一 般过此点作与轴平行的直线,将此点转到与轴平行的线 段上来.如例1. 2.由直观图还原为原图是画直观图的逆过程,有两个

量发生了变化,一是∠x′O′y′由45°恢复为∠xOy=
90°,二是与O′y′平行的线段,在平面xOy中的长度 是直观图中的2倍.如例3.
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空间几何体

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名师解题
例4

平面图形直观图的有关计算问题

一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且 梯形 OA′ B′ C′的面积为 2, 则原梯形的面积为 ( ) A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4

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空间几何体

【解析】 如图,由斜二测画法原理知, 原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的,不 一样的是两个梯形的高 原梯形的高 OC 是直观图中 OC′长度的 2 倍, OC′的 长度是直观图中梯形的高的 2倍 由此知原梯形的高 OC 的长度是直观图中梯形高的 2 2 倍 ,

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空间几何体

故其面积是梯形OA′B′C′面积的2 【答案】 D

2 倍,梯形

OA′B′C′的面积为 2 ,所以原梯形的面积是4



信息提炼 层层剖析 根据斜二测画法原理,首先搞清两图形中哪些边长度 相等,哪些边长度不同. 先求OC′的长度,再确定OC的长度. 结合两图形中高的关系,求得原梯形的面积.

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空间几何体

跟踪训练
3.如图所示,△ A′ O′ B′表示水平放置的△ AOB 的直观 图,B′在 x′轴上,A′ O′和 x′轴垂直, 且 A′ O′= 2, 则△ AOB 的边 OB 上的高为 ( ) A. 2 B. 4 C. 2 2 D. 4 2

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空间几何体

解析:选 D.由直观图与原图形中边 OB 长度不变, 得 S 原 图形= 2 2S 直观图 , 1 1 得 · OB · h= 2 2× × 2· O′ B′, 2 2 ∵ OB= O′ B′,∴ h= 4 2.

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